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(아래 예시 참고) 이렇게 해서 <math>\pm x_1</math>이 준 방정식의 해가 된다. <math>x_2=8k-c</math>를 시도하면 <math>x_2 \equiv -x_1 \pmod{2^{\lambda}}</math>가 도출되며, <math>x_2</math>에 대해 별도로 문자 치환을 다시 시도할 필요는 없다. 이해를 돕기 위한 예시로 <math>x^2 \equiv 932 \pmod{2048}</math>을 풀어보자. * 먼저 합동식의 우변은 4의 배수이므로 <math>x=2y</math>를 대입해서 법의 차수를 내린다. <math>4y^2 \equiv 932 \pmod{2048}</math>을 간단히 하면 <math>y^2 \equiv 233 \pmod{512}</math>이다. * 법 16에 대한 식으로 간소화하면 <math>y^2 \equiv 9 \pmod{16}</math>이며 기본형 조건에 의해 <math>y \equiv \pm 3 \pmod 8</math>이다. * <math>y=8k+3</math>을 방정식에 대입하면 <math>64k^2+48k \equiv 224 \pmod{512}</math>이고, 공통 약수인 16으로 나누면 <math>4k^2+3k \equiv 14 \pmod{32}</math>(◇)이다. <math>k^2</math>의 계수가 4이므로 방정식의 법을 4로 축소하면 <math>3k \equiv 2, k \equiv 2 \pmod 4</math>임을 알아낸다. * (◇) 식에다 <math>k=4l+2</math>로 문자 치환을 다시 시도한다. <math>(4k+3)k=(16l+11)(4l+2) \equiv 14 \pmod{32}</math>를 정리하면 <math>12l \equiv 24 \pmod{32}</math>가 나오고, 공통 약수인 4로 나누면 <math>3l \equiv 6 \pmod 8, l \equiv 2 \pmod 8</math>이 나온다. 이 단계에서는 법을 축소하지 않았으므로, 문자 치환을 계속할 필요는 없다. * 문자 치환을 거슬러 올라간다. <math>4l \equiv 8 \pmod{32}, k=4l+2 \equiv 10 \pmod{32}, 8k \equiv 80 \pmod{256}, y=8k+3 \equiv 83 \pmod{256}</math> * 만약 <math>y=8k-3</math>을 시도했다면 <math>y \equiv -83 \pmod{256}</math>을 찾았을 것이다. 따라서 <math>y \equiv \pm 83 \pmod{256}</math>이며, 원래 변수는 <math>x=2y \equiv \pm 166 \pmod{512}</math>이다. * 검산: <math>x=512n \pm 166</math>을 방정식에 대입하면 <math>x^2=2048n(128n \pm 83)+166^2 \equiv 932 \pmod{2048}</math> 원래 방정식은 2048을 법으로 하는 합동식이었지만 구한 결과는 512가 기준이 되었다. 이처럼 법이 소수의 거듭제곱일 때에는 방정식의 해가 원래 조건식과 다른 법을 기준으로 나오기도 한다. === 홀수 소수의 거듭제곱 === 기본형만 다를 뿐 위의 2의 거듭제곱과 같이 문자 치환, 법의 축소, 공통 약수 약분을 동원하여 푸는 것은 같다. * <math>p \mid a, p^2 \nmid a</math>이면 <math>x^2 \equiv a \pmod{p^{\lambda}}</math>의 해는 존재하지 않는다 * <math>p^2 \mid a</math>이면 <math>x=py</math>로 치환하여 항의 계수와 상수항들을 각각 <math>p^2</math>으로 나눈다. * <math>p \nmid a</math>이면 합동식의 법을 <math>p</math>로 축소하여 이차합동식을 푼다. (홀수 소수의 거듭제곱에서는 이 단계가 기본형이다) * <math>x \equiv \pm c \pmod p</math>이 나오면 <math>x=pk+c</math>로 치환하여 원 방정식에 대입하고, 필요 시 법의 축소와 약분을 반복한다. * 문자 치환으로 <math>x \equiv e \pmod{p^{\lambda'}}</math>을 도출했다면 구하고자 하는 해는 <math>x \equiv \pm e \pmod{p^{\lambda'}}</math>이다. 예시 문제로 <math>x^2 \equiv 430 \pmod{729}</math>를 풀어보자. 이 문제에서는 합동식의 우변이 729와 서로소이므로, 바로 법을 축소한다. 출발점은 법 3으로 삼아도 되지만 <math>x^2 \equiv 7 \pmod 9</math>의 해가 <math>x \equiv \pm 4 \pmod 9</math>임을 알고 있다면 법 9에서 출발해도 된다. * <math>x=9k+4</math>라 하면 <math>81k^2+72k \equiv 414 \pmod{729}</math>이다. 공통 약수인 9로 나누면 <math>9k^2+8k \equiv 46 \pmod{81}</math>이며, <math>k^2</math>의 계수가 9이므로 법을 9로 축소한다. 그러면 <math>8k \equiv 1 \pmod 9</math>이고, 일차합동식을 풀면 <math>k \equiv 8 \pmod 9</math>이다. * 이제 <math>k=9l+8</math>이라 하면 <math>(9k+8)k=(81l+80)(9l+8) \equiv 46 \pmod{81}</math>이며, 정리하면 <math>-9l \equiv 54 \pmod{81}</math>이다. 합동식에서 <math>l^2</math>의 계수가 0으로 사라졌기에 법을 다시 축소할 필요는 없으며, 해는 이 단계에서 도출된다. * <math>9l \equiv 27 \pmod{81}</math>에서 문자 치환을 거슬러간다. <math>k \equiv 35 \pmod{81}, 9k \equiv 315 \pmod{729}, x \equiv 319 \pmod{729}</math>이다. 만약 <math>x=9k-4</math>에서 출발했다면 <math>x \equiv -319 \pmod{729}</math>를 얻어냈을 것이다. * 구하는 해는 <math>x \equiv 319 \text{ or } 410 \pmod{729}</math> 법 9, 25, 49, 121과 같은 소수의 제곱을 법으로 하는 이차합동식은 위에서 소개한 문자 치환을 한 단계만 거치면 해를 구할 수 있다. 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț