해석학

개요

일반인들에게 설명할 때는 미적분학의 엄밀화라고 하고, 정확히는 부등식의 학문. 실수체 [math]\displaystyle{ \Bbb{R} }[/math]은 그런 부등식을 다루기 아주 적합한 공간이고, 이 부등식으로 어떤 함수를 어떻게 표현할 것이냐, 이것으로 함수는 어떻게 움직이느냐를 결정한다.

역사

해석학은 1600년대부터 뉴턴과 라이프니츠에 의해 발전하기 시작하였다.

함수 [math]\displaystyle{ f:\Bbb{R}\to \Bbb{R} }[/math]로 부터

[math]\displaystyle{ f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} }[/math]

로 미분을 정의했다. 그 때는 극한의 개념조차 없던 때였는데, 미분을 정의하려면 극한이 필요했으므로 극한을 단순히 "무한히 가까이 가져갔을 때 나오는 값"으로 정의하게 된다. 그리고 [math]\displaystyle{ x-a }[/math]는 [math]\displaystyle{ x }[/math] 를 [math]\displaystyle{ a }[/math] 로 무한히 가져다 대면 0이 되는데, 그러면 저것은 분모가 0인 꼴이 나와서 이상한 값이 나오게 된다. 그래서 나온 것이 무한소란 개념. 물론 무한소조차도 전혀 제대로 정의되지 않았지만, 어쨌든 뉴턴과 라이프니츠는 이렇게 정의하고 많은 것을 계산했다. 그것이 정확히 무엇인지는 전혀 모른 채로.

1800년대 추가 되어서 해석학은 엄밀화를 거친다. 코시와 바이어슈트라스가 대표적이고, 1900년대 초에 가면 이미 우리가 대학에서 배우고 있는 해석학이 모두 완성되었다고 보면 된다.

실해석학

개요

해석학에서 가장 처음에 하는 것은 [math]\displaystyle{ \Bbb{R} }[/math]의 성질을 알아내는 것이다. 완비순서체는 실수체 [math]\displaystyle{ \Bbb{R} }[/math]가 유일하다.

그 다음에 하는 것은 수열의 극한을 정의하는 것. 수열 [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math]이 있다고 할 때 이것이 [math]\displaystyle{ a }[/math]로 수렴한다는 것은 모든 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해서 적당한 자연수 [math]\displaystyle{ \operatorname{N} }[/math]이 있어서

[math]\displaystyle{ n\ge \operatorname{N} \implies |a-a_n|\lt \varepsilon }[/math]

를 만족하는 것이다. 그리고 볼차노-바이어슈트라스 정리(Bolzano-Weierstrass theorem)을 증명한다. 볼차노-바이어슈트라스 정리란 모든 유계 실수열이 수렴하는 부분 수열을 가진다는 내용이다.

그리고 코시 수열(Cauchy sequence)을 정의 하는데, 이는 수렴성의 정의에서

[math]\displaystyle{ m,n\ge \operatorname{N} \implies |a_m-a_n|\lt \varepsilon }[/math]

로만 바꾸면 된다. 수렴성의 정의와 다른 점은 어디로 수렴하는지 명확하게 없다는 점. 그리고 [math]\displaystyle{ \Bbb{R} }[/math]에선 어떤 수열이 수렴한다는 명제와 그 수열이 코시 수열 이라는 명제가 동치임을 증명한다. 그리고 증명 과정에서 볼차노-바이어슈트라스 정리을 쓴다.

이제 [math]\displaystyle{ \limsup }[/math]과 [math]\displaystyle{ \liminf }[/math]를 정의하는데, 이는 유계인 수열 [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math]이 있을 때 [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math]의 부분 수열이 수렴할 수 있는 값들을 모은 집합을 [math]\displaystyle{ E }[/math]라고 하면 [math]\displaystyle{ E }[/math]는 볼차노-바이어슈트라스 정리에 의해 공집합이 아니고

[math]\displaystyle{ \begin{aligned} & \limsup_{n\to \infty}a_n=\text{sup}\,E \\ & \liminf_{n\to \infty}a_n=\text{inf}\,E \end{aligned} }[/math]

로 정의한다. 그리고 이것의 성질들을 생각한다.

