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[ 0 => '{{학술}}', 1 => '{{토막글}}', 2 => ''''Local extrema'''.', 3 => false, 4 => '== 정의 ==', 5 => '표준적인 정의는 다음과 같다.', 6 => false, 7 => '* [[집합 (수학)|집합]] <math>X</math> 및 [[함수 (수학)|함수]] <math>f:X \to \mathbb{R}</math>에 대해', 8 => '** 어떤 <math>x_0 \in X</math>가 있어서 모든 <math>x \in X</math>에 대해 <math>f(x) \leq f(x_0)</math>를 만족하면 <math>f(x_0)</math>를 '''최댓값((absolute) maximum value)'''이라고 하고, <math>x_0</math>를 '''최대점(maximum point)'''이라고 한다.', 9 => '** 어떤 <math>x_0 \in X</math>가 있어서 모든 <math>x \in X</math>에 대해 <math>f(x) \geq f(x_0)</math>를 만족하면 <math>f(x_0)</math>를 '''최솟값((absolute) minimum value)'''이라고 하고, <math>x_0</math>를 '''최소점(minimum point)'''이라고 한다.', 10 => '* 만일 위 집합 <math>X</math>가 [[위상공간]] <math>(X,\mathcal{T})</math>이라면,', 11 => '** 어떤 <math>x_0 \in X</math>가 있어서 <u><math>x_0</math>의 어떤 [[근방]] <math>x_0 \in U \in \mathcal{T}</math>에서는</u> 모든 <math>x \in U</math>에 대해 <math>f(x) \leq f(x_0)</math>를 만족하면 <math>f(x_0)</math>를 '''극댓값(local maximum value)'''이라고 하고, <math>x_0</math>를 '''극대점(local maximum point)'''이라고 한다.', 12 => '** 어떤 <math>x_0 \in X</math>가 있어서 <u><math>x_0</math>의 어떤 근방 <math>x_0 \in U \in \mathcal{T}</math>에서는</u> 모든 <math>x \in U</math>에 대해 <math>f(x) \geq f(x_0)</math>를 만족하면 <math>f(x_0)</math>를 '''극솟값(local minimum value)'''이라고 하고, <math>x_0</math>를 '''극소점(local minimum point)'''이라고 한다.', 13 => '* 극댓값과 극솟값을 아울러 '''극값(local extrema)'''이라 한다.', 14 => false, 15 => '극댓값과 극솟값의 정의를 하면서 최댓값과 최솟값의 정의를 먼저 꺼낸 것은 위 극댓값과 극솟값의 정의는 명백하게 최댓값과 최솟값의 정의에 대한 유비로서 이루어진 것이기 때문이다. 이는 ‘극대’ 및 ‘극소’ 혹은 그 영어 표현인 local maxima and minima의 말 자체의 뜻과 가장 잘 부합한다.', 16 => false, 17 => '극댓값과 극솟값, 그리고 극대점과 극소점에 관심을 가지는 것은 최대점과 최소점은 언제나 극대점 또는 극소점이기 때문이다(위처럼 정의하면 정의로부터 명백하다). 즉 최대·최소문제를 풀기 위해 최대점 또는 최소점을 직접 찾는 것은 일반적으로는 어렵기 때문에, 그 후보가 되는 극대점 또는 극소점을 먼저 찾아서 대상을 추리고, 이들 가운데에서 대소 비교만 하여 최대점 및 최대점을 찾겠다는 것이다.', 18 => false, 19 => '== 표준적이지 않은 정의 및 그 문제점 ==', 20 => '그러나 위 ‘표준적인 정의’와 다르게 극값을 정의하는 경우도 발견된다. 특별히 (고등학교) 교과서에서 더욱 그렇다.', 21 => false, 22 => '만일 다르게 정의해도 i)‘극대’ 및 ‘극소’라는 말 자체의 뜻과 상통하는 바가 있고 ii)(독자적일지라도) 유의미한 이론 전개가 가능하다면 그렇게 정의하는 것을 굳이 막을 이유는 없을 것이다. 그러나 아래에서 자세히 살펴 보겠지만, 어떤 정의는 i)‘극대’ 및 ‘극소’라는 말 자체의 뜻과 잘 어울리지도 않으면서, ii)특별히 쓸모가 많아지는 것도 아니고, iii)오히려 이런저런 혼란만 가중하는 경우가 있다. 이런 정의를 굳이 고수해야 할 필요는 없을 것이고, iv)교육적 목적에서라면 더더욱 그러할 것이다.', 23 => false, 24 => '아래에서는 편의상 극댓값 및 극대점의 정의만을 논한다. <math>f</math> 대신 <math>-f</math>를 생각하면 극솟값 및 극소점에 관해서도 마찬가지 논의가 유효하리라는 점은 명백할 것이다. 또한, 일변수함수 <math>f:A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>만을 논한다.', 25 => false, 26 => '첫 번째 다른 정의는 다음과 같다.', 27 => false, 28 => '* 함수 <math>f(x)</math>에 대해 <math>f</math>가 <math>x_0</math>까지는 증가하고, <math>x_0</math>부터는 감소하면 <math>f(x_0)</math>를 극댓값이라고 한다.<ref name="kye">계승혁, 하길찬; “우리나라 고등학교 수학 교과서에서 함수의 증감과 극대·극소를 설명하는 방식에 대한 비판적 논의”, 한국수학교육학회지 시리즈 A 〈수학교육〉, 2010. 05., 제49권, 제2호, 247–257.</ref>', 29 => false, 30 => '여기서 “<math>x_0</math>까지” 및 “<math>x_0</math>부터”라는 말은 아마 다음 둘 중 하나의 뜻이 아닌가 한다.', 31 => '* 충분히 작은 양수 <math>h</math>에 대하여 <math>f</math>가 <math>(x_0-h, x_0]</math>에서는 증가하고, <math>[x_0, x_0+h)</math>에서는 감소한다.', 32 => '* 충분히 작은 양수 <math>h</math>에 대하여 <math>f</math>가 <math>(x_0-h, x_0)</math>에서는 증가하고, <math>(x_0, x_0+h)</math>에서는 감소한다.', 33 => false, 34 => '물론 여기서 ‘증가’ 및 ‘감소’라는 말은 정의역에서 <math>x < y</math>이면 <math>f(x) \leq f(y)</math> 및 <math>f(x) \geq f(y)</math>라는 뜻으로 쓰인 것이다.', 35 => false, 36 => '또 다른 책에서는 한술 더 떠 아래와 같이 정의하기도 한다.', 37 => false, 38 => '* 함수 <math>f(x)</math>에 대해 <math>f(x)</math>가 <math>x=x_0</math>에서 연속이고 <math>x=x_0</math>를 경계로 증가상태에서 감소상태로 바뀌면 <math>f(x_0)</math>를 극댓값이라고 한다.<ref name="kye" />', 39 => '* 함수 <math>f(x)</math>에 대해 <math>f(x)</math>가 <math>x=x_0</math>를 경계로 증가상태에서 감소상태로 바뀌면 <math>f(x_0)</math>를 극댓값이라고 한다.<ref name="kye" />', 40 => false, 41 => '여기서 ‘증가상태’ 및 ‘감소상태’라는 개념은 함수의 ‘증가’ 및 ‘감소’와 달리 한 지점에 관한 것으로서, 전혀 표준적이지 않은 개념인데 우리나라 고등학교 교과서에서만 유독 쓰이고 있다. 게다가 책마다 정의가 조금씩 다른데, 위쪽 정의가 많고, 아래쪽 정의도 발견된다.<ref name="kye" />', 42 => '# 충분히 작은 양수 <math>h</math>에 대하여 <math>f(a-h) < f(a) < f(a+h)</math>이면 함수 <math>f(x)</math>는 <math>x=a</math>에서 증가상태에 있다.<ref name="kye" />', 43 => '# <math>a</math>를 포함하는 어떤 열린 구간에서 <math>f(x)</math>가 증가하면 함수 <math>f(x)</math>는 <math>x=a</math>에서 증가상태에 있다.<ref name="kye" />', 44 => false, 45 => '== 극값을 찾는 법 ==', 46 => '가장 근본적인 방법은 일변수함수 <math>f:A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>에 관한 것으로서 도함수를 이용하는 방법이다. 아래 정리는 오늘날에는 ‘페르마의 정리’ 혹은 ‘내부 극값 정리(interior extremum theorem)’라고 부른다.', 47 => false, 48 => '{{인용문2|함수 <math>f(x)</math>가 <math>x=a</math>에서 극값을 가질 때, 만일 <math>f(x)</math>가 <math>x=a</math>에서 미분가능하면<ref>근방까지도 필요 없고, <math>x=a</math> 딱 한 점에서만 미분가능해도 된다.</ref> <math>f'(a)=0</math>이다.}}', 49 => false, 50 => '{{각주}}' ]