초황금비(Super golden ratio)는 삼차방정식 [math]\displaystyle{ x^3 = x^2+1 }[/math]의 실근으로, 황금비의 변형의 일종이다.
정의의 방정식의 실근은 [math]\displaystyle{ \psi=\frac{2+\sqrt[3]{116+12\sqrt{93}}+\sqrt[3]{116-12\sqrt{93}}}{6} \approx 1.46557123187677 }[/math]이며, 나머지 두 근은 절댓값이 1보다 작은 복소수이다.
성질[편집 | 원본 편집]
초황금비의 역수는 삼차방정식 [math]\displaystyle{ x^3+x-1=0 }[/math]의 실근으로, 그 해는
- [math]\displaystyle{ \psi^{-1}=\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{93}}{18}}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{93}}{18}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\sinh\left(\frac{1}{3}\sinh^{-1}\frac{3\sqrt{3}}{2} \right) }[/math]
이다. 이 식에서 근호 안의 93을 69로 바꾸거나, sinh라 써진 부분을 cosh로 바꾸면 플라스틱 비가 된다.
한편 정의에 따라 [math]\displaystyle{ \psi^3=\psi^2+1 }[/math]이 성립하는데, 이 식을 변형하면 [math]\displaystyle{ \psi^4=\psi^3+\psi=\psi^2+\psi+1 }[/math]이 된다. 다시 고쳐쓰면 [math]\displaystyle{ (\psi^2)^2=\psi^2+1-2\psi\cos120^\circ }[/math]이다. 따라서 변의 길이가 [math]\displaystyle{ 1, \psi, \psi^2 }[/math]인 삼각형은 가장 긴 변 [math]\displaystyle{ \psi^2 }[/math]의 대각이 120°이다.
초황금수열[편집 | 원본 편집]
초황금수열은 처음 세 항이 1이고 [math]\displaystyle{ a_n=a_{n-1}+a_{n-3} (n \geq 3) }[/math]로 정의되는 수열로, 나라야나의 소 수열(Narayana's cow sequence)이라고도 부른다.
0번째부터 처음 항들을 적으면 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 41, 60, 88, 129, 189, 277, 406, 595, 872, …이다. (OEIS의 수열 A000930)
피보나치 수열을 소개할 때, 토끼의 개체수가 "성체→성체+자손, 자손→성체"의 변화를 반복하며 늘어나는 상황을 빗대 설명한다. 이와 비슷하게 위 수열은 소가 "성체→성체+자손, 자손→중간, 중간→성체"와 같이 세 단계로 변화한다고 가정할 때 개체수의 변화를 나타낸다.
이 수열의 이웃한 항 사이의 비는 초황금비에 수렴한다.
- [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}=\psi }[/math]