로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!{{거짓}} 이 문서는 <math>1=2</math>임을 보이는 [[증명]]과 그 변형을 다룬다. == <math>1=2</math> == === 도함수를 이용한 증명 === 다음을 관찰하자. : <math>\begin{align} 1&=1^2\\ 2+2&=2^2\\ 3+3+3&=3^2\\ \vdots &=\vdots \end{align}</math> 그러면 언제나 : <math>\underbrace{x+x+\cdots+x}_{x\text{ times}}=x^2</math> 임을 알 수 있다. 양변을 <math>x</math>에 대해 [[미분]]하면 : <math>\underbrace{1+1+\cdots+1}_{x\text{ times}}=2x</math> 이고 따라서 : <math>x=2x</math>이다. 양변에서 <math>x</math>를 소거하면 : <math>1=2</math> 를 얻는다.<ref>[http://math.stackexchange.com/q/1096/310026 Where is the flaw in this “proof” that 1=2? (Derivative of repeated addition)]</ref> 이 증명이 그럴싸해 보이는 것은 x를 극한으로 보내보면 결국 [[적분]]형태라는 것을 알 수 있기 때문이다. 간단히 정리해서, ∑n = ∫n = x^2 (여기서 n은 증명 중의 조건에 제시된 대로 n=x이기도 하다.)이므로, nx + C = x^2 + C가 x^2와 같다는 식이 된다. 여기서 C를 1이라고 정의하면 위 이론이 맞아 떨어진다. (사실 증명방법을 약간만 달리하면, 얼마든지 값을 바꿀 수 있다.) 이를 공간적으로 해석하자면, 2차원의 "1" (예를 들어 1평방미터)와 1차원의 "1" (예를 들어 1미터)는 차원에 따라서는 달라보일 수 있더라도 결국 "1"로 같은 것이다, 라는 주장과도 같다. === 연분수를 이용한 증명 === 임의의 자연수 <math>n</math>에 대해 : <math>\frac{n+1}{n}=\cfrac{1}{2-\cfrac{n+2}{n+1}}</math> 이다. 이제 : <math>1=\frac{1}{2-1}=\frac{1}{2-\cfrac{1}{2-1}}=\frac{1}{2-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-1}}}=\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-1}}}}=\ldots =\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\dots}}}}}</math> 이고 : <math>2=\cfrac{1}{2-\cfrac{3}{2}}=\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\cfrac{4}{3}}}=\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{5}{4}}}}=\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{6}{5}}}}}=\ldots =\cfrac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\ldots}}}}}.</math> 우변이 같으므로, <math>1=2</math>임을 안다.<ref>[http://math.stackexchange.com/q/438/310026 Continued fraction fallacy: <math>1=2</math>]</ref> 바로 위 도함수 증명과 마찬가지로 이것도 극한을 쓴 이론으로, "lim 1/x = 0" 인 것을 이용했다. 하지만 '''실제로'''는 "lim 1/x ≠ 0", 그러니까 "0에 '''아주 가깝다'''" 일 뿐이기 때문에, 미적분에서 언급하는 적분상수와 같은 오차가 발생하며, 그것을 극적으로 시각화 한 것에 불과하다. === 대수 기초를 이용한 증명 === <math>a=b</math>라고 가정하자. 양변에 <math>a</math>를 곱하면 <math>a^2=ab</math>이며, 양변에 <math>a^2</math>를 더하면 <math>2a^2=a^2+ab</math>이다. 양변에 <math>2ab</math>를 빼면 <math>2a^2-2ab=a^2-ab</math>이며, <math>2a^2-2ab=2(a^2-ab)</math>로 양변을 인수분해할 수 있다. <math>a^2-ab</math>를 소거하면 <math>2=1</math>을 얻는다.<ref>[https://www.math.toronto.edu/mathnet/falseProofs/first1eq2.html 1=2: A Proof using Beginning Algebra]</ref> 사실 위 증명이 틀린 것을 증명하는 건 무척 간단하다. 