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Case 1. <math> \forall m \neq 0 \in \mathbb{Z}, |m| \leq 1 </math> 이 경우 [[nonarchimedean norm]]의 첫번째 성질에 의해 이 norm은 nonarchimedean norm 이된다. 만일 모든 영이 아닌 정수 <math> m </math> 에 대해 <math> |m|=1 </math> 이 성립한다면 이 norm이 trivial norm이 되는 것은 norm에 정의에 따라 자명하다. 그런데 우리는 자명하지 않은 norm을 다루고 있으므로 어떠한 영이 아닌 정수 <math> m </math> 이 존재하여 <math> |m| < 1 </math> 을 만족해야 한다. 그런데 norm에 정의에 따라 <math> |-1|=|1|=1 </math> 임을 얻고 이를 통해 모든 정수 m에 대해 <math> |m|=|-m| </math> 을 안다. 즉 양의 정수 <math> n </math> 이 존재하여 <math> |n|<1 </math> 을 만족해야 한다. 그런데 Well-Ordering Principle 에 의해 이러한 것을 만족하는 양의 정수의 최소원은 반드시 존재하게 된다. 그 최소원을 <math> n^* </math> 라 하자. 그러면 이것은 소수이여만 한다. 왜냐하면 이것이 소수가 아니면 <math> n^* = rs,\ r,s<n^* </math>인 양의 정수 <math> r,s </math> 가 존재하여 <math> |r||s| = |rs| = |n^*| < 1 \Rightarrow |r|<1\ \text{or}\ |s| < 1 </math> 을 함의하고 이것은 <math> n^* </math>가 최소원임에 모순이되기 때문이다. 이제 <math> n^* </math>가 소수라는 것을 알았으니 <math> n^* </math> 대신 <math> p </math> 라고 하자. 이제 <math> m \in \mathbb{Z} </math> 이면서 <math> p \nmid m </math> 인 경우를 생각하자. 그러면 나머지 정리에 의해 적당한 정수 <math> q </math> 와 <math> 0 < r < p </math> 에 대해 <math> m = qp+r </math> 이라고 쓸 수 있다. 그리고 <math> m,q </math> 는 정수이므로 <math> |m|,|q| \leq 1 </math> 이며, <math> |p|<1 </math> 이므로 <math> |pq|<1 </math>이다. 그런데 <math> p </math> 는 <math> |p|<1 </math> 인 최소의 자연수이므로 <math> |r|=1 </math> 이어야 한다. 또한, 이 norm은 non-archimedean 이므로 <math> 1=|r|=|m-pq| \leq \max\{|m|,|pq|\} </math> 이여야 한다. 이로부터 우리는 <math> p \nmid m </math> 이면 <math> |m|=1 </math> 을 얻는다. 또한, 모든 정수 <math> n </math>은 소수 <math> p </math> 와 적당한 정수 <math> k \geq 0 </math> 그리고 정수 <math> p \nmid m </math> 에 대해 <math> n = p^k m </math> 라고 표현할 수 있으므로 <math> |n|=|p^k||m|=|p^k|=|p|^k </math> 가 된다. 이로부터 모든 정수 <math> n </math>에 대해 <math> |\cdot| </math>이 <math> |\cdot|_p </math> 와 상등임을 알 수 있고, norm의 정의에 의해 모든 유리수 <math> q </math>에 대해서도 상등이 된다는 것을 알 수 있다. Case 2. <math> \exists x \in \mathbb{Z}, |x|>1 </math> 일단 이 경우 1이나 -1이 아닌 모든 정수 <math> y </math> 에 대해 <math> |y| > 1</math> 임을 보이자. 그렇지 않다고 가정하고 그러한 정수를 <math> y_0 </math> 라 하자. 그러면 <math> |-1|=|1|=1 </math> 이므로 일반성을 잃지 않고 <math> y_0 > 1 </math> 이라 할 수 있다. 이제 <math> |x|>1 </math> 을 만족하는 양의 정수 <math> x_0 </math> 의 거듭제곱 <math> x^n_0 </math> 를 <math> y_0 </math>를 이용해서 표현한다고 하자. 그러면 적당한 음이아닌 정수 <math> m </math> 과 <math> 0 \leq c_i \leq y-1 </math>, where <math> c_m \neq 0 </math> 가 존재하여 <math> \displaystyle x^n = c_m y^m + \dotsc + c_0 </math> 라고 표현할 수 있으므로 이로부터 <math> y^m \leq c_m y^m + \dotsc + c_0 = x^n \Rightarrow m \leq \frac{n \log x}{\log y} </math> 임을 얻는다. 또한, 삼각부등식에 의해 <math> \begin{align} |x|^n &= |x^n| = |c_m y^m + \dotsc + c_0 | \\ &\leq |c_m||y^m| + \dotsc + |c_0| \\ &\leq |c_m| + \dotsc + |c_0| && \text{($\because$, $|y|\leq 1$)} \\ &\leq m+1M \leq M \left ( \frac{n\log x}{\log y}+1 \right) && M={max}\{|1|,\dotsc,|y-1|\} \end{align} </math> 이 성립한다. <math> |x| >1 </math> 이므로 위의 부등식이 성립하지 않는 적당히 큰 자연수 <math> n_0 </math> 가 존재하게 된다. 이것은 위의 부등식이 모든자연수 <math> n </math> 에 대해 성립한다는 것에 모순이므로, 우리는 1이나 -1이 아닌 음이 아닌 모든 정수 <math> y </math> 에 대해 <math> |y|>1</math> 임을 얻는다. 즉 <math> |y|>1 </math> 이므로 <math> \begin{align} |x|^n &= |x^n| = |c_m y^m + \dotsc + c_0| \\ &\leq (m+1)M|y|^m \\ &\leq \left ( \frac{n\log x}{\log y}+1 \right)M |y|^{\frac{n\log x}{\log y}} \end{align} </math> 이 식의 양변을 <math> n </math> 제곱근한 뒤, <math> n \rightarrow \infty </math> 하면 <math> \displaystyle |x| \leq |y|^{\frac{\log x}{\log y}} \Rightarrow |x|^{\frac{1}{\log x}} \leq |y|^{\frac{1}{\log y}} </math> 를 얻으며 대칭성에 의해 등호의 역도 성립하므로 <math> \displaystyle |x|^{\frac{1}{\log x}} = |y|^{\frac{1}{\log y}} </math> 가 성립한다. 이로부터 모든 정수 <math> x </math> 에 대해 <math> |\cdot| </math> 이 <math> |\cdot|_{\infty} </math> 와 상등임을 얻으며, norm에 정의에 의해 모든 유리수에 대해서도 상등임을 얻는다. Case1, Case 2의 결과로부터 우리는 유리수 <math> \mathbb{Q} </math> 의 norm은 ''p''-adic norm 과 상등이거나 일반적인 절댓값과 상등이라는 것을 얻는다. 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț