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ISBN 9788961055956</ref> 이때 부등식을 만족하는 소수는 2, 3, 5, 7이다. * 1은 소수가 아닌 걸 아니까 소거한다. * 2부터 120까지의 수 중에 2의 배수인 것을 모두 소거한다. * 남은 수 중에 3의 배수인 것을 모두 제거한다. * 남은 수 중에 5의 배수인 것을 모두 제거한다. * 남은 수 중에 7의 배수인 것을 모두 제거한다. * 소거 과정을 거치고 남은 것들은 모두 소수다. {{ㅊ|어때요, 정말 쉽죠?}} 이 방법은 소수를 찾는 방법 중 가장 단순하고 동시에 비효율적인 방법이다. 현대에는 소수 정리와 같은 소수를 찾는데 {{ㅊ|아주 아주 아주}} 조금 효율적인 수학 정리들이 존재한다. == 소수의 개수 == 소수의 개수는 무한함이 알려져 있는데, 이 사실은 [[유클리드]]가 처음 증명했다. 또한 [[디리클레 등차수열 정리]]에 따르면 [[서로소]]인 두 양의 정수 \(a,b\)에 대해 \(an+b\) (단, \(n\)은 음이 아닌 정수) 꼴의 소수도 무한히 많다. === 증명 === ==== 유클리드의 증명 ==== 소수의 개수가 유한하다고 가정하자. 그러면 유한한 소수를 \(p_1,p_2,\cdots, p_n\)으로 둘 수 있다. 이제 \(N\)을 : <math>N=p_1p_2\cdots p_n + 1</math> 로 정의하자. 그러면 \(N \ge 2\)이므로 \(N\)의 소인수 \(p\)가 존재한다. 즉, \(p\mid p_1p_2\cdots p_n+1\)이고 \(p\mid p_1p_2\cdots p_n\)이므로 \(p\mid 1\)이 되어 모순이다. 따라서 소수의 개수는 무한하다. === 소수 계량 함수 === {{참조|소수 계량 함수|소수 정리}} 실수 \(x>0\)에 대해 \(x\)보다 작거나 같은 소수의 개수를 \(\pi(x)\)라고 하자. 이때 \(\pi: \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{N}\)를 소수 계량 함수라고 한다. 이때 다음 식이 성립한다는 것이 알려져 있다. : <math>\lim_{x\to \infty}\frac{\pi(x)\ln x}{x}=1</math> ==소수의 일반화== 소수의 일반화로 기약수가 있다. 앞서 자연수 영역에서의 소수를 ‘1보다 큰 자연수 중에서 약수가 1과 자신뿐인 수’로 정의하였으나, 사실은 다음 두 정의가 혼용되고 있었다. * <math>p>1</math>이고 <math>ab=p</math>이면 <math>a=1</math> 또는 <math>b=1</math>. * <math>p>1</math>이고 <math>p\mid ab</math>이면 <math>p\mid a</math> 또는 <math>p\mid b</math>. :(<math>a\mid b</math>는 <math>b</math>가 <math>a</math>로 나누어 떨어진다는 뜻.) 이 두 정의는 자연수의 소인수분해를 생각하면 동치임이 명백하다. 그러나 다항식에서 비슷한 역할을 하는 기약다항식 등을 연구하면서, 수학자들은 두 정의가 일반적으로는 동치가 아님을 알게 되었다. 따라서 다음과 같이 구분하게 되었다. <math>R</math>이 1을 갖는 가환환일 때, <math>p \in R</math>에 대하여 * <math>p</math>가 non-zero, non-unit이고 <math>a</math>, <math>b \in R</math>에 대해 <math>ab=p</math>이면 <math>a \in R^*</math> 또는 <math>b \in R^*</math>이면 <math>p</math>는 '''기약수(irreducible element)'''. * <math>p</math>가 non-zero, non-unit이고 [<math>a</math>, <math>b \in R</math>에 대해 <math>p\mid ab</math>이면 <math>p\mid a</math> 또는 <math>p\mid b</math>]이면 <math>p</math>는 '''소수(prime element)'''. 