미적분학의 기본정리

Fundamental Theorem of Calculus, FTC

개요

해석학에서 미분과 적분을 연결시켜주는 매우 중요한 정리. 줄여서 보통 FTC라 부른다. 증명은 크게 두 부분으로 나눠지는데, 첫 번째 부분은 어떤 함수의 정적분은 부정적분과 관련이 있음을 증명하며, 두 번째 부분은 어떤 함수의 정적분을 부정적분을 사용하여 계산할 수 있음을 보인다. 책에 따라서는 첫 번째 부분을 미적분학의 기본정리 1, 두 번째 부분을 미적분학의 기본정리 2로 나누지만, 사실 1, 2로 구분하는 것은 큰 의미가 없다. 증명하기에 따라서는 1→2가 아닌 2→1로 증명을 할 수도 있기 때문.

여기서는 1→2순으로 증명하며, 1을 증명하기 위해 먼저 보조정리 하나를 증명하겠다.

적분의 평균값 정리

명제

[math]\displaystyle{ f }[/math]가 구간 [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math]에서 연속이면, 적당한 [math]\displaystyle{ c\in\left(a,b\right) }[/math]가 존재하여 [math]\displaystyle{ \int_a^bf=\left(b-a\right)f\left(c\right) }[/math]이다.

증명

만약 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 상수함수라면, [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=k,\,\forall x\in\left[a,b\right] }[/math]로 나타낼 수 있다. 그럼, [math]\displaystyle{ \int_a^bf=k\left(b-a\right) }[/math]이고, 임의의 [math]\displaystyle{ c\in\left(a,b\right) }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \int_a^bf=\left(b-a\right)f\left(c\right) }[/math]가 성립한다.

만약 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 상수함수가 아니라면, [math]\displaystyle{ M=\sup_xf\left(x\right),\,m=\inf_xf\left(x\right) }[/math]이라 정의하자. 그럼, [math]\displaystyle{ g\left(x\right)=M-f\left(x\right)\geq0 }[/math]이고 [math]\displaystyle{ h\left(x\right)=f\left(x\right)-m\geq0 }[/math]이다. 또한, [math]\displaystyle{ f }[/math]가 상수함수가 아니므로, 적당한 [math]\displaystyle{ c_1,\,c_2\in\left[a,b\right] }[/math]가 존재하여 [math]\displaystyle{ g\left(c_1\right)\gt 0 }[/math]이고 [math]\displaystyle{ h\left(c_2\right)\gt 0 }[/math]이다. 한편, [math]\displaystyle{ g,\,h }[/math]는 연속함수이므로, [math]\displaystyle{ \int_a^bg\gt 0 }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \int_a^bh\gt 0 }[/math]임을 알 수 있다.

따라서, [math]\displaystyle{ \int_a^bM\gt \int_a^bf\gt \int_a^bm }[/math]이다. 이를 정리하면, [math]\displaystyle{ m\left(b-a\right)\lt \int_a^bf\lt M\left(b-a\right) }[/math]이다. 최대 최소의 정리에 의해 적당한 [math]\displaystyle{ x_1,\,x_2\in\left[a,b\right] }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ f\left(x_1\right)=m }[/math]이고 [math]\displaystyle{ f\left(x_2\right)=M }[/math]이다. 따라서, [math]\displaystyle{ f\left(x_1\right)\lt \frac{1}{b-a}\int_a^bf\lt f\left(x_2\right) }[/math]이다. 한편, 중간값 정리에 의해, [math]\displaystyle{ x_1 }[/math]와 [math]\displaystyle{ x_2 }[/math] 사이에 적당한 [math]\displaystyle{ c }[/math]가 존재하여 [math]\displaystyle{ f\left(c\right)=\frac{1}{b-a}\int_a^bf }[/math]이다.

부정적분 정리

미적분학의 기본정리 1이라고도 부르는 그것.

명제

[math]\displaystyle{ f }[/math]가 [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math]에서 연속이면, [math]\displaystyle{ F\left(x\right)=\int_a^xf }[/math]는 미분가능하며, 각 [math]\displaystyle{ x\in\left[a,b\right] }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ F'\left(x\right)=f\left(x\right) }[/math]이다.

증명

구간 내의 임의의 점을 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]이라하자. 그럼, [math]\displaystyle{ F'\left(x_0\right)=\lim_{h\to0}\frac{F\left(x_0+h\right)-F\left(x_0\right)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\left(\int_a^{x_0+h}f-\int_a^{x_0}f\right)=\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\left(\int_a^{x_0+h}f+\int_{x_0}^af\right)=\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\int_{x_0}^{x_0+h}f }[/math]이다.

한편, 적분의 평균값 정리에 의해 적당한 [math]\displaystyle{ c\in\left(x_0,x_0+h\right) }[/math]가 존재하여 [math]\displaystyle{ \int_{x_0}^{x_0+h}f=h\cdot f\left(c\right) }[/math]이다. 따라서, [math]\displaystyle{ F'\left(x_0\right)=\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\left(hf\left(c\right)\right)=\lim_{h\to0}f\left(c\right) }[/math]이다.

그런데 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]에서 연속이므로, [math]\displaystyle{ \lim_{h\to0}f\left(c\right)=f\left(x_0\right) }[/math]이다.

[math]\displaystyle{ \therefore F'\left(x_0\right)=f\left(x_0\right) }[/math].

[math]\displaystyle{ x_0 }[/math]은 임의의 점이었으므로, 모든 [math]\displaystyle{ x\in\left[a,b\right] }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ F'\left(x\right)=f\left(x\right) }[/math]이 성립한다.

