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2016년 4월 3일 (일) 07:19: Amasia (토론 | 기여)님이 타원적분에서 "edit" 동작을 수행하여 필터 0이(가) 작동했습니다. 조치: 태그; 필터 설명: (검사)

편집에서 바뀐 내용

 
== 개요 ==
타원적분은 타원의 둘레를 구할 때 등장하는 대표적인 비초등함수이다.
== 정의 ==
제 2종 완전 타원 적분은 다음과 같이 정의됩니다.<br>
<math>
제\;2종\;완전\;타원\;적분\left (  k \right )=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k\sin^{2}t}dt
</math>
== 타원의 둘레 ==
<math>
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
</math>
을 양함수로 고쳐보자.<br>
양변에 <math>a^{2}b^{2}</math>를 곱하면,<br>
<math>b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}</math>이 된다.<br>
양변에 <math>b^{2}x^{2}</math>를 빼면,<br>
<math>a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}-b^{2}x^{2}</math>이 된다.<br>
양변을 <math>{a}^{2}</math>로 나누어주면,<br>
<math>y^{2}=b^{2}-\frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}}</math>
<math>y=\sqrt{b^{2}-\frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}}}</math>이 됩니다.
위 함수를 미분하면,
<math>
y=u^{\frac{1}{2}},u=b^{2}-\frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}}\\
\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{-2b^{2}x}{a^{2}}\\
\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=\frac{-2b^{2}x}{2a^{2}\sqrt{b^{2}-\frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}}}}\\
\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=\frac{-b^{2}x}{a^{2}\sqrt{b^{2}-\frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}}}}\\
\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=\frac{-bx}{a^{2}\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}}}\\
\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=\frac{-bx}{a\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\\
</math>
이제 위 식을 제곱합니다.<br>
<math>
\frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}\left ( a^{2}-x^{2} \right )}\\
</math>
곡선의 길이<br>
<math>
y=f\left ( x \right ),a\leq x\leq b
</math>
는<br>
<math>\int^{b}_{a} \sqrt{1+\left \{ f'\left ( x \right ) \right \}^{2}}dx</math><br>
를 이용해 봅시다.<br>
위를 그대로 대입하면,<br>
<math>y=0이면 \frac{x^2}{a^{2}}=1,x^{2}=a^{2},x=a,-a입니다.\\
이제\; \; 타원\; \; 윗부분의\; \; 곡선의\; \; 길이는\; \; 다음과\; \; 같이\; \; 주어집니다.\\
</math>
<div style="font-size:2pc">
<math>
\int_{-a}^{a}\sqrt{1+\frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}\left ( a^{2}-x^{2} \right )}}dx\\
\int_{-a}^{a}\sqrt{\frac{a^{2}\left ( a^{2}-x^{2} \right )}{a^{2}\left ( a^{2}-x^{2} \right )}+\frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}\left ( a^{2}-x^{2} \right )}}dx\\
\int_{-a}^{a}\sqrt{\frac{a^{2}\left ( a^{2}-x^{2} \right )+b^{2}x^{2}}{a^{2}\left ( a^{2}-x^{2} \right )}}dx\\
\int_{-a}^{a}\sqrt{\frac{\left ( a^{2}-x^{2} \right )+\frac{b^{2}}{a^{2}}x^{2}}{\left ( a^{2}-x^{2} \right )}}dx\\
\int_{-a}^{a}\sqrt{\frac{a^{2}+\left ( \frac{b^{2}}{a^{2}}-1 \right )x^{2}}{a^{2}-x^{2}}}dx\\
그런데\; 위\; 식에서\; x\; 대신\; -x를 붙여도\; 똑같이\; 성립하므로,\\
2\int_{0}^{a}\sqrt{\frac{a^{2}+\left ( \frac{b^{2}}{a^{2}}-1 \right )x^{2}}{a^{2}-x^{2}}}dx\\
아랫부분도\; 제곱하면\; 똑같은\; 식이\; 되므로\; 아랫부분까지\; 합치면.\\
4\int_{0}^{a}\sqrt{\frac{a^{2}+\left ( \frac{b^{2}}{a^{2}}-1 \right )x^{2}}{a^{2}-x^{2}}}dx\\
이제 \; x=a \sin t로 치환하면,\frac{dx}{dt}=a \cos t가\; 됩니다.\\
4a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos t \sqrt{\frac{a^{2}+\left ( \frac{b^{2}}{a^{2}}-1 \right )a^{2}\sin^{2} t}{a^{2}-a^{2}\sin^{2}t}}dt\\
4a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos t \sqrt{\frac{a^{2}+\left ( \frac{b^{2}}{a^{2}}-1 \right )a^{2}\sin^{2} t}{a^{2}-a^{2}\sin^{2}t}}dt\\
4a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\frac{\cos^{2}t+\left ( \frac{b^{2}}{a^{2}}-1 \right )\sin^{2} t\cos^{2}t}{1-\sin^{2}t}}dt\\
4a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\frac{\cos^{2}t+\left ( \frac{b^{2}}{a^{2}}-1 \right )\sin^{2} t\cos^{2}t}{\cos^{2}t}}dt\\
4a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1+\left ( \frac{b^{2}}{a^{2}}-1 \right )\sin^{2}t}dt\\
4a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\left ( 1-\frac{b^{2}}{a^{2}} \right )\sin^{2}t}dt\\
윗식에서\; 정의한\; 제2종\; 완전\; 타원\;적분을\;적용해\;봅시다.\\
4a\times제\;2종\; 완전\; 타원\;적분\left (  1-\frac{a^{2}}{b^{2}}\right ).\\
이 됩니다.
