라그랑주의 네 제곱수 정리(프랑스어: Théorème des quatre carrés de Lagrange, Lagrange's four-square theorem, -數 定理)는 정수론의 정리로, 디오판토스의 《산술(Αριθμητικα)》에서 처음으로 그 내용이 나타나고 프랑스의 클로드 가스파르 바셰가 1621년 이 책을 라틴어로 번역하여 유럽 수학계에 알려졌지만 이에 대한 제대로 된 증명은 없었다. 그 이후 바셰의 추측이라는 이름이 붙었으나, 조제프루이 라그랑주가 1770년에 완전히 증명에 성공하였다.
이 정리는 다음과 같은 내용을 담고 있다.[1]
증명의 개략[편집 | 원본 편집]
증명은 다음과 같은 단계를 거쳐 할 수 있다.[2]
- p가 홀수인 소수이면 합동식 x2 + y2 + 1 ≡ 0 (mod p) 를 만족하는 0 ≤ x0, y0 ≤ p-1/2 인 해 (x0, y0) 이 존재함을 보인다.
- 이를 이용하여 p가 홀수인 소수이면 정수 k < p가 존재하여 kp가 네 개 제곱수의 합이 됨을 보인다.
- 이상의 결과와 오일러의 네 제곱수 항등식을 이용하여 모든 소수 p가 네 제곱수의 합으로 표현 가능함을 보인다.
- 마지막으로, 임의의 네 제곱수의 합으로 표현 가능한 두 수의 곱 역시 오일러의 네 제곱수 항등식에 의해 네 제곱수의 합으로 표현 가능하므로, 산술의 기본 정리에 의해 결론을 얻는다.
합동식의 해 존재성[편집 | 원본 편집]
우선 홀수인 소수 p에 대해 합동식
x2+y2+1=0 (mod p)와 0≤ x0, y0≤ (p-1)/2 를 만족하는 x0, y0이 존재함을 보인다.
증명 : 우선 집합 S1={1+x2 |0≤x≤(p-1)/2}과 S2={-y2|0≤y≤(p-1)/2}를 만족하는 집합을 생각해보자. 그러면 S1과 S2의 원소들은 법 p(modulo p)에 대해 모두 다른 값을 가진다. 왜냐하면 만일 S1의 서로 다른 두 원소 a,b에 대해서 a≠±b (mod p)가 성립하므로 1+a2≠1+b2 (mod p)가 된다. 마찬가지로 S2의 서로 다른 두 원소 a, b에 대해서도 -a2≠-b2 (mod p)가 성립한다. 또한 S1과 S2의 원소의 갯수의 합은 p+1이므로 비둘기집의 원리에 의해 법 p에 대해 서로 합동인 원소 [math]\displaystyle{ 1+x^2 \equiv -y^2 (\mod p) }[/math]인 0≤x,y≤(p-1)/2가 존재한다.
이 보조정리는 1+x2+y2=kp를 만족하는 양의 정수 0<k<p를 찾을 수 있다는 것을 이끌어낼 수 있다.
오일러의 네 제곱수 보조정리[편집 | 원본 편집]
그 다음에 오일러의 네 제곱수의 보조정리와 수학적 귀납법을 이용해서 위의 k가 1로 줄일 수 있다는 것을 보일 수 있다. 우선 오일러의 네 제곱수의 합 보조정리를 설명하면
네 자연수 제곱수의 합 X=a2+b2+c2+d2과 Y=e2+f2+g2+h2의 곱은 다음과 같이 네 제곱수의 합으로 유도된다.
XY=(ae+bf+cg+dh)2+(af-be-ch+dg)2+(ag+bh-ce-df)2+(ah-bg+cf-de)2.
증명은 위의 두 개의 식을 대조한 뒤에 전개하고 비교하면 된다. 직접 증명하는 것은 비생산적이고 지루한 과정이기에 생략. 다만 사원수 [math]\displaystyle{ x_0 =-a + b \mathbb{i} + c \mathbb{j} + d \mathbb{k}, y_0 = -e -f\mathbb{i}-g\mathbb{j}-h\mathbb{k} }[/math]에 대해서 [math]\displaystyle{ |x_0 |^2 |y_0 |^2 = |x_0 y_0 |^2 }[/math]와 대응하는 것을 이해할 수 있다.
소수 p에 대한 라그랑주 정리[편집 | 원본 편집]
우선 임의의 소수 p에 대해 라그랑주 정리가 성립한다는 것을 보인다. 이것만 보이면 임의의 자연수 n에 대해서는 산술의 기본정리에 의해 유한 개의 소수의 곱으로 유일하게 표현되며, 위의 오일러의 네 제곱수 보조정리의 결과에 따라 이 소수의 곱 n도 자연스럽게 네 제곱수의 합으로 유도된다는 것을 보일 수 있다. 직접 보이기는 까다롭기에 수학적 귀납법을 사용해서 또한 k<p일 때 k가 네 제곱수의 합으로 표현되면 p도 네 제곱수의 합으로 표현가능하다는 것을 보이도록 한다.
우선 위의 보조정리에 의해서 x, y≤(p-1)/2인 kp=x2+y2+1이 된다는 것을 알 수 있다. 즉, 어떠한 소수 p도 자기보다 작은 수 k에 대해 kp가 네개의 제곱수의 합으로 표현이 된다는 것을 알 수 있다. 이제 kp가 네 제곱수의 합으로 표현되는 최소한의 자연수를 k라고 놓으면 k=1을 증명하면 된다.
우선 k가 홀수라는 것부터 보인다. 일단 k가 짝수이면 kp=x2+y2+z2+w2에서 x,y,z,w는 모두 짝수, 모두 홀수, 혹은 둘은 짝수, 둘은 홀수가 된다. 어떠한 경우든 x,y,z,w의 순서를 바꾸어서 x-y, z-w가 짝수가 되게 하는 두 쌍을 만들 수 있다. 그러면
[math]\displaystyle{ (k/2)p= \left( \frac{x+y}{2} \right)^2 + \left( \frac{x-y}{2} \right)^2 + \left( \frac{z+w}{2} \right)^2 + \left( \frac{z-w}{2} \right)^2 }[/math] 따라서 k가 최소라는 것에 모순이 된다.
일단 k≠1이라고 가정하면 최소한 k는 3 이상의 홀수이다. 따라서 우리는 x2+y2+z2+w2=k를 만족하는 x,y,z,w에 대해서 절대값의 크기가 k/2보다 작으면서 a=x(mod k), b=y(mod k), c=z(mod k), d=w(mod k)인 a,b,c,d를 잡을 수 있다. 그러면
a2+b2+c2+d2≡0 (mod k) 따라서 0≤a2+b2+c2+d2=nk, 그러나 각각 a2, b2, c2, d2 < k2/4이므로 네 개의 자연수의 합은 k2보다 작아진다.
일단 n=0일수는 없다. 왜냐하면 이 경우에는 a=b=c=d=0이 되어 x,y,z,w가 k를 나누어야 한다는 것을 알 수 있다. 그러면 k2|kp가 되는데 이는 p가 소수인 것에 모순이 된다. 따라서 0<n<k.
이제 k2np=(kn)(kp)=(a2+b2+c2+d2)(x2+y2+z2+w2)=r2+s2+t2+u2이 나오고, 여기서
r=xa+yb+zc+wd
s=xb-ya+zd-wc
t=xc-yd-za_wb
u=xd+yc-zb-wa
가 나온다. 우선 r,s,t,u가 모두 k를 나눈다는 것에 주목을 하자. 일단 a=x(mod k), b=y(mod k), c=z(mod k), d=w(mod k)를 이용하면 r≡a*a+b*b+c*c+d*d≡0(mod k). s,t,u도 마찬가지로 s≡t≡u≡0 (mod k)임이 나온다. 따라서
(r/k)2+(s/k)2+(t/k)2+(u/k)2 = k2np/k2=np.
즉, 0<n<k이므로 k는 kp를 네 제곱수의 합으로 만들 수 있는 최소한의 자연수라는 가정에 모순된다. 따라서 k=1.
같이 보기[편집 | 원본 편집]
바깥 고리[편집 | 원본 편집]
- Quadric Dioph Lagrange - Domath ( 증명 자세히 보기 )