가장 처음에 a=b라고 했으므로 a^2-ab는 결국 a^2-a^2로 치환할 수 있어서, 그 값이 항상 "'''0'''"이 된다. 어떤 수라도 [[0으로 나누기|0으로 나누면]] (소거를 위해선 반드시 나눠야 한다.) 위와 같은 결론을 낼 수 있다. == <math>1=-1</math> == === 허수단위를 이용한 증명 === : <math>\begin{align} \sqrt{-1} &= i \\ \frac1{\sqrt{-1}} &= \frac1i \\ \frac{\sqrt1}{\sqrt{-1}} &= \frac1i \\ \sqrt{\frac1{-1}} &= \frac1i \\ \sqrt{\frac{-1}1} &= \frac1i \\ \sqrt{-1} &= \frac1i \\ i &= \frac1i \\ i^2 &= 1 \\ -1 &= 1 \quad !!! \end{align}</math> <ref>[http://math.stackexchange.com/q/438/310026 Why <math>\sqrt{-1\times -1}\ne \sqrt{-1}^2</math>?]</ref> 이 증명의 [[환 (수학)|헛점]]을 알아야겠다면, 본 문서의 스크롤을 아래쪽으로 쭉 내려보면 된다. === 오일러 항등식을 이용한 증명 === :<math>\begin{align*}e^{i\pi}+1&=0\\e^{i\pi}&=-1\\e^{2i\pi}&=1\\\ln{e^{2i\pi}}&=\ln1\\2i\pi\ln{e}&=0\\2i\pi&=0\\i\pi&=-i\pi\\1&=-1\end{align*}</math> <ref>[http://gall.dcinside.com/board/view/?id=narcissism&no=30615 1=-1임을 증명했습니다]</ref> 이 증명은, 사실 증명 과정 중에 함부로 [[제곱]]을 넣었기 때문에 [[절대값]]화가 일어나서 만들어진 결과이다. == <math>1=0</math> == === 극한의 성질을 이용한 증명 === : <math>\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0</math> 이다. 따라서 극한의 기본 성질에 의해 : <math>\lim_{n\to\infty}\left(\underbrace{\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\cdots+\frac{1}{n}}_{\text{$n$ times}}\right)=0</math> 이다. 그런데 : <math>\underbrace{\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\cdots+\frac{1}{n}}_{\text{$n$ times}}=1</math> 이므로 <math>1=0</math>이다.<ref>[http://math.stackexchange.com/q/59795/310026 Proof of 1 = 0 by Mathematical Induction on Limits?]</ref> {{진실}} == <math>0=1</math> == 영환(零環)(혹은 자명환)에서는 정말로 0=1이 성립한다. 덧셈에 대한 항등원과 곱셈에 대한 항등원이 같기 때문. == <math>1=-1</math> == 정의역의 임의의 원소 <math>x</math>에 대해 <math>x^2=x</math>이 성립하는 [[환 (수학)|환]]은 <math>1=-1</math>이 성립한다. ;증명 <math>\left(1+\left(-1\right)\right)^2=1+\left(-1\right)=0</math>. 한편, <math>\left(1+\left(-1\right)\right)^2=1^2+1\left(-1\right)+\left(-1\right)1+\left(-1\right)^2=1+1\left(-1\right)+\left(-1\right)1+\left(-1\right)=1\left(-1\right)+\left(-1\right)1+0=1\left(-1\right)+\left(-1\right)1</math>이다. 따라서, <math>1\left(-1\right)+\left(-1\right)1=0</math>이고, 이는 곧 <math>1\left(-1\right)=-\left(1\left(-1\right)\right)</math>이 성립함을 의미한다. 그런데 <math>1</math>은 곱셈에 대한 항등원이고, 환의 역원의 유일성을 이용하면, <math>1=-1</math>을 얻는다. {{각주}} [[분류:수학]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:거짓 (편집) 틀:알림바 (원본 보기) (보호됨)틀:진실 (편집) 이 문서는 다음의 숨은 분류 1개에 속해 있습니다: 분류:봇 활동에서 예외로 둔 문서