다르부의 정리

개요

다르부의 정리(Darboux's theorem)은 임의의 도함수는 항상 중간값 성질을 가진다는 것을 설명하는 실해석학의 정리이다.

진술

함수 [math]\displaystyle{ f:[a,b]\to \mathbb{R} }[/math]이 미분가능하고 [math]\displaystyle{ f'(a) \lt f'(b) }[/math]이면, [math]\displaystyle{ f'(a)\lt k \lt f'(b) }[/math]인 임의의 실수 [math]\displaystyle{ k }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ f'(c)=k }[/math]인 [math]\displaystyle{ c\in(a,b) }[/math]가 존재한다.

증명

함수 [math]\displaystyle{ g:[a,b]\to\mathbb{R} }[/math]을 [math]\displaystyle{ g(x)=f(x)-kx }[/math]로 정의하자. 그러면 [math]\displaystyle{ g }[/math]는 [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]에서 미분가능하고 [math]\displaystyle{ g'(a)\lt 0\lt g'(b) }[/math]이다. [math]\displaystyle{ g }[/math]는 연속함수이므로 최대·최소의 정리에 의해 [math]\displaystyle{ g }[/math]는 [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]에서 최솟값을 가진다. 즉 임의의 [math]\displaystyle{ x\in [a,b] }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ g(c)\le g(x) }[/math]를 만족하는 [math]\displaystyle{ c\in [a,b] }[/math]가 존재한다. 이때

[math]\displaystyle{ g'(a)=\lim_{x\to a+}\frac{g(x)-g(a)}{x-a} }[/math]

이므로 임의의 [math]\displaystyle{ \epsilon \gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \delta \gt 0 }[/math]이 존재해 [math]\displaystyle{ 0\lt x-a\lt \delta }[/math]인 임의의 [math]\displaystyle{ x\in [a,b] }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \left|\frac{g(x)-g(a)}{x-a}-g'(a)\right|\lt \epsilon }[/math]이고, [math]\displaystyle{ \epsilon = -g'(a) }[/math]로 두면 [math]\displaystyle{ \frac{g(x)-g(a)}{x-a}\lt g'(a)+\epsilon = 0 }[/math]이다. 비슷한 방법으로 어떤 [math]\displaystyle{ x\in [a,b] }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \frac{g(b)-g(x)}{b-x}\gt 0 }[/math]임을 보일 수 있다. 그러면 [math]\displaystyle{ g(x)\lt g(a) }[/math]이고 [math]\displaystyle{ g(x)\lt g(b) }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ c\ne a }[/math]이고 [math]\displaystyle{ c\ne b }[/math]이고, 따라서 [math]\displaystyle{ c\in(a,b) }[/math]이다. 그러면 임계점 정리에 의해 [math]\displaystyle{ g'(c)=f'(c)-k=0 }[/math]이므로 원하는 결론을 얻는다.

같이 보기

• 중간값 정리