방향벡터가 단위벡터가 아닌 경우의 방향도함수에 관해[원본 편집]
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방향벡터의 크기로 안 나눠 줘도 되나요? --휴면유동닉 (토론) 2015년 10월 9일 (금) 13:53:12 (KST)
- 책에 따라 다른 것으로 알고 있습니다. 제가 지금 듣고 있는 수업에서 사용하는 교재가 Munkres의 Analysis on Manifolds인데 거기선 단위벡터로 맞추지 않았습니다. -- Hwangjy9 (토론) 2015년 10월 9일 (금) 14:00:48 (KST)
- 그리고 수정된 문서를 보니 방향도함수의 정의에서 공역이 \(\mathbb{R}\)로 축소되었던데, \(\mathbb{R}^n\)이어도 같은 방식으로 방향도함수를 정의할 수 있으니 수정하겠습니다. -- Hwangjy9 (토론) 2015년 10월 9일 (금) 14:07:34 (KST)
- 어 혹시 잘못 전달되었나 해서요. 방향벡터가 단위벡터이도록 요구한다는 뜻이 아니고, 방향벡터는 0이 아니기만 하면 족한데, 정의를 df(x+tv)/dt at t=0 대신 (1/|v|) df(x+tv)/dt at t=0로 하기도 하지 않느냐는 것입니다. 예를 들어 http://mathworld.wolfram.com/DirectionalDerivative.html 여기서도 norm으로 나눠 주고 있습니다.
- 물론 norm이 아무 때나 정의되는 것은 아니니까 지금의 정의가 훨씬 더 널리 쓰일 수 있기는 하겠네요.
- 공역…은 의도된 것이 아니고 편집 실수입니다 ㅠㅠ --휴면유동닉 (토론) 2015년 10월 9일 (금) 14:28:25 (KST)
- 으음... 링크 보니 그렇네요. Munkres 교재 pdf를 스캔떠놓은 링크를 구글 검색하면 찾아볼 수 있긴 한데 불법복제같아 링크하기 좀 그렇군요. 그럼 두 가지 정의가 혼용되고 있다는 것인데 적어도 리브레 위키 안에서는 일관성을 유지하는 게 좋을 것 같습니다. 두 가지 경우 중 하나를 주된 정의로 서술하되 "교재에 따라 노름으로 나누지 않을 수도 있다/단위벡터가 되도록 조정(?)할 수도 있다"는 것을 첨언하는 것이 어떤가요? -- Hwangjy9 (토론) 2015년 10월 9일 (금) 14:52:29 (KST)
- 네 영문 위키피디어에서도 두 가지 정의를 언급하고 있습니다.
- 제 생각에도 일관성은 중요하고, 둘 중에 선택한다면 말씀하신 manifold 위에서 등 일반적인 경우에는 노름이 정의되지 않을 수도 있기 때문에, 현재 정의가 좀 더 쓸모 있어 보이고 따라서 주된 정의로서의 지위를 가지기에 좀 더 적합하다고 생각합니다.
- 그리고 노름으로 나누는 정의는, 책에 따라 다른 것도 맞지만 무엇보다 노름이 정의되는 경우에만 가능할 것입니다. 그렇다면 “노름이 정의되는 경우에는” 다르게 정의하기도 하는데 왜 그렇게 한다(혹은 이렇게 하면 이런 의미가 있다) 정도로 추가하는 것이 가능하고 이 정도면 괜찮지 않을까요.