다음에 할 것은 연속성인데, 연속성의 정의는 극한의 정의를 따라한 것이다. [math]\displaystyle{ a\in \Bbb{R} }[/math]가 있고, [math]\displaystyle{ U }[/math]가 [math]\displaystyle{ a }[/math]의 개근방이라고 하고 [math]\displaystyle{ f:U\to \Bbb{R} }[/math]가 있으면 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 [math]\displaystyle{ x=a }[/math]에서 연속이라는 것은 모든 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해서 적당한 [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math]가 있어서

[math]\displaystyle{ |x-a|\lt \delta \implies |f(x)-f(a)|\lt \varepsilon }[/math]

이라는 것이다. 이것이 유명한 ε-δ 논법. 그리고 평등 연속(uniformly continuous)도 정의하는데, 이번엔 [math]\displaystyle{ a }[/math]를 잡지 않고 집합을 생각한다.

[math]\displaystyle{ |x-y|\lt \delta \implies |f(x)-f(y)|\lt \varepsilon }[/math]

그러니까, 평등 연속은 그냥 연속성보다 더 global한 개념이다.

다음으로 적분은 [math]\displaystyle{ \int_{a}^{b} f(x) dx }[/math]의 형태로, 해석학에서는 리만적분을 사용한다. 리만적분을 하기 위해서는 먼저 리만합을 알아야 하는데, 리만합은 어떤 분할 [math]\displaystyle{ \pi = \{ x_0 (=a) , x_1 , ... , x_n (=b) \} }[/math]이 있어서 [math]\displaystyle{ S(f, \pi) = \sum_{j=1}^{n} f(s_j) (x_j - x_{j-1}) }[/math]이고, [math]\displaystyle{ x_{j-1} \leq s_j \leq x_j }[/math]인 것이다.

이 리만합이 분할을 하면 할 수록 어떤 값으로 수렴할 경우, 이 함수[math]\displaystyle{ f }[/math]는 [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]에서 리만적분이 가능하다고 말한다.

또한 본격적인 실해석학에서는 고등학교 때부터 정의하고 사용하던 리만 적분을 확장하여 르벡 적분(Lebesgue integration)을 다룬다. 리만 적분으로 적분할 수 있는 함수는 비교적 제한되어 있는데, 르벡 적분을 이용하면 더욱 넓은 범위의 함수를 적분할 수 있게 된다. 또한 리만 적분이 실수축 위에서의 적분만을 다루는 반면, 르벡 적분은 측도 (measure)라는 개념을 이용하여 더욱 다양한 공간 위에서의 적분을 다룰 수 있다. 이를 토대로 실상 확률론은 르벡 적분과 측도의 특수한 경우라 볼 수 있음을 알게 된다. 마지막으로 르벡 적분이 리만 적분에 비해 가지는 이점은, 수렴(limit)이 더욱 잘 보존된다는 것이다. 흔히 극한 기호 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} }[/math]와 적분 기호 [math]\displaystyle{ \int }[/math]의 순서를 별 생각 없이 서로 바꾸어 쓰곤 하는데, 이것이 항상 가능하지는 않으며 특히 리만 적분의 이론에서는 제약이 매우 심하다. 그러나 르벡 적분의 이론을 통해 두 개를 바꾸어 쓸 수 있는 조건을 엄밀하게 규명할 수 있으며, 그러한 조건 중 특히 르벡 지배 수렴 정리 (Lebesgue Dominated Convergence Theorem)는 중요한 축에 속한다.

복소해석학

우리가 보통 부르는 해석학이 정의역이 [math]\displaystyle{ \Bbb{R} }[/math]의 부분집합인 함수에 대해서 연구하는 거라면 복소해석학은 정의역이 [math]\displaystyle{ \Bbb{C} }[/math]의 부분집합인 함수에 대해서 연구하는 학문이다. 여기선 미분 가능한 함수를 holomorphic function이라고 부르는데, 이는 놀랄만큼 엄청난 성질들을 만족한다. 예를 들어서 U가 [math]\displaystyle{ \Bbb{C} }[/math]에서 simply connected open set이고 C가 [math]\displaystyle{ \Bbb{C} }[/math] 위의 U를 둘러싸는 rectifiable curve고 [math]\displaystyle{ f:U\to \Bbb{C} }[/math]가 U에서 holomorphic하다면

[math]\displaystyle{ \int_{C}f(z)\,\mathrm{d}z=0 }[/math]

을 만족한다. 그리고 holomorphic하기만 하면 무한번 미분 가능하고 동시에 analytic. 그러니까 테일러 급수 전개가 가능하기까지 하다.