편집토론기록

작도가능한 수

정의[편집 | 원본 편집]

작도가능한 점[편집 | 원본 편집]

두 점 [math]\displaystyle{ O,P }[/math]가 주어지고, [math]\displaystyle{ S=\{O,P\} }[/math]라고 하자. 이때 [math]\displaystyle{ O,P }[/math]에 의해 결정되는 직선을 작도하고, [math]\displaystyle{ O,P }[/math]를 각각 중심으로 하고 반지름이 [math]\displaystyle{ \overline{OP} }[/math]인 두 원을 작도하자. 두 원과 직선, 그리고 [math]\displaystyle{ S }[/math]의 원소를 포함하는 집합을 [math]\displaystyle{ S_1 }[/math]이라 하자. [math]\displaystyle{ S_1 }[/math]의 두 원소에 의해 결정되는 직선을 모두 작도하고, 또 [math]\displaystyle{ S_1 }[/math]의 각 점을 중심으로 하고 반지름이 다른 점과의 거리인 원을 모두 작도하자. 작도된 직선과 원의 모든 교점과 [math]\displaystyle{ S_1 }[/math]의 모든 원소를 포함하는 집합을 [math]\displaystyle{ S_2 }[/math]라 하자. 이 과정을 반복하여 [math]\displaystyle{ S_3,S_4,\dots }[/math]를 얻을 수 있고

[math]\displaystyle{ S\subseteq S_1 \subseteq S_2 \subseteq S_3 \subseteq \dots }[/math]

이다. 이때, [math]\displaystyle{ S_i }[/math]의 원소를 작도가능한 점(constructible point)이라 한다. 이때 [math]\displaystyle{ O }[/math]는 원점 [math]\displaystyle{ (0,0) }[/math]에 대응하고, [math]\displaystyle{ P }[/math]는 [math]\displaystyle{ (1,0) }[/math]에 대응하도록 한다.

작도가능한 수[편집 | 원본 편집]

[math]\displaystyle{ r\in\mathbb{R} }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ (r,0) }[/math]이 작도가능한 점이면 [math]\displaystyle{ r }[/math]을 작도가능한 수(constructible number)라고 한다.

성질[편집 | 원본 편집]

  • [math]\displaystyle{ a }[/math]가 작도가능한 수일 필요충분조건은 [math]\displaystyle{ -a }[/math]가 작도가능한 수인 것이다.
  • [math]\displaystyle{ a,b }[/math]가 작도가능한 수이면, [math]\displaystyle{ a+b }[/math]와 [math]\displaystyle{ a-b }[/math], [math]\displaystyle{ ab }[/math]는 작도가능한 수이다.
  • [math]\displaystyle{ a,b }[/math]가 작도가능한 수이고 [math]\displaystyle{ b\ne 0 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \frac{a}{b} }[/math]는 작도가능한 수이다.
  • [math]\displaystyle{ a }[/math]가 작도가능한 수이고 [math]\displaystyle{ a \gt 0 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \sqrt{a} }[/math]는 작도가능한 수이다.
  • [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math]가 작도가능한 점일 필요충분조건은 [math]\displaystyle{ a,b }[/math]가 모두 작도가능한 수인 것이다.

예시[편집 | 원본 편집]

작도가능하지 않은 수[편집 | 원본 편집]