</math>

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'타원적분'
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'타원적분'
동작 (action)
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''
편집 후 새 문서의 위키텍스트 (new_wikitext)
'== 개요 == 타원적분은 타원의 둘레를 구할 때 등장하는 대표적인 비초등함수이다. == 정의 == 제 2종 완전 타원 적분은 다음과 같이 정의됩니다.<br> <math> 제\;2종\;완전\;타원\;적분\left ( k \right )=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k\sin^{2}t}dt </math> == 타원의 둘레 == <math> \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 </math> 을 양함수로 고쳐보자.<br> 양변에 <math>a^{2}b^{2}</math>를 곱하면,<br> <math>b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}</math>이 된다.<br> 양변에 <math>b^{2}x^{2}</math>를 빼면,<br> <math>a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}-b^{2}x^{2}</math>이 된다.<br> 양변을 <math>{a}^{2}</math>로 나누어주면,<br> <math>y^{2}=b^{2}-\frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}}</math> <math>y=\sqrt{b^{2}-\frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}}}</math>이 됩니다. 위 함수를 미분하면, <math> y=u^{\frac{1}{2}},u=b^{2}-\frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}}\\ \frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{-2b^{2}x}{a^{2}}\\ \frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=\frac{-2b^{2}x}{2a^{2}\sqrt{b^{2}-\frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}}}}\\ \frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=\frac{-b^{2}x}{a^{2}\sqrt{b^{2}-\frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}}}}\\ \frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=\frac{-bx}{a^{2}\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}}}\\ \frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=\frac{-bx}{a\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\\ </math> 이제 위 식을 제곱합니다.<br> <math> \frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}\left ( a^{2}-x^{2} \right )}\\ </math> 곡선의 길이<br> <math> y=f\left ( x \right ),a\leq x\leq b </math> 는<br> <math>\int^{b}_{a} \sqrt{1+\left \{ f'\left ( x \right ) \right \}^{2}}dx</math><br> 를 이용해 봅시다.<br> 위를 그대로 대입하면,<br> <math>y=0이면 \frac{x^2}{a^{2}}=1,x^{2}=a^{2},x=a,-a입니다.\\ 이제\; \; 타원\; \; 윗부분의\; \; 곡선의\; \; 길이는\; \; 다음과\; \; 같이\; \; 주어집니다.\\ </math> <div style="font-size:2pc"> <math> \int_{-a}^{a}\sqrt{1+\frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}\left ( a^{2}-x^{2} \right )}}dx\\ \int_{-a}^{a}\sqrt{\frac{a^{2}\left ( a^{2}-x^{2} \right )}{a^{2}\left ( a^{2}-x^{2} \right )}+\frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}\left ( a^{2}-x^{2} \right )}}dx\\ \int_{-a}^{a}\sqrt{\frac{a^{2}\left ( a^{2}-x^{2} \right )+b^{2}x^{2}}{a^{2}\left ( a^{2}-x^{2} \right )}}dx\\ \int_{-a}^{a}\sqrt{\frac{\left ( a^{2}-x^{2} \right )+\frac{b^{2}}{a^{2}}x^{2}}{\left ( a^{2}-x^{2} \right )}}dx\\ \int_{-a}^{a}\sqrt{\frac{a^{2}+\left ( \frac{b^{2}}{a^{2}}-1 \right )x^{2}}{a^{2}-x^{2}}}dx\\ 그런데\; 위\; 식에서\; x\; 대신\; -x를 붙여도\; 똑같이\; 성립하므로,\\ 2\int_{0}^{a}\sqrt{\frac{a^{2}+\left ( \frac{b^{2}}{a^{2}}-1 \right )x^{2}}{a^{2}-x^{2}}}dx\\ 아랫부분도\; 제곱하면\; 똑같은\; 식이\; 되므로\; 아랫부분까지\; 합치면.\\ 4\int_{0}^{a}\sqrt{\frac{a^{2}+\left ( \frac{b^{2}}{a^{2}}-1 \right )x^{2}}{a^{2}-x^{2}}}dx\\ 이제 \; x=a \sin t로 치환하면,\frac{dx}{dt}=a \cos t가\; 됩니다.\\ 4a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos t \sqrt{\frac{a^{2}+\left ( \frac{b^{2}}{a^{2}}-1 \right )a^{2}\sin^{2} t}{a^{2}-a^{2}\sin^{2}t}}dt\\ 4a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos t \sqrt{\frac{a^{2}+\left ( \frac{b^{2}}{a^{2}}-1 \right )a^{2}\sin^{2} t}{a^{2}-a^{2}\sin^{2}t}}dt\\ 4a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\frac{\cos^{2}t+\left ( \frac{b^{2}}{a^{2}}-1 \right )\sin^{2} t\cos^{2}t}{1-\sin^{2}t}}dt\\ 4a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\frac{\cos^{2}t+\left ( \frac{b^{2}}{a^{2}}-1 \right )\sin^{2} t\cos^{2}t}{\cos^{2}t}}dt\\ 4a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1+\left ( \frac{b^{2}}{a^{2}}-1 \right )\sin^{2}t}dt\\ 4a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\left ( 1-\frac{b^{2}}{a^{2}} \right )\sin^{2}t}dt\\ 윗식에서\; 정의한\; 제2종\; 완전\; 타원\;적분을\;적용해\;봅시다.\\ 4a\times제\;2종\; 완전\; 타원\;적분\left ( 1-\frac{a^{2}}{b^{2}}\right ).\\ 이 됩니다. </math>'
편집 전후의 차이 (edit_diff)
'@@ -1 +1,65 @@ - +== 개요 == +타원적분은 타원의 둘레를 구할 때 등장하는 대표적인 비초등함수이다. +== 정의 == +제 2종 완전 타원 적분은 다음과 같이 정의됩니다.<br> +<math> +제\;2종\;완전\;타원\;적분\left ( k \right )=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k\sin^{2}t}dt +</math> +== 타원의 둘레 == +<math> +\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 +</math> +을 양함수로 고쳐보자.<br> +양변에 <math>a^{2}b^{2}</math>를 곱하면,<br> +<math>b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}</math>이 된다.<br> +양변에 <math>b^{2}x^{2}</math>를 빼면,<br> +<math>a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}-b^{2}x^{2}</math>이 된다.<br> +양변을 <math>{a}^{2}</math>로 나누어주면,<br> +<math>y^{2}=b^{2}-\frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}}</math> +<math>y=\sqrt{b^{2}-\frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}}}</math>이 됩니다. +위 함수를 미분하면, +<math> +y=u^{\frac{1}{2}},u=b^{2}-\frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}}\\ +\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{-2b^{2}x}{a^{2}}\\ +\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=\frac{-2b^{2}x}{2a^{2}\sqrt{b^{2}-\frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}}}}\\ +\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=\frac{-b^{2}x}{a^{2}\sqrt{b^{2}-\frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}}}}\\ +\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=\frac{-bx}{a^{2}\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}}}\\ +\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=\frac{-bx}{a\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\\ +</math> +이제 위 식을 제곱합니다.<br> +<math> +\frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}\left ( a^{2}-x^{2} \right )}\\ +</math> +곡선의 길이<br> +<math> +y=f\left ( x \right ),a\leq x\leq b +</math> +는<br> +<math>\int^{b}_{a} \sqrt{1+\left \{ f'\left ( x \right ) \right \}^{2}}dx</math><br> +를 이용해 봅시다.<br> +위를 그대로 대입하면,<br> +<math>y=0이면 \frac{x^2}{a^{2}}=1,x^{2}=a^{2},x=a,-a입니다.\\ +이제\; \; 타원\; \; 윗부분의\; \; 곡선의\; \; 길이는\; \; 다음과\; \; 같이\; \; 주어집니다.\\ +</math> +<div style="font-size:2pc"> +<math> +\int_{-a}^{a}\sqrt{1+\frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}\left ( a^{2}-x^{2} \right )}}dx\\ +\int_{-a}^{a}\sqrt{\frac{a^{2}\left ( a^{2}-x^{2} \right )}{a^{2}\left ( a^{2}-x^{2} \right )}+\frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}\left ( a^{2}-x^{2} \right )}}dx\\ +\int_{-a}^{a}\sqrt{\frac{a^{2}\left ( a^{2}-x^{2} \right )+b^{2}x^{2}}{a^{2}\left ( a^{2}-x^{2} \right )}}dx\\ +\int_{-a}^{a}\sqrt{\frac{\left ( a^{2}-x^{2} \right )+\frac{b^{2}}{a^{2}}x^{2}}{\left ( a^{2}-x^{2} \right )}}dx\\ +\int_{-a}^{a}\sqrt{\frac{a^{2}+\left ( \frac{b^{2}}{a^{2}}-1 \right )x^{2}}{a^{2}-x^{2}}}dx\\ +그런데\; 위\; 식에서\; x\; 대신\; -x를 붙여도\; 똑같이\; 성립하므로,\\ +2\int_{0}^{a}\sqrt{\frac{a^{2}+\left ( \frac{b^{2}}{a^{2}}-1 \right )x^{2}}{a^{2}-x^{2}}}dx\\ +아랫부분도\; 제곱하면\; 똑같은\; 식이\; 되므로\; 아랫부분까지\; 합치면.\\ +4\int_{0}^{a}\sqrt{\frac{a^{2}+\left ( \frac{b^{2}}{a^{2}}-1 \right )x^{2}}{a^{2}-x^{2}}}dx\\ +이제 \; x=a \sin t로 치환하면,\frac{dx}{dt}=a \cos t가\; 됩니다.\\ +4a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos t \sqrt{\frac{a^{2}+\left ( \frac{b^{2}}{a^{2}}-1 \right )a^{2}\sin^{2} t}{a^{2}-a^{2}\sin^{2}t}}dt\\ +4a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos t \sqrt{\frac{a^{2}+\left ( \frac{b^{2}}{a^{2}}-1 \right )a^{2}\sin^{2} t}{a^{2}-a^{2}\sin^{2}t}}dt\\ +4a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\frac{\cos^{2}t+\left ( \frac{b^{2}}{a^{2}}-1 \right )\sin^{2} t\cos^{2}t}{1-\sin^{2}t}}dt\\ +4a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\frac{\cos^{2}t+\left ( \frac{b^{2}}{a^{2}}-1 \right )\sin^{2} t\cos^{2}t}{\cos^{2}t}}dt\\ +4a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1+\left ( \frac{b^{2}}{a^{2}}-1 \right )\sin^{2}t}dt\\ +4a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\left ( 1-\frac{b^{2}}{a^{2}} \right )\sin^{2}t}dt\\ +윗식에서\; 정의한\; 제2종\; 완전\; 타원\;적분을\;적용해\;봅시다.\\ +4a\times제\;2종\; 완전\; 타원\;적분\left ( 1-\frac{a^{2}}{b^{2}}\right ).\\ +이 됩니다. +</math> '
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[ 0 => '== 개요 ==', 1 => '타원적분은 타원의 둘레를 구할 때 등장하는 대표적인 비초등함수이다.', 2 => '== 정의 ==', 3 => '제 2종 완전 타원 적분은 다음과 같이 정의됩니다.<br>', 4 => '<math>', 5 => '제\;2종\;완전\;타원\;적분\left ( k \right )=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k\sin^{2}t}dt', 6 => '</math>', 7 => '== 타원의 둘레 ==', 8 => '<math>', 9 => '\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1', 10 => '</math>', 11 => '을 양함수로 고쳐보자.<br>', 12 => '양변에 <math>a^{2}b^{2}</math>를 곱하면,<br>', 13 => '<math>b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}</math>이 된다.<br>', 14 => '양변에 <math>b^{2}x^{2}</math>를 빼면,<br>', 15 => '<math>a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}-b^{2}x^{2}</math>이 된다.<br>', 16 => '양변을 <math>{a}^{2}</math>로 나누어주면,<br>', 17 => '<math>y^{2}=b^{2}-\frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}}</math>', 18 => '<math>y=\sqrt{b^{2}-\frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}}}</math>이 됩니다.', 19 => '위 함수를 미분하면,', 20 => '<math>', 21 => 'y=u^{\frac{1}{2}},u=b^{2}-\frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}}\\', 22 => '\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{-2b^{2}x}{a^{2}}\\', 23 => '\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=\frac{-2b^{2}x}{2a^{2}\sqrt{b^{2}-\frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}}}}\\', 24 => '\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=\frac{-b^{2}x}{a^{2}\sqrt{b^{2}-\frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}}}}\\', 25 => '\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=\frac{-bx}{a^{2}\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}}}\\', 26 => '\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=\frac{-bx}{a\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\\', 27 => '</math>', 28 => '이제 위 식을 제곱합니다.