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[[대수적 정수론]]과 해석적 정수론. 대수적 정수론이 소수 하나의 성질, 소수에 대한 대수적 성질에 관심있다면 해석적 정수론은 [[소수]]의 분포에 관심을 두고 있다. 그러니까, 소수가 어떤 방식으로 퍼졌는지 보는 것이다. 예를 들면 10억 이하의 소수의 개수는 대충 몇 개일까?? 라는 문제에서 해석적 정수론은 ''10<sup>9</sup>/ln(10<sup>9</sup>)=48254942''라고 대답할 것이다. 왜냐하면 [[소수 정리]]에 의하면 <math> \sum_{p\le x}1=\frac{x}{\ln{x}}+O\left(\frac{x}{\ln^2{x}}\right)</math> 이기 때문이다. 해석적 정수론은 단순히 소수들의 모임 뿐만 아니라 특정한 소수들에 대해서도 관심이 많다. 예를 들어서 Dirichlet theorem on arithmetic progressions이 그런데, ''a,b''가 서로소라면 ''an+b''꼴 소수는 무한히 많다. 그리고 무한히 많은 것뿐만 아니라 <math> \sum_{\substack{p\le x \\ p \equiv a \pmod q}}\ln{p}=\frac{x}{\varphi(q)}+O_A\left(\frac{x}{\ln^A{x}}\right)</math> 이기까지 하다. 그리고 쌍둥이 소수에 대해서도 생각할 수 있는데, ''p''가 쌍둥이 소수라는 것은 ''p''와 ''p+2''가 모두 소수일 때를 말한다. 이것이 무한한지 유한한지는 전혀 알려지지 않았지만, Brun's theorem에 의하면 <math>\sum_{p\text{ is twin prime }}\frac{1}{p}<\infty </math> 로, 그러니까 수렴함을 증명하였다. 좀 더 강력한 정리를 소개하자면 <math> \sum_{p\text{ is twin prime }}1\ll \frac{x}{\ln^2{x}}</math> 가 된다. 여기에서 <math> \ll </math> 표기는 해석적 정수론에서 자주 쓰이는 표기로 <math> =O(\cdots)</math>랑 의미가 같다. 그리고 또 하나 중요한 정리는 소수들을 작은 순서대로 <math> 2=p_1,3=p_2,p_3,p_4,p_5,p_6,\cdots</math>라고 나열한다면 <math> \liminf_{n\to \infty}(p_{n+1}-p_n)\le 248 </math> 이 성립한다.<ref> 처음에 Yitang Zhang이 <math> \le 7\times 10^{7}</math>을 증명한 다음에 전 세계에서 IQ가 가장 높다는 테렌스 타오를 포함해서 여러 수학자들의 단체로 이 문제에 달라붙어서 이렇게나 줄었다.</ref> 이런 문제들을 풀 때 해석적 정수론은 우리가 원하는 소수만을 걸러내가 위한 특별한 함수를 생각하는데, Dirichlet theorem에선 Dirichlet character<ref> 대수적 정수론에서도 Dirichlet character는 자주 나온다. 대수적 정수론에선 Dirichlet character란 Legendre symbol의 일반화로, Artin reciprocity에 의해서 Galois group의 원소와 자연스럽게 대응된다. 대수적 정수론에서도 Dirichlet character를 쓸 땐 해석적인 방법을 쓴다. 단 소수들의 분포보단 소수들이 다른 것들과 어떻게 대응되는지 알아내고 싶어서 쓴다.</ref>, 쌍둥이 소수에선 Sieve method<ref> 중학교 1학년 때 배우는 아리스토텔레스의 체를 개조...한 거다.</ref>라는 특별한 방법을 쓴다. 골드바흐의 추측은 유명한 추측으로 4보다 크거나 같은 어떤 정수 ''n''이 있으면 적당한 두 소수 ''p,q''가 있어서 ''n=p+q''라는 내용이다. 이것은 두 소수의 합에 대한 분포의 문제라고 볼 수 있는데, 합들의 분포 문제는 Hardy-Littlewood circle method를 쓸 수 있으며 이것으로 골드바흐 추측은 해결하지 못 했지만 약한 골드바흐의 추측. 그러니까 7보다 크거나 같은 어느 홀수 ''n''에 대해서 적당한 소수 ''p,q,r''이 있어서 ''n=p+q+r''이라는 것은 Hardy-Littlewood circle method로 해결하는데 성공했다.<ref> 논문은 http://arxiv.org/abs/1305.2897, http://arxiv.org/abs/1205.5252 </ref> 그러니까, 해석적 정수론에서 초등정수론 문제를 해결할 때 가지는 철학은 다음과 같다. '''분포를 알면 성질도 같이 알 수 있다.''' == 리만 제타 함수== 수학에 관심 있는 사람들이라면 리만 제타 함수 (Riemann zeta function)에 대해서 많이 들었을 것이다. 해석적 정수론의 관점에서 Riemann zeta function은 소수의 분포들을 품고 있는 함수인데, <math> \zeta(s)=\sum_{n\ge 1}\frac{1}{n^s}</math> 라고 정의한다. 이는 <math> \text{Re}(s)>1</math>에서 절대수렴한다. 그리고 가장 중요한 성질 중 하나가 <math> \zeta(s)=\prod_{p}\left(1-\frac{1}{p^s}\right)^{-1}</math> 이라는 성질이다.<ref> ''p''라고 그냥 쓰면 소수에 대해서만 더하거나 곱하겠다는 뜻이다.</ref> 이는 중요한데, 여기에서 우리는 곧바로 <math> \sum_{p}\frac{1}{p}=\infty</math> 라는 놀라운 결과를 얻을 수 있다. 