위키독:잠자는 숲속의 공주 문제

잠자는 숲속의 공주 문제

Sleeping Beauty Problem

동전던지기의 확률은? 1/2? 1/3?

잠자는 숲속의 공주 문제

잠자는 숲속의 공주 문제는 원래 1980년대 중반 아놀드 주버프의 『One Self: The Logic of Experience』에서 처음 나온다. 이 문제를 간단히 축약하면 다음과 같다.

현재 이 문제를 두고 여러 논쟁이 오가며 1/2라고 하는 진영과 1/3이라고 하는 진영이 나눠져 있다.

어찌보면 동전의 한쪽면이 나올 확률은 무조건 1/2이니 단순히 1/2라고 대답할 수도 있겠지만 조금 더 생각해보면 이 문제는 정말 복잡해진다. 핵심은 공주가 일어나면서 오늘을 월요일로 생각하는지, 화요일로 생각하는지 공주의 입장이 되어보자는 것이며 아직까지도 이 문제에 대한 확실한 해답은 나오지 않은 상태이다.

일단 생각해볼 수 있는 경우의 수는 다음과 같다.

1. 동전은 앞면이고 월요일
2. 동전은 뒷면이고 월요일
3. 동전은 뒷면이고 화요일

이 경우의 수를 두고 엄청난 논쟁이 있어왔으며 1/2을 주장하는 쪽도, 1/3을 주장하는 쪽도 모두 그럴듯한 근거를 내세우고 있다.

1/3을 주장하는 쪽: Thirders

2000년에 애덤 엘가(Adam Elga)가 이 문제로 논문을 쓰면서 1/3이라고 답했다. 그 근거는 다음과 같다.

이 사건에는 가능한 가능성이 3가지가 있다.

앞면+월요일 / 뒷면 + 월요일 / 뒷면 + 화요일

이 세 가지인데 각각의 사건은 배반사건1이며 공주는 자신이 월요일에 일어났다는 기억 자체가 없으므로 공주의 입장에서 본다면 앞면이 나왔을 확률은 1/3이 된다. 일반적인 동전던지기가 아니라 질문 자체가 "앞면이 '나왔을' 확률"을 묻는 것이기 때문이기도 하다.

1/2을 주장하는 쪽: Halfers

2001년에 데이비드 루이스(David Lewis)가 엘가의 주장에 반박하며 내놓은 답이다. 그 근거는 다음과 같다.

가능한 사건이 몇개일지라도, 어쨌든 동전던지기의 확률은 1/2이다. 우리가 말하는 것은 '동전이 앞면이 나올 확률'이지 사건의 개수가 아니다.

더군다나 공주는 기억을 잃은 상태이므로 동전이 앞면이 나올 확률에 대한 다른 어떠한 정보도 얻지 않은 상태이므로 당연히 1/2가 맞다.

관점의 차이

이 논쟁이 일어나는 가장 핵심적인 원인은 Thirders와 Halfers가 문제를 접근하는 관점 자체가 다르다는 것이다.

위의 모델은 Halfers, 밑의 모델은 Thirders의 모델인데 이 모델을 만든 칼럼니스트 Pradeep Mutalik에 따르면 Halfers는 실험자, Thirders는 주제에 초점을 맞추고 있다는 것이다.

Halfers는 동전을 던지는 횟수에 집중하고 Thirders는 깨어나는 횟수에 집중한다는 것이다. 하지만 이러한 관점의 차이라는 것으로 이 문제를 비켜나려고 해도 여전히 한켠에선 이 문제에 대한 논쟁은 여전히 끝나지 않고 있다.