<br>', 29 => '<math>', 30 => '\frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}\left ( a^{2}-x^{2} \right )}\\', 31 => '</math>', 32 => '곡선의 길이<br>', 33 => '<math>', 34 => 'y=f\left ( x \right ),a\leq x\leq b', 35 => '</math>', 36 => '는<br>', 37 => '<math>\int^{b}_{a} \sqrt{1+\left \{ f'\left ( x \right ) \right \}^{2}}dx</math><br>', 38 => '를 이용해 봅시다.<br>', 39 => '위를 그대로 대입하면,<br>', 40 => '<math>y=0이면 \frac{x^2}{a^{2}}=1,x^{2}=a^{2},x=a,-a입니다.\\', 41 => '이제\; \; 타원\; \; 윗부분의\; \; 곡선의\; \; 길이는\; \; 다음과\; \; 같이\; \; 주어집니다.\\', 42 => '</math>', 43 => '<div style="font-size:2pc">', 44 => '<math>', 45 => '\int_{-a}^{a}\sqrt{1+\frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}\left ( a^{2}-x^{2} \right )}}dx\\', 46 => '\int_{-a}^{a}\sqrt{\frac{a^{2}\left ( a^{2}-x^{2} \right )}{a^{2}\left ( a^{2}-x^{2} \right )}+\frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}\left ( a^{2}-x^{2} \right )}}dx\\', 47 => '\int_{-a}^{a}\sqrt{\frac{a^{2}\left ( a^{2}-x^{2} \right )+b^{2}x^{2}}{a^{2}\left ( a^{2}-x^{2} \right )}}dx\\', 48 => '\int_{-a}^{a}\sqrt{\frac{\left ( a^{2}-x^{2} \right )+\frac{b^{2}}{a^{2}}x^{2}}{\left ( a^{2}-x^{2} \right )}}dx\\', 49 => '\int_{-a}^{a}\sqrt{\frac{a^{2}+\left ( \frac{b^{2}}{a^{2}}-1 \right )x^{2}}{a^{2}-x^{2}}}dx\\', 50 => '그런데\; 위\; 식에서\; x\; 대신\; -x를 붙여도\; 똑같이\; 성립하므로,\\', 51 => '2\int_{0}^{a}\sqrt{\frac{a^{2}+\left ( \frac{b^{2}}{a^{2}}-1 \right )x^{2}}{a^{2}-x^{2}}}dx\\', 52 => '아랫부분도\; 제곱하면\; 똑같은\; 식이\; 되므로\; 아랫부분까지\; 합치면.\\', 53 => '4\int_{0}^{a}\sqrt{\frac{a^{2}+\left ( \frac{b^{2}}{a^{2}}-1 \right )x^{2}}{a^{2}-x^{2}}}dx\\', 54 => '이제 \; x=a \sin t로 치환하면,\frac{dx}{dt}=a \cos t가\; 됩니다.\\', 55 => '4a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos t \sqrt{\frac{a^{2}+\left ( \frac{b^{2}}{a^{2}}-1 \right )a^{2}\sin^{2} t}{a^{2}-a^{2}\sin^{2}t}}dt\\', 56 => '4a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos t \sqrt{\frac{a^{2}+\left ( \frac{b^{2}}{a^{2}}-1 \right )a^{2}\sin^{2} t}{a^{2}-a^{2}\sin^{2}t}}dt\\', 57 => '4a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\frac{\cos^{2}t+\left ( \frac{b^{2}}{a^{2}}-1 \right )\sin^{2} t\cos^{2}t}{1-\sin^{2}t}}dt\\', 58 => '4a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\frac{\cos^{2}t+\left ( \frac{b^{2}}{a^{2}}-1 \right )\sin^{2} t\cos^{2}t}{\cos^{2}t}}dt\\', 59 => '4a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1+\left ( \frac{b^{2}}{a^{2}}-1 \right )\sin^{2}t}dt\\', 60 => '4a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\left ( 1-\frac{b^{2}}{a^{2}} \right )\sin^{2}t}dt\\', 61 => '윗식에서\; 정의한\; 제2종\; 완전\; 타원\;적분을\;적용해\;봅시다.\\', 62 => '4a\times제\;2종\; 완전\; 타원\;적분\left ( 1-\frac{a^{2}}{b^{2}}\right ).\\', 63 => '이 됩니다.', 64 => '</math>' ]
편집이 토르 끝 노드를 통해 바뀌었는 지의 여부 (tor_exit_node)
0
바뀐 시점의 유닉스 시간 기록 (timestamp)
1459635551