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[[곱셈]]에서의 1 같은 존재이며 [[덧셈]]에서의 0같은 존재이다. #[[역원]]이 존재한다. 그러니까 모든 <math>x \in G</math>에 대해서 적당한 <math>y \in G</math>가 있어서 <math>x\cdot y=y\cdot x=e</math>가 된다. 역원도 존재하면 유일하므로<ref>증명: <math>z</math>도 <math>x</math>의 역원이면 <math>y=y\cdot e=y\cdot (x\cdot z)=(y\cdot x)\cdot z=e\cdot z=z</math>.</ref>, 이 원소를 그냥 <math>x^{-1}</math>로 적는다. [[곱셈]]에서의 1/x와 같은 존재이며 [[덧셈]]에서의 -x와 같은 존재이다. 군의 [[연산]]은 보통 곱셈처럼 생각하며, 따라서 보통의 관습에 따라 <math>x\cdot y = xy</math>처럼 적기도 한다. 아예 연산이 붙여쓰기(juxtaposition)라고 하는 경우도 있다. 이 경우 항등원은 1로도 많이 쓴다. 한편, 후술하는 아벨군의 경우에는 연산을 덧셈처럼 생각하고 표기도 <math>x+y</math>와 같이 하는 경우가 훨씬 많고, 이 경우 항등원은 0으로 많이 쓴다. 이를 commutative diagram으로 쓰면 다음과 같이 나타낼 수 있다. 다음 세 diagram이 commute한다: # 결합 법칙과 닫혀 있음. #:<math>\require{AMSmath} \require{AMSsymbols} \def\mapright#1{\xrightarrow{{#1}}} \def\mapdown#1{\Big\downarrow\rlap{\raise2pt{\scriptstyle{#1}}}} \def\mapdownl#1{\llap{\raise2pt{\scriptstyle{#1}}}\Big\downarrow} \def\mapdiagright#1{\vcenter{\diagdown\kern-.4em\lower.63em{\searrow}\llap{\raise2pt{\scriptstyle #1\kern2pt}}}} \def\mapdiagleft#1{\vcenter{\kern1em\diagup\kern-1.6em\lower.63em{\swarrow}\llap{\raise2pt{\scriptstyle #1\kern2pt }}}} \begin{array}{ccc} (G\times G )\times G & \mapright{\cong} & G\times (G\times G ) \\[3pt] \mapdownl{m \times 1_G}& & \mapdown{1_G\times m } \\[3pt] G\times G & &G\times G \\[3pt] \qquad\qquad \mapdiagright{m }& & \mapdiagleft{m } \qquad \qquad \\ & G & \end{array}</math> #:여기에서 <math>m=\cdot : G\times G\longrightarrow G</math>는 곱셈(이항연산)을 나타내고, 1<sub>G</sub>은 항등함수 <math>1_G:g \mapsto g</math>를 나타낸다. # 항등원의 존재. 다음 두 삼각형을 commute하는 항등원 (항등원을 만드는 사상) <math>e:\;G\xrightarrow{\mathrm{proj}} 1\rightarrow G</math>이 존재한다:<ref>여기서 1은 [[singleton]], 즉 {0}을 나타낸다.</ref> #:<math>\require{AMSmath} \require{AMSsymbols} \def\mapright#1{\xrightarrow{{#1}}} \def\mapdown#1{\Big\downarrow\rlap{\raise2pt{\scriptstyle{#1}}}} \def\mapdownl#1{\llap{\raise2pt{\scriptstyle{#1}}}\Big\downarrow} \def\mapdiagright#1{\vcenter{\diagdown\kern-.4em\lower.63em{\searrow}\llap{\raise2pt{\scriptstyle #1\kern2pt}}}} \def\mapdiagleft#1{\vcenter{\kern1em\diagup\kern-1.6em\lower.63em{\swarrow}\llap{\raise2pt{\scriptstyle #1\kern2pt }}}} \begin{array}{ccc} G & \mapright{\left< e, 1_G \right>}&G\times G\\[3pt] \mapdownl{\left< 1_G, e \right>}&\mapdiagright{1_G} & \mapdown{m} \\[3pt] G\times G & \mapright{m}&G \end{array}</math> # 역원의 존재. 다음 두 사각형을 commute하는 역원 (역원을 만드는 사상) <math>i:G\rightarrow G</math>이 존재한다: #:<math>\require{AMSmath} \require{AMSsymbols} \def\mapright#1{\xrightarrow{{#1}}} \def\mapleft#1{\xleftarrow{{#1}}} \def\mapdown#1{\Big\downarrow\rlap{\raise2pt{\scriptstyle{#1}}}} \def\mapdownl#1{\llap{\raise2pt{\scriptstyle{#1}}}\Big\downarrow} \def\mapdiagright#1{\vcenter{\diagdown\kern-.4em\lower.63em{\searrow}\llap{\raise2pt{\scriptstyle #1\kern2pt}}}} \def\mapdiagleft#1{\vcenter{\kern1em\diagup\kern-1.6em\lower.63em{\swarrow}\llap{\raise2pt{\scriptstyle #1\kern2pt }}}} \begin{array}{ccc} G\times G & \mapleft{\Delta} & G & \mapright{\Delta} & G\times G \\[3pt] \mapdownl{1_G\times i} & & \mapdownl{e} & &\mapdown{i\times 1_G} \\[3pt] G\times G & \mapright{m} & G & \mapleft{m} & G\times G \\[3pt] \end{array}</math> #: 이때 <math>\Delta = \left< 1_G , 1_G \right></math>이다. 간단한 군의 예시를 들어보자. {a, b}라는 집합을 두고 a+a=a, a+b=b+a=b, b+b=a라고 정의하면 이것은 군이 된다.<ref>뺄셈은 a-a=a, a-b=b, b-a=b, b-b=a로 "정의"한다. 이 상황이 말하고자 하는 바는 추후에 명백해진다.</ref> 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț