베셀 함수

정의

이계 미분방정식

[math]\displaystyle{ x^2 y'' + xy' + (x^2-p^2)y=0 }[/math]

을 베셀 방정식(Bessel equation)이라 한다. 이때 [math]\displaystyle{ p }[/math]는 상수이다. 프로베니우스 방법을 이용해 미분방정식의 해를 구할 수 있다.

[math]\displaystyle{ J_p(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\Gamma(n+1)\Gamma(n+1+p)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2n+p} }[/math]

는 미분방정식의 해이며, 이때 [math]\displaystyle{ J_p(x) }[/math]를 제1종 베셀 함수(Bessel function of first kind)라고 한다.

한편, [math]\displaystyle{ J_{-p}(x) }[/math]도 미분방정식의 해이며, [math]\displaystyle{ p }[/math]가 정수가 아닐 때 [math]\displaystyle{ J_p(x) }[/math]와 [math]\displaystyle{ J_{-p}(x) }[/math]는 선형독립이다. 이때 [math]\displaystyle{ J_p(x) }[/math]와 [math]\displaystyle{ J_{-p}(x) }[/math]의 선형결합

[math]\displaystyle{ Y_p(x)=\frac{\cos(\pi p)J_p (x) - J_{-p}(x)}{\sin \pi p} }[/math]

를 제2종 베셀 함수(Bessel function of second kind), 노이만 함수, 웨버 함수라고 한다.

성질

제1종 베셀 함수에 대해 다음 관계식이 성립한다.

• [math]\displaystyle{ \frac{d}{dx}\left(x^p J_p(x)\right)=x^p J_{p-1}(x) }[/math]
• [math]\displaystyle{ \frac{d}{dx}\left(x^{-p} J_p(x)\right)=-x^{-p}J_{p+1}(x) }[/math]
• [math]\displaystyle{ J_{p-1}(x)+J_{p+1}(x)=\frac{2p}{x} J_p(x) }[/math]
• [math]\displaystyle{ J_{p-1}(x)-J_{p+1}(x)=2J_p'(x) }[/math]
• [math]\displaystyle{ J_p'(x)=-\frac{p}{x}J_p(x)+J_{p-1}(x)=\frac{p}{x}J_p(x)-J_{p+1}(x) }[/math]