미적분학의 기본정리

미적분학의 기본정리 2라고도 부르는 정리.

명제

[math]\displaystyle{ f }[/math]가 [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math]에서 연속이고, [math]\displaystyle{ g\left(x\right) }[/math]가 모든 [math]\displaystyle{ x\in\left[a,b\right] }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ g'\left(x\right)=f\left(x\right) }[/math]을 만족시키는 임의의 함수일 때, [math]\displaystyle{ \int_a^bf=g\left(b\right)-g\left(a\right) }[/math]이 성립한다.

증명

부정적분 정리에 의해 [math]\displaystyle{ F\left(x\right)=\int_a^xf }[/math]는 모든 [math]\displaystyle{ x\in\left[a,b\right] }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ F'\left(x\right)=f\left(x\right) }[/math]을 만족시킨다. 따라서, 모든 [math]\displaystyle{ x\in\left[a,b\right] }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ g'\left(x\right)=F'\left(x\right) }[/math]이고, 이는 곧 적당한 상수 [math]\displaystyle{ k }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ g\left(x\right)=F\left(x\right)+k }[/math]임을 의미한다. 한편, [math]\displaystyle{ F\left(a\right)=0 }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ k=g\left(a\right) }[/math]이다. 따라서, [math]\displaystyle{ \int_a^bf=F\left(b\right)=g\left(b\right)-k=g\left(b\right)-g\left(a\right) }[/math].

확장

명제

[math]\displaystyle{ f }[/math]가 [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math]에서 미분가능하고, [math]\displaystyle{ f' }[/math]가 같은 구간에서 리만적분가능할 때, [math]\displaystyle{ \int_a^bf'=f\left(b\right)-f\left(a\right) }[/math]이다.

증명

[math]\displaystyle{ \mathit{P}=\left[x_0,\,x_1,\,\ldots,\,x_n\right] }[/math]가 [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math]의 임의의 분할이라고 가정하자. [math]\displaystyle{ f' }[/math]가 [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math]에서 존재하므로, [math]\displaystyle{ f }[/math]는 모든 [math]\displaystyle{ i=0,\,1,\,\ldots,\,n }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \left[x_{i-1},x_i\right] }[/math]에서 연속이고, [math]\displaystyle{ \left(x_{i-1},x_i\right) }[/math]에서 미분가능하다. 따라서, 평균값 정리에 의해, 모든 [math]\displaystyle{ i }[/math]에 대해 적당한 [math]\displaystyle{ \xi_i\in\left(x_{i-1},x_i\right) }[/math]가 존재하여 [math]\displaystyle{ f\left(x_i\right)-f\left(x_{i-1}\right)=f'\left(\xi_i\right)\left(x_i-x_{i-1}\right) }[/math]이다.

그럼, [math]\displaystyle{ S\left(\mathit{P},f',\xi\right)=\sum_{i=1}^nf'\left(\xi_i\right)\Delta x_i=\sum_{i=1}^nf'\left(\xi_i\right)\left(x_i-x_{i-1}\right)=\sum_{i=1}^n\left(f\left(x_i\right)-f\left(x_{i-1}\right)\right)=f\left(x_n\right)-f\left(x_0\right)=f\left(b\right)-f\left(a\right) }[/math]이다. 이는 곧 임의의 분할에 대해 [math]\displaystyle{ f' }[/math]의 리만 합이 [math]\displaystyle{ f\left(b\right)-f\left(a\right) }[/math]이 되게 만드는 [math]\displaystyle{ \xi }[/math]가 존재함을 의미한다.

한편, [math]\displaystyle{ f' }[/math]는 적분가능하므로, [math]\displaystyle{ \lim_{\left\|\mathit{P}\right\|\to0}S\left(\mathit{P},f',\xi\right) }[/math]은 존재하고, 그 값은 [math]\displaystyle{ f\left(b\right)-f\left(a\right) }[/math]이다. 따라서, [math]\displaystyle{ \int_a^bf'=f\left(b\right)-f\left(a\right) }[/math].

따름정리

[math]\displaystyle{ f }[/math]가 [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math]에서 리만적분 가능하고, [math]\displaystyle{ g }[/math]가 모든 [math]\displaystyle{ x\in\left[a,b\right] }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ g'\left(x\right)=f\left(x\right) }[/math]을 만족히키는 임의의 함수라면, [math]\displaystyle{ \int_a^bf=g\left(b\right)-g\left(a\right) }[/math]이다.


이 확장은 미적분학의 기본정리를 적용할 수 있는 함수를 연속함수에서 리만적분 가능한 함수로 범위를 넓혀주는 역할을 한다. 한편, 원래 명제에서 [math]\displaystyle{ f' }[/math]가 리만적분 가능하지 않다면 명제는 성립하지 않는다. [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=\begin{cases}x^2\sin\frac{1}{x^2},&\text{if }x\in\left(0,1\right]\\0,&\text{if }x=0\end{cases} }[/math]으로 정의하면, [math]\displaystyle{ f }[/math]는 [0, 1]에서 미분가능하고, [math]\displaystyle{ f'\left(x\right)=\begin{cases}2x\sin\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}\cos\frac{1}{x^2},&\text{if }x\in\left(0,1\right]\\0,&\text{if }x=0\end{cases} }[/math]이다. 그런데 [math]\displaystyle{ f' }[/math]는 [0, 1]에서 유계가 아니므로, 리만적분할 수 없다. 즉, [math]\displaystyle{ \int_0^1f' }[/math]는 존재하지 않는다.