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[[유클리드 호제법]]으로 최대공약수를 다시 쓰면 <math>q \mid 2^{\gcd(2^{n+1},q-1)}-1</math>이다. 이때 <math>2^{n+1}</math>의 약수는 항상 2의 거듭제곱이므로 <math>\gcd(2^{n+1},q-1) = 2^m (m\le n+1)</math> 꼴로 써진다. 만약 <math>m\le n</math>이라면, <math>q \mid 2^{2^m}-1</math>이므로 <math>2^{2^m} \equiv 1 \pmod q</math>이다. 여기서 양 변을 제곱할 때마다 좌변의 지수의 지수가 1씩 올라가서 <math>2^{2^n} \equiv 1 \pmod q</math>에 도달한다. 하지만 이는 방금 전 (★) 식과 모순이다. 따라서 <math>m=n+1</math>이어야 하고, <math>\gcd(2^{n+1},q-1) = 2^{n+1}</math> 즉 <math>2^{n+1} \mid q-1,\ q \equiv 1 \pmod{2^{n+1}}</math>이다. 임의의 약수 역시 이 성질을 만족하는 소인수들의 곱이므로 마찬가지로 성립한다. #* 여기까지가 [[레온하르트 오일러]]가 이끌어낸 성질이다. 실제로 그는 이 정리를 이용하여 <math>F_5</math>의 약수를 구할 수 있었다. 구체적으로는 <math>q\equiv 1 \pmod {2^6}</math>을 만족하는 소수들을 나열하면 <math>q \in \{193, 257, 449, 577, 641, \cdots \}</math>이다. 이들 수로 차례대로 직접 나눠본 결과 약수 641을 찾았고, 나눈 몫인 6700417이 소수라는 사실도 이 방법으로 밝혀냈다. <ref>[http://eulerarchive.maa.org/hedi/HEDI-2007-03.pdf MAA Online, "How Euler factored F<sub>5</sub>"]</ref> # <math>n \ge 2</math>일 때, 페르마 수 <math>F_n</math>의 약수는 항상 <math>k\cdot 2^{n+2}+1</math>의 형태이다. #* 이 정리는 [[에두아르 뤼카]]가 증명한 것으로, 바로 위 오일러의 정리의 강화판이라 할 수 있다. #* '''증명''': <math>q</math>를 <math>F_n</math>의 소인수라 하자. <math>2^{2^n}+1 \equiv 0 \pmod q</math>에서 양 변에 <math>2\cdot 2^{2^{n-1}}</math>을 더한다. 그러면 <math>\left(2^{2^{n-1}}+1 \right)^2 \equiv 2\cdot 2^{2^{n-1}} \pmod q</math>이며, <math>x=2^{2^{n-2}}</math>라 하면 <math>F_{n-1}^2 \equiv 2x^2 \pmod q</math>과 같이 쓸 수 있다. 이때 <math>\gcd(x,q)=1</math>이므로 <math>xy \equiv 1 \pmod q</math>인 <math>y</math>가 존재한다. 이전 식의 양 변에 <math>y^2</math>을 곱하면 <math>y^2 F_{n-1}^2 \equiv 2 \pmod q</math>가 된다. 이어 <math>a = y F_{n-1} \mod q </math>라 하면 <math>a^2 \equiv 2 \pmod q</math>와 같이 써진다. 이 식을 <math>2^{2^n} \equiv -1 \pmod q</math>에 대입하면 <math>a^{2^{n+1}} \equiv -1 \pmod q</math>이고, 양 변을 제곱하면 <math>a^{2^{n+2}} \equiv 1 \pmod q</math>이다. 한편 위 기본 성질에 의해 <math>\gcd(F_{n-1},F_{n})=1</math>이므로 <math>\gcd(F_{n-1},q)=1</math>이고, <math>y,q</math> 끼리도 서로소이므로 <math>a,q</math> 역시 서로소이다. 그러므로 페르마의 소정리에 따라 <math>a^{q-1} \equiv 1 \pmod q</math>이다. 그 다음 단계는 바로 위의 정리와 같은 방법으로 접근하여 <math>2^{n+2} \mid q-1,\ q \equiv 1 \pmod{2^{n+2}}</math>임을 알 수 있다. === 정다각형 작도 === *자세한 내용은 [[작도 가능한 정다각형]] 문서 참조. 눈금 없는 자와 컴퍼스만을 이용하여 [[작도]]할 수 있는 [[정다각형]]의 조건은 페르마 소수와 관련이 있다. 정N각형이 작도 가능하려면 <math>\varphi(N)=2^{n}</math>, 즉 N의 [[오일러 피 함수]] 값은 2의 거듭제곱이 되어야 한다. *<math>\varphi(N)=2^{n}</math>이면 <math>N=2^{m}p_1p_2\cdots p_k</math> 꼴이다. 여기서 <math>p_j</math>는 서로 다른 페르마 소수이다. ** '''보조정리''': 소수 <math>p</math>가 페르마 소수이면 <math>\varphi(p)=2^{n}\ (n \ge 1)</math>을 만족하고, 그 역도 성립한다. ** '''보조정리의 증명''': 소수의 오일러 피 함수 값은 <math>\varphi(p)=p-1</math>이다. <math>p=2^{2^{\ell}}+1</math>이 페르마 소수이면 <math>\varphi(p)=2^{2^{\ell}}</math>이므로 2의 거듭제곱이 된다. 역으로, <math>\varphi(p)=2^n</math>을 만족하는 소수에 대해 <math>p=2^n+1</math> 형태이다. 위의 '기본 성질'에 의해 <math>2^n+1</math>이 소수가 되려면 <math>n=2^{\ell}</math> 꼴이 되어야 하며, 이는 곧 <math>p</math>는 페르마 소수임을 뜻한다. ** 보조정리에 따라 위 명제의 역이 성립함을 알 수 있고, 증명은 <math>\gcd(a,b)=1 \Rightarrow \varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)</math>를 이용하면 된다. ** '''증명''': <math>N=2^{m}p_1^{r_1}p_2^{r_2}\cdots p_k^{r_k}</math>로 소인수분해가 된다고 하자. 여기서 <math>p_j(1 \le j \le k)</math>는 서로 다른 홀수 소수이다. 그러면 <math>\displaystyle \varphi(N)=\varphi(2^m) \prod_{j=1}^k {\varphi(p_j^{r_j})} = 2^{m-1} \prod_{j=1}^k {(p_j-1)p_j^{r_j-1}}</math>이다. 이때 가정에서 <math>\varphi(N)</math>이 오직 2만을 소인수로 가진다고 했으므로, <math>(p_j-1)p_j^{r_j-1}</math>항은 모두 1이거나 2의 거듭제곱이 되어야 한다. <math>p_j^{r_j-1}</math> 항은 밑이 홀수 소수라고 가정했으므로 <math>r_j=1</math>이어야 한다. 또, <math>p_j-1 \ge 2</math>이므로 <math>p_j-1 = 2^{n_j}</math> 형태여야 한다. 보조정리에 따라 이 조건을 만족하는 소수 <math>p_j</math>는 페르마 소수이고, <math>N=2^{m}p_1p_2\cdots p_k</math>가 된다. 따라서 변이 홀수인 정다각형이 작도 가능하려면 서로 다른 페르마 소수의 곱이 되어야 한다. 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} 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