로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!=== 이야깃거리 === 수학에 관심이 있는 사람이라면, '''모든 점에서 불연속'''인 함수가 존재하는지에 대해 생각해 본 적이 있을 것이다. 모든 점에서 불연속인 대표적인 함수는 바로 '''디리클레 함수'''이며, 다음과 같이 정의된다. :<math>f\left(x\right)=\begin{cases}1,&\text{if }x\in\mathbb{Q}\\0,&\text{if }x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\end{cases}</math> 여기서, 값을 어떻게 주냐에 따라 모든 점에서 불연속인 함수를 무수히 많이 만들 수 있다. 직관적으로 생각하면 이 함수는 모든 점에서 불연속임이 명백해 보인다. 그러나, 집합론적으로 접근하면 상당히 기괴한 결과인데, 유리수의 집합은 [[가산 (집합론)|셀 수 있는 집합]](countable)이며 무리수의 집합은 [[비가산 (집합론)|셀 수 없는 집합]](uncountable)이므로,<ref>자연수의 집합과 농도(cardinality)가 동일한(일대일 대응 함수가 존재하는) 집합은 셀 수 있다고 하고, 자연수의 집합과 농도가 다른(일대일 대응 함수가 존재하지 않는) 무한 집합은 셀 수 없다고 한다. 참고로 자연수의 집합은 무한 집합들 중 가장 농도가 작다.</ref> 무리수의 [[농도 (집합론)|농도]]는 실수 자체의 농도와 동일하다. 즉, 실수체는 거의 전부 무리수로 구성되어 있고, 사이사이에 듬성듬성 유리수가 존재한다는 식의 잘못된 직관을 가질 수 있다. 그러나 구간을 아무리 작게 잡더라도 무리수만으로 구성되는 구간을 특정할 수는 없다. 물론, 이 사실 역시 수학적인 증명이 필요하며, 증명은 [[유리수]]와 [[무리수]]의 조밀성을 이용한다. ; 증명 :임의의 <math>x_0\in\mathbb{R}</math>을 고르자. [[유리수]]의 집합은 [[실수]] 집합 안의 조밀 집합이므로, 임의의 [[자연수]] <math>n</math>에 대해, <math>x^*_n\in\left(x_0-\tfrac{1}{n},x_0+\tfrac{1}{n}\right)</math>을 만족하는 유리수 <math>x^*_n</math>이 존재한다. 그럼, 이 [[유리수]]의 수열 <math>\left\{x^*_n\right\}</math>은 <math>x_0</math>으로 수렴함을 쉽게 보일 수 있다. 마찬가지 방법으로, <math>x_0</math>로 수렴하는 [[무리수]]의 수열 <math>\left\{x^{'}_n\right\}</math>을 찾을 수 있다. 그런데, <math>\lim_{x\to\infty}x^*_n=\lim_{n\to\infty}1=1\neq0=\lim_{n\to\infty}0=\lim_{n\to\infty}x^{'}_n</math>이므로, <math>f</math>는 <math>x_0</math>에서 불연속이다. <math>x_0</math>는 임의의 값이었으므로, <math>f</math>는 <math>\mathbb{R}</math>에서 불연속이다. [[미분]]을 배웠다면, 미분가능성이 연속성을 의미하지만, 연속이 미분가능을 의미하지 않음을 배웠을 것이다. 그럼, 과연 '''모든 점에서 연속이지만 모든 점에서 미분가능하지 않은''' 함수가 존재하는지에 대한 의문이 들 수도 있다. 이런 함수의 대표적인 예로는 '''바이어슈트라스 함수'''가 있으며, 다음과 같이 정의된다. :<math>f\left(x\right)=\sum_{n=0}^\infty a^n\cos\left(b^n\pi x\right)</math>. 단, <math>0< a<1</math>, <math>b</math>는 홀수인 [[자연수]], 그리고 <math>ab>1+\tfrac{3}{2}\pi</math>. 이 함수가 모든 점에서 연속이지만 모든 점에서 미분가능하지 않다는 사실은 [[1872년]]에 카를 바이어슈트라스에 의해 증명이 되었다. 이 함수는 부분이 전체를 닮은 [[프랙탈]]의 성질을 갖는 함수이며, 이 함수를 프랙탈 연구의 시초로 보는 시각도 존재한다. 참고로 프랙탈이라는 용어는 [[1975년]]에 가서야 등장한다. 이외에도 눈꽃모양을 하고있는 Koch snowflake 역시 모든 점에서 연속이지만, 모든 점에서 미분가능하지 않다. 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț