Polygon
정의[편집 | 원본 편집]
기하학의 나타나는 도형의 일종으로, 유클리드 기하학에서는 그야말로 핵심. 정의는 평면 위 유한한 점들을 선분으로 이은 도형을 말한다. 또는 평면 위 선분을 연속적으로 이은 것이라고 생각할 수도 있다. 어느쪽이든 중요한건 도형이 닫혀 있어야 한다.[1] 그리고 점의 개수가 n개이면 그 다각형을 n각형이라 부른다. 유클리드 기하학에서는 선이 아닌 닫힌 도형을 만들기 위해선 최소한 세 개의 점이 필요하기 때문에 삼각형이 가장 간단한 다각형이 된다. 그러나 비유클리드 기하학에서는 선 하나나 두 개로도 도형을 만들 수 있기 때문에 일각형이나 이각형이 존재한다.[2] 아래 서술된 모든 내용은 특별한 말이 없는한 모두 유클리드 기하학에서의 내용이다.
다각형을 이루는 점들을 다각형의 꼭짓점, 선분을 변이라고 부른다. 연속된 두 변의 사이각을 다각형의 한 내각이라 하며, 변과 변의 연장선(변 그 자체가 아니다) 이 이루는 사이각을 외각이라 부른다. 만약 한 내각의 크기가 180도를 넘어가면 그 다각형은 오목다각형이고, 모든 내각의 크기가 180도 미만이면 볼록다각형이라 부른다. 참고로 삼각형의 경우는 모든 내각의 합이 180도이기 때문에 항상 볼록하며, 오목삼각형은 존재하지 않는다. 다각형에 외접하는 원이 존재하면 그 다각형을 내접다각형이라 부르며, 원을 외접원이라 부른다. 반대로 다각형에 내접하는 원이 존재하면 그 다각형을 외접다각형이라 부르며, 원을 내접원이라 부른다. 보통은 외접원에 대해 많이 다루며, 내접원은 삼각형을 제외하고는 많이 다루지 않는다. 마지막으로 다각형의 모든 변의 길이와 각의 크기가 같으면 그 다각형을 정다각형이라 부른다. 하지만 삼각형에 한해 두 조건 중 하나만 만족하면 정삼각형이 된다. 하지만 사각형부터는 둘 다 만족해야 한다.[3]
참고로 변과 변이 교차하는 경우도 다각형이라 볼 수 있는데,[4] 이런 경우는 간단하지 않은 다각형 (non-simple polygon)이라 부른다. 간단하지 않은 다각형은 아래 성질이 적용되지 않는다. 또한 점의 개수가 유한하지 않고 무한하면 그 도형은 폐곡선이 된다.[5]
성질[편집 | 원본 편집]
- n각형의 내각의 합은 [math]\displaystyle{ \left(n-2\right)\times180^{\circ} }[/math]
- n각형의 외각의 합은 항상 [math]\displaystyle{ 360^{\circ} }[/math]
- n각형의 대각선의 개수는 [math]\displaystyle{ \frac{n\left(n-3\right)}{2} }[/math]
증명[편집 | 원본 편집]
- 삼각형의 내각의 합은 [math]\displaystyle{ 180^{\circ} }[/math]이다. 그리고 n각형은 n-2개의 삼각형으로 분할이 가능하다 (단, [math]\displaystyle{ n\gt 3 }[/math]). 분할된 모든 삼각형의 내각의 합이 다각형의 내각의 합이므로, 내각의 합은 [math]\displaystyle{ \left(n-2\right)\times180^\circ }[/math]. 이 공식은 [math]\displaystyle{ n=3 }[/math]일 때도 성립하므로 모든 다각형에 대해 내각의 합은 [math]\displaystyle{ \left(n-2\right)\times180^\circ }[/math]이다.
- n각형의 변을 모두 연장시켜 직선을 만들자. 그 직선은 모두 평각(= 180도)이므로 모든 평각의 합은 [math]\displaystyle{ n\times180^\circ }[/math]이다. 여기에 n각형의 내각의 합 [math]\displaystyle{ \left(n-2\right)\times180^\circ }[/math]을 빼면 [math]\displaystyle{ 360^\circ }[/math]이다.
- n개의 꼭짓점 중 임의의 두 점을 고르면 대각선이나 변이 된다. 이 전체 가짓수에서 변의 개수(= n)만 빼주면 대각선의 개수이다. 따라서 [math]\displaystyle{ \binom{n}{2}-n=\frac{n\left(n-1\right)}{2}-n=\frac{n\left(n-3\right)}{2} }[/math]
합동, 닮음[편집 | 원본 편집]
삼각형의 경우는 간단한 합동 조건이 있지만, 사각형 부터는 그리 간단한 조건이 없다. 만약 변의 길이가 같은 것만 생각하면 마름모라는 반례가, 각의 크기가 같은 것만 생각하면 직사각형이라는 반례가 존재하기 때문. 따라서 두 다각형이 서로 합동이기 위해서는 대응하는 모든 변의 길이가 같고, 각의 크기 또한 같아야 한다. 닮음의 경우도 비슷하게, 대응하는 모든 변의 길이의 비가 같고, 각의 크기 또한 같아야 한다.