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''p''가 소수여야 하는 이유는 소수가 아니라면 ''0''이 아닌 어떤 숫자가 역원이 존재하지 않을 수도 있어서. 처음보면 생소할 수 있는 이 수체계는 정수론에서 아주 다방면으로 활용되는 쓸모있는 수체계이다. ==간단 definition== 우리는 실수를 정의할 때 유리수에서 점을 하나씩 채운다. 그리고 그 채우는 방법은 Cauchy sequence를 이용하거나, least upper bound property를 이용하던가. least upper property는 ordered field에서만 얘기할 수 있으므로 Cauchy sequence를 이용하자. <math>\Bbb{Q}</math>에 norm이란 것을 준다. norm은 ''k''가 field일 때 * <math> \|\cdot\|:k \to \Bbb{R}^{+}\cup \{0\}=\{x:x\ge 0\}</math>인 함수 * 모든 <math> x,y\in k</math>에 대해서 <math> |xy|=|x||y|</math> * 모든 <math> x,y,z\in k</math>에 대해서 <math> |x+y|\le |x|+|y|</math> 를 만족하는 것을 뜻한다. 그리고 ''k'' 안의 sequence <math> \{x_n\}</math>가 Cauchy sequence라는 것을 * 모든 <math>\varepsilon>0</math>에 대해서 적당한 ''N''이 있어서 <math> \|x_m-x_n\|<\varepsilon</math> for all <math> m,n\ge N</math> 을 만족하는 sequence를 말한다고 하자. 그리고 두 Cauchy sequence <math>\{x_n\},\{y_n\}</math>이 서로 equivalent하다는 것을 * 모든 <math>\varepsilon>0</math>에 대해서 적당한 ''N''이 있어서 <math> \|x_n-y_n\|<\varepsilon</math> for all <math> n\ge N</math> 이라는 것이다. 이는 좀 더 강력해 보이는 조건 * 모든 <math>\varepsilon>0</math>에 대해서 적당한 ''N''이 있어서 <math> \|x_m-y_n\|<\varepsilon</math> for all <math> m,n\ge N</math> 하고 동치인데, converse는 자명하고 나머지는 <math> |x_m-x_n|<\frac{\varepsilon}{2},|x_n-y_n|<\frac{\varepsilon}{2}</math> 이 되도록 하는 자연수들을 각각 <math> N_1,N_2</math>라고 하고 <math> \max\{N_1,N_2\}</math>를 생각하자. 우리는 <math> \Bbb{Q}</math>로 돌아오자. 어떤 숫자가 ''p''진법으로 표현했을 때 자릿수가 어떻게 되는지 표현할 수 있을까?? 대충 <math> x=a_np^n+a_{n-1}p^{n-1}+\cdots+a_ip^i</math> 이라고 어떤 자연수를 ''p''진법으로 표현했다고 하자. 그렇다면 <math> |x|_p=p^{-i}</math> 라고 정의하자. 이는 어디에서 자릿수가 끝나는지 알려주는 표식 역할을 한다. 그리고 더 일반적으로 <math> x=p^i\frac{a}{b}</math>꼴이고 <math> a,b</math>모두 ''p''하고 서로소라고 하자. 그렇다면 <math> |x|_p=p^{-i}</math> 라고 정의하자. 그렇다면 이는 norm의 조건을 모두 만족한다. 그리고 더 강력한 <math> |x+y|_p\le \max\{|x|_p,|y|_p\}</math> 도 만족한다. 그리고 우리는 실수를 정의하듯이 이렇게 정의하자. <math> \Bbb{Q}_p=\{\{x_n\}|x_n \text{ is Cauchy sequence on }\Bbb{Q}\text{ with respect to norm }\|\cdot\|_p\}/\sim</math> 라고 하자. 여기에서 ''~''는 위에서 정의한 Cauchy sequence의 equivalent다. 그렇다면 이것은 잘 정의된 field가 된다. 이것의 원소를 ''p''-adic number라고 하자. 그리고 <math> \Bbb{Z}_p=\{x\in \Bbb{Q}_p||x|_p\le 1\}</math> 이라고 정의하자. 이것의 원소를 ''p''-adic integer라고 하자. == 다른 definition== 이렇게 정의할 수도 있다. ''n''이 자연수라면 <math> \Bbb{Z}/p^{n+1}\Bbb{Z}\longrightarrow \Bbb{Z}/p^n\Bbb{Z}</math> 를 <math> x+p^{n+1}\Bbb{Z}\longmapsto x+p^n\Bbb{Z}</math> 로 정의하자. 이는 natural projection인데, 이는 자연스럽게 surjective homomorphism이 되고, <math> \Bbb{Z}_p=\varprojlim \Bbb{Z}/p^n\Bbb{Z}</math> 라고 정의하자. 이것은 integral domain이 된다. 그리고 <math> \Bbb{Q}_p </math>는 이것의 field of quotient라고 정의하자. 이것은 대수학에서 더욱 많이 쓰는 정의다. == 정수론에서 쓰임== 정수론에서 볼 때 p-adic number는 소수 ''p''에 대한 정보를 요란한 방법으로 알려주는 숫자다. 이것을 쓰는 결정적 이유는 이것에 topology를 줄 수 있기 때문이다!! Hensel's lemma는 이것에 대해서 아는 것은 mod p로 어떤 정수를 나눴을 때 나머지를 아는 것과 같음을 알려주고, p-adic numbers 위엔 topology. 특히 적분을 정의할 수 있다. 게다가 여기에서 정의되는 적분은 보통 실수에서 정의되는 적분보다 계산도 쉽다. 이는 topology가 특이해서 그런데, topology가 실수 위의 topology보다 단순하다. 그리고 중국인의 나머지 정리로 대표되는 초등정수론에서 local property와 global property의 연결은 p-adic numbers에선 adéle이라는 것으로 만들어진다. 보통 쓰던 도구가 가지고 있는 것을 그대로 쓸 수 있고, topology라는 도구가 하나 더 추가되었으니 안 쓸 수가 없다. 또 하나의 이유는 뒤에 있는데, field extension 때문이다. == field extension == ''p''-adic number의 field extension은 적어도 <math>\Bbb{Q}</math>의 field extension보다는 훨씬 단순하지만 <math>\Bbb{R}</math>보단 복잡하다. <math>\Bbb{R}</math>의 field extension은 정말로 단순해서 algebraic closure가 degree 2 extension인 <math>\Bbb{C} </math>이고, 이것은 complete이기까지 하지만, 똑같은 completion인 <math> \Bbb{Q}_p</math>는 infinite algebraic extension이 있고, 그 algebraic closure는 complete가 아니다. 그리고 그걸 또 completion하면 다행히 algebraically closed field라는 성질은 유지되는데, locally compact가 아니라서 적분을 정의 못 한다는... 또 하나의 시련에 시달린다. 이 field를 <math>\Bbb{C}_p</math>라고 자주 쓰는데, 신기한 성질은 이것은 <math>\Bbb{C}</math>하고 field isomorphic하다는 것이다. 그러니까 다르게 completion했고 다른 길을 걸었지만 사실 복소수들의 집합과 <math> \Bbb{C}_p</math>는 완전히 같은 집합에 완전히 같은 field structure를 주고서 topology만 다르게 준 것이다. 그러니까 <math> \Bbb{C}_p</math>는 topology만 빼면 그냥 복소수 집합이다. 사실 field extension이 이렇게 복잡한 것은 다행이라고 할 수 있는데, 이것은 <math> \Bbb{R}</math>의 field extension뿐만 아니라 finite field의 field extension보다도 복잡하다. 그 적당히 복잡하다는 성질로 <math>\Bbb{Q}</math>의 field extension의 성질을 더욱 더 많이 뽑을 수 있어서. <math>\Bbb{R}</math>처럼 단순했다면 수학자들 입장에선 너무 쉬울지 몰라도 그걸로 <math> \Bbb{Q}</math>에 대한 정보도 알아낼 수 없었을 것이다. 사실 <math> \Bbb{R}</math>의 field extension이 이렇게나 단순한 이유는 ordered field라는 성질 때문인데, <math>\Bbb{Q}_p</math>의 field extension이 복잡한 건 당연한 걸지도 모르겠다. Ramification theory를 보면 <math>\Bbb{Q}_p</math>의 field extension은 당연히 복잡해야 한다. 안 그러면 <math> \Bbb{Q}</math>의 field extension부터 엄청 단순했을 것이다. ==Ostrowski theorem== Norm으로 만드는 <math> \Bbb{Q}</math>의 completion은 딱 두 가지라는 얘기다. <math>\Bbb{R} </math>하고 <math>\Bbb{Q}_p</math>. 증명 [[추가바람|추가바람]] == 레퍼런스 == * 독자연구 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)