정역(Integral domain)에서는 모든 소수는 기약수이다.<ref>증명: <math>ab=p</math>이면 <math>p\mid ab</math>이다. 예를 들어 <math>p\mid a</math>라 하면 어떤 <math>c \in R</math>에 대해 <math>pc=a</math>이고, 첫 식에 대입하여 <math>pcb=ab=p</math>를 얻는다. 양변에서 <math>p</math>를 소거하면 <math>cb=1</math>이므로 <math>b \in R^*</math>.</ref> 그러나 그 역은 일반적으로는 참이 아니며, 유일 인수분해 정역(Unique factorization domain)에서는 모든 기약수는 소수임을 증명할 수 있다. 소수의 또 다른 일반화로 소아이디얼이 있다. <math>R</math>이 1을 갖는 가환환일 때, <math>R</math>의 아이디얼(ideal) <math>I</math>에 대하여 <math>I \neq R</math>이고 [<math>a</math>, <math>b \in R</math>에 대해 <math>ab \in I</math>이면 <math>a \in I</math> 또는 <math>b \in I</math>]이면 <math>I</math>는 '''소아이디얼(prime ideal)'''이라 한다. 약수와 배수 관계가 아이디얼의 포함관계에 대응된다는 점을 생각하면 위 정의가 소수에 관한 앞서의 정의와 상통함을 알 수 있다. 따라서 <math> p \neq 0 </math>일 때 <math>p</math>가 소수인 것과 <math>p</math>가 생성하는 아이디얼 <math>(p)</math>이 소 아이디얼인 것이 동치임은 자명하다. 주의할 점은 <math>R</math> 자신은 소아이디얼이라고 부르지 않는다는 것이다. 이는 1이 소수가 아닌 것과 마찬가지이다. 즉, 소 아이디얼의 정의에서 <math>I \neq R</math>이라는 조건은 <math>p</math>가 non-unit이라는 조건에 대응된다. 그러나 또 주의할 점은 <math>I</math>가 non-zero일 것은 요하지 않으므로, 영 아이디얼 0도 소아이디얼일 수 있다는 것이다. 따라서 앞서의 명제에서 <math>p \neq 0</math>이라는 조건을 빼먹으면 곤란하다. 어떤 환에서 소인수분해가 유일하게 되지 않는다 하더라도, 즉 그 환이 [[유일 인수분해 정역]](UFD)가 아니라 하더라도 그 환이 데데킨트 환이라면 모든 아이디얼은 소아이디얼들로 유일하게 소인수분해가 된다. ==유명한 소수== * [[2]]: 짝수인 유일한 소수. * 691: 베르누이 수와 관련되어 있다는 지표가 된다. * 65537 = 2<sup>16</sup>+1 = 2<sup>2<sup>4</sup></sup>+1: 현재까지 알려진 가장 큰 [[페르마 소수]]로서, [[컴퓨터]]에서 65537제곱을 하기가 쉽다는 특성 때문에 암호론 등에서 자주 등장한다. * [[메르센 소수]]: <math>2^p-1</math> 꼴의 소수. 이때 \(p\)는 소수다. 2015년 11월 현재 48개가 알려져 있으며, 가장 큰 메르센 소수는 2013년에 발견된 \(2^{57885161}-1\)이다. * [[쌍둥이소수]]: 소수 \(p\)에 대해 <math>p+2</math>가 소수이면 \(p\)와 \(p+2\)를 쌍둥이소수라고 한다. * [[제르멩 소수]]: 소수 \(p\)에 대해 <math>2p+1</math>이 소수이면 \(p\)를 제르멩 소수라고 한다. {{각주}} [[분류:수]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 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ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:ISBN (원본 보기) (준보호됨)틀:ㅊ (원본 보기) (준보호됨)틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:다른 뜻 (원본 보기) (준보호됨)틀:참고 (원본 보기) (준보호됨)틀:취소선 (원본 보기) (준보호됨)