진술[편집 | 원본 편집]
음수가 아닌 확률변수 [math]\displaystyle{ X }[/math]와 임의의 양수 [math]\displaystyle{ a }[/math]에 대해,
- [math]\displaystyle{ P(X\ge a)\le\frac{E(X)}{a} }[/math]
이다.
증명[편집 | 원본 편집]
지시확률변수 [math]\displaystyle{ I_{X\ge a} }[/math]를
- [math]\displaystyle{ I_{X\ge a}=\begin{cases} 1,&\text{if }X\ge a\\ 0,&\text{if }X\lt a \end{cases} }[/math]
로 정의하면, [math]\displaystyle{ 0\le X\lt a }[/math]일 때는 [math]\displaystyle{ I_{X\ge a}=0 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ aI_{X\ge a}=0\le X }[/math]이며, [math]\displaystyle{ X\ge a }[/math]일 때는 [math]\displaystyle{ I_{X\ge a}=1 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ aI_{X\ge a}=a\le X }[/math]이므로 항상 [math]\displaystyle{ aI_{X\ge a}\le X }[/math]이다. 따라서
- [math]\displaystyle{ E(aI_{X\ge a})\le E(X) }[/math]
이고, [math]\displaystyle{ E(aI_{X\ge a})=aP(X\ge a) }[/math]이므로 원하는 결론을 얻는다.
[math]\displaystyle{ X }[/math]가 연속확률변수일 때 다른 방법으로 증명할 수도 있다. [math]\displaystyle{ X }[/math]의 확률밀도함수를 [math]\displaystyle{ f }[/math]라 하면
- [math]\displaystyle{ \begin{align} E(X)&=\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx\\ &=\int_0^{\infty} xf(x)dx\\ &\ge \int_a^{\infty}xf(x)dx\\ &\ge \int_a^{\infty}af(x)dx\\ &=aP(X\ge a) \end{align} }[/math]
이므로 원하는 결과를 얻는다.