금속비

금속비(Metallic mean)는 황금비의 확장된 개념이다. 어떤 양수의 제곱이 원래 수의 자연수 배와 1의 합으로 나타날 때, 이 값을 금속비라 한다.

정의

직사작형이 주어져 있고 긴 쪽과 짧은 쪽의 비를 [math]\displaystyle{ \varphi_n }[/math]이라 하자. 이 직사각형에서 짧은 쪽을 변으로 하는 정사각형 [math]\displaystyle{ n }[/math]개를 잘라낸 후, 남은 직사각형이 원래 것과 닮음이다.

즉 원래 직사각형의 세로를 1, 가로를 [math]\displaystyle{ \varphi_n }[/math]이라 할 때, 정사각형을 잘라낸 후에는 세로 1, 가로 [math]\displaystyle{ \varphi_n-n }[/math]이다. 두 직사각형이 닮은이 되려면 [math]\displaystyle{ 1:\varphi_n=(\varphi_n-n):1 }[/math]을 만족한다. 따라서 이 조건식을 이차방정식으로 정리하면, [math]\displaystyle{ \varphi_n }[/math]은 방정식 [math]\displaystyle{ x^2-nx-1=0 }[/math]의 양의 실근이다.

방정식을 직접 풀면 [math]\displaystyle{ \varphi_n=\frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2} }[/math]이고, [math]\displaystyle{ n=1 }[/math]일 때는 익숙한 값인 황금비가 된다.

• 연분수 표현: [math]\displaystyle{ \varphi_n=n+\frac{1}{\varphi_n}=n+\frac{1}{n+\frac{1}{n+\frac{1}{n+\frac{1}{n+\cdots}}}} =[n; n,n,n,n,\cdots] }[/math]
• 다중근호 표현: [math]\displaystyle{ \varphi =\sqrt{n+\varphi} =\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\cdots}}}} }[/math]
• [math]\displaystyle{ P=n, Q=-1 }[/math]인 제 1, 2종 뤼카 수열의 이웃한 두 항 사이의 비의 극한으로도 표현된다.
  • [math]\displaystyle{ \varphi_n =\lim_{k \to \infty}\frac{U_k(n, -1)}{U_{k-1}(n, -1)} =\lim_{k \to \infty}\frac{V_k(n, -1)}{V_{k-1}(n, -1)} }[/math]

대표적인 값

• 황금비(golden ratio): [math]\displaystyle{ \varphi_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618033989 }[/math]
  • 피보나치 수열의 이웃한 두 항 사이의 비의 극한과 같다.
  • 정오각형의 변의 길이와 대각선의 길이의 비로 표현된다.
• 백은비(silver ratio): [math]\displaystyle{ \varphi_2=1+\sqrt{2} \approx 2.414213562 }[/math]
  • 펠 수열의 이웃한 두 항 사이의 비의 극한과 같다.
  • 정팔각형의 변의 길이와 두번째로 긴 대각선의 길이의 비로 표현된다.
• 청동비(bronze ratio): [math]\displaystyle{ \varphi_3=\frac{3+\sqrt{13}}{2} \approx 3.302775638 }[/math]
• [math]\displaystyle{ \varphi_4=\varphi_1^3=2+\sqrt{5} \approx 4.236067978 }[/math]
• [math]\displaystyle{ \varphi_5=\frac{5+\sqrt{29}}{2} \approx 5.192582404 }[/math]

[math]\displaystyle{ n=4, 5, 6, 7, \cdots }[/math]인 경우 구리, 니켈, 주석, 알루미늄, … 비율이란 별칭도 있지만 공식적으로 쓰이지는 않는다.

삼각함수 표현

코탄젠트의 배각 공식 [math]\displaystyle{ \cot 2\theta =\frac{\cot^2\theta-1}{2\cot\theta} }[/math]을 불러온다. 여기서 [math]\displaystyle{ \cot 2\theta=\frac{n}{2} }[/math]으로 치환하면 [math]\displaystyle{ n \cot\theta=\cot^2\theta-1 }[/math]이므로, 금속비의 정의에 의해 [math]\displaystyle{ \cot\theta= \varphi_n }[/math]임을 알 수 있다. 이때 [math]\displaystyle{ 2\theta=\operatorname{arccot} \frac{n}{2} }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ \varphi_n =\cot \left(\frac{1}{2} \operatorname{arccot}\frac{n}{2} \right) }[/math]이다.

특히, 백은비의 경우 [math]\displaystyle{ \varphi_2 =\cot \left(\frac{1}{2} \operatorname{arccot} 1 \right) =\cot \frac{\pi}{8} =\tan \frac{3\pi}{8} }[/math]이다.

그밖에 황금비는 [math]\displaystyle{ \varphi_1=2\cos\frac{\pi}{5} }[/math], 청동비는 [math]\displaystyle{ \varphi_3=8\cos\frac{\pi}{13}\cos\frac{3\pi}{13}\cos\frac{4\pi}{13} }[/math]으로 나타낼 수 있다.