한편 그 책 재밌으면 저도 한번 읽어 보고 싶은데 재밌나요?--휴면유동닉 (토론) 2015년 10월 10일 (토) 13:16:25 (KST)
- 으음... 링크 보니 그렇네요. Munkres 교재 pdf를 스캔떠놓은 링크를 구글 검색하면 찾아볼 수 있긴 한데 불법복제같아 링크하기 좀 그렇군요. 그럼 두 가지 정의가 혼용되고 있다는 것인데 적어도 리브레 위키 안에서는 일관성을 유지하는 게 좋을 것 같습니다. 두 가지 경우 중 하나를 주된 정의로 서술하되 "교재에 따라 노름으로 나누지 않을 수도 있다/단위벡터가 되도록 조정(?)할 수도 있다"는 것을 첨언하는 것이 어떤가요? -- Hwangjy9 (토론) 2015년 10월 9일 (금) 14:52:29 (KST)
수정 괜찮게 된 것 같네요. 휴면유동닉님이 원하는 예를 하나 제시하자면 \(f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\)를
- [math]\displaystyle{ f(x,y)=\begin{cases} \frac{x^3-y^3}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0)\\ 0,& (x,y)=(0,0) \end{cases} }[/math]
로 정의하고, \(\mathbf{u}=(u_1,u_2)\ne \mathbf{0}\)라고 할 때
- [math]\displaystyle{ \begin{align} f'(\mathbf{0};\mathbf{u})&=\lim_{t\to 0}\frac{f(t\mathbf{u})-f(\mathbf{0})}{t}\\ &=\lim_{t\to 0}\frac{t^3u_1^3-t^3u_2^3}{t(t^2u_1^2+t^2u_2^2)}\\ &=\frac{u_1^3-u_2^3}{u_1^2+u_2^2} \end{align} }[/math]
이므로 \(\mathbf{0}\)에서 모든 방향의 방향도함수가 존재하겠군요. 그런데 \(f\)가 \(\mathbf{0}\)에서 미분가능하다면 \(Df(\mathbf{0})\)은 1×2 행렬이므로 이를 \(\begin{bmatrix}a & b\end{bmatrix}\)라 하면
- [math]\displaystyle{ f'(\mathbf{0};\mathbf{u})=Df(\mathbf{0})\cdot\mathbf{u}=au_1+bu_2 }[/math]
인데 이러면 앞에서 구한 방향도함수 식이 선형이 아니므로 모순이 되겠죠. 그러므로 \(f\)는 \(\mathbf{0}\)에서 미분가능하지 않고 원하는 결론을 얻겠네요. -- Hwangjy9 (토론) 2015년 10월 12일 (월) 16:43:58 (KST)
- 아 그러네요. 감사합니다. 별로 이상하게 안 생겼는데 미분불가능하네요. (저는 분모에 y−x2 이런 거 들어간 거 생각하고 있었거든요) 본문에 (각주로?) 추가해 주시면 어떨까요?
혹시 연속조차 아닐 수도 있을까요? 모든 방향의 방향도함수가 존재하면 모든 방향으로는 연속이라고 하더라도, 함수 자체가 연속일 필요는 없을 것 같기도 한데요.--휴면유동닉 (토론) 2015년 10월 13일 (화) 01:36:32 (KST)- 아침에 일어나서 생각해 보니 뭔가 잘못 생각한 것 같아 황급히 고칩니다…
- 함수 자체가 연속인 것과 모든 방향으로 연속인 것은 동치인 것 같네요. --휴면유동닉 (토론) 2015년 10월 13일 (화) 10:23:52 (KST)
- 제가 앞에서 든 예시는 본문에 추가해 보았습니다. 《미적분학 2》(김홍종, 2012)를 찾아보니 함수를 이렇게 정의하면...
- [math]\displaystyle{ f(x,y)=\begin{cases} \frac{xy}{x^2-y},& x^2\ne y\\ 0,& x^2=y \end{cases} }[/math]
- 원점에서 모든 방향도함수가 존재하지만 연속이 아니라네요. 문제로 나와 있어서 증명은 따로 해야 하는데 아직 안 했습니다.
- 아 그리고 같은 책을 보니 "방향미분계수"라는 표현을 사용하고 있더군요. 지금 문서 제목을 정한 게 대한수학회 표기를 따른 건데 어색해 보이면 제목을 바꿔보는 것도 생각해볼 수 있겠네요. -- Hwangjy9 (토론) 2015년 10월 13일 (화) 21:47:14 (KST)
- 제가 앞에서 든 예시는 본문에 추가해 보았습니다. 《미적분학 2》(김홍종, 2012)를 찾아보니 함수를 이렇게 정의하면...