좀 더 소수들에 대한 분포를 direct하게 얻고 싶다면 <math> -\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}=\sum_{n\le 1}\frac{\Lambda(n)}{n^s}</math> 를 보면 된다. 여기에서 <math> \Lambda(n)</math>는 Mangoldt's function이라고 불리는 걸로 <math>\Lambda(n)=\begin{cases} \ln{p} & n=p^e \\ 0 & \text{otherwise }\end{cases} </math> 를 생각할 수 있다. 그렇다면 counter integration은 우리에게 <math> \zeta(s)</math>의 zero와 소수의 분포는 정말로 밀접한 관계가 있다는 것을 알려주는데, zero-free region을 생각하면 모든 ''c>0''에 대해서 <math> \sum_{n\le x}\Lambda(n)=x+O_{c}\left(xe^{-c\sqrt{\ln{x}}}\right)</math> 라는 것을 증명할 수 있다. 그리고 Riemann zeta function의 모든 zero가 음의 정수쪽을 제외하면 실수 부분이 ''1/2''라는 리만 가설을 가정하면 <math> \sum_{n\le x}\Lambda(n)=x+O\left(x^{\frac{1}{2}}\ln^2{x}\right)</math> 까지 개선할 수 있다. == Dirichlet L-function== 우리는 모든 소수의 분포가 아니라 특정한 소수의 분포만 원한다고 할 때, 그 소수만 집을 수 있는 함수가 필요하고, 우리가 생각할 수 있는 가장 단순한 함수는 <math> P</math>가 일부 소수들의 집합일 때 <math> f(p)=\begin{cases} 1 & p\in P \\ 0 & x\notin P\end{cases}</math> 일 것이다. 하지만 이렇게 정의하는 것은 계산에서 힘들다. 이것을 어떻게 변형해서 뭔가가 나온다는 법칙이 있는 것도 아니고, 그냥 아무것도 아니어 보인다. 하지만 이런 법칙이 있다면 어떨까. <math> \sum_{\chi \in \mathrm{Hom}((\Bbb{Z}/q\Bbb{Z})^{\times},\Bbb{C}^{\times})}\chi(a)\bar{\chi}(b)=\begin{cases} 1 & a\equiv b \pmod q \\ 0 & a \not\equiv b \pmod q \end{cases}</math> 여기에서 <math> \mathrm{Hom}((\Bbb{Z}/q\Bbb{Z})^{\times},\Bbb{C}^{\times})=\{\chi:\Bbb{Z}\to \Bbb{C}^{\times}| \chi(ab)=\chi(a)\chi(b),\chi(a+q)=\chi(a),\chi(a)=0\text{ for all }a \text{ which is }(a,q)\ne 1\}</math> 로 정의한다. 그리고 이것의 원소를 Dirichlet character라고 한다. 이렇게 계산할 수 없어 보이는 것을 어떻게든 계산할 수 있게끔 만드는 것은 해석적 정수론에서 매우 중요하다. sieve method로 이런 종류이며, sieve method는 Dirichlet character와는 달리 정확한 계산은 힘들지만 정말 광범위한 곳에 적용할 수 있다. 이제 다음을 정의하자. <math> L(s,\chi)=\sum_{n\ge 1}\frac{\chi(n)}{n^s}</math> 이를 Dirichlet L-function이라고 하는데, Riemann zeta function이 소수 전체를 대변했다면 Dirichlet L-function은 특정한 소수들. 특히 ''q''로 나눴을 때의 소수들에 대해서만 대변해준다. 이것의 zero 분포는 Riemann zeta function과 마찬가지로 소수들의 분포를 나타내고, 이것으로 ''a,b''가 서로소일 때 ''an+b''꼴 소수가 무한히 많음을 증명한다. ==초등적 증명== 초등적 증명이라는 것이 있는데, 보통 복소해석을 쓰지 않는 증명을 말한다. Riemann zeta function이나 Dirichlet L-function이나 소수의 분포를 알기 위해서 복소해석의 힘을 빌리는데, 복소해석 없이 초등적으로 증명하겠다는 것은 기초적인 소수의 성질과 계산노가다로만 증명하겠다는 것을 말한다. 대표적으로 소수 정리 <math> \lim_{x\to \infty}\frac{\left(\sum_{p\le x}1\right)\ln{x}}{x}=1</math> 를 Selberg가 초등적으로 증명한 것이 있다. 그리고 복소해석 말고도 다른 고급 이론. 대표적으로 대수기하를 쓰지 않는 증명을 초등적 증명이라고 말하며 Yitang Zhang은 소수의 분포를 알아낼 때 Weil conjecture와 Grothendieck trace formula에서 딸려나오는 <math> \left|\sum_{x\in \Bbb{F}^{\times}_{p}}e\left(\frac{2\pi i}{p}f(x_1,\cdots,x_n)\right)\right|\le (d-1)^np^{\frac{n}{2}}</math> 를 썼는데, 이것의 증명은 먼저 Weil conjecture부터 증명해야 하는데, 해석적 정수론하고는 거의 상관없는 이야기를 해야 한다. 하지만 [[수학자]]들은 이런 정리 없이 순수하게 해석적 정수론의 도구만으로 <math> \lim_{n\to \infty}(p_{n+1}-p_n)\le 246</math> 을 증명하는데 성공한다. {{주석}} [[분류:수학]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)