소수가 수인가요?
예를 들어 똑같은 수를 3/2처럼 분수 꼴로도, 1.5처럼 소수 꼴로도 나타낼 수 있습니다. 그렇다고 하여 3/2를 소수라고 하지는 않습니다. 이렇게 보면 ‘소수’라는 말은 특정한 방식으로 나타내었다는 뜻을 내포함을 알 수 있습니다.
즉 내용(의미, 값)과 기호(표현)는 구별된다는 측면에서, ‘소수’는 수의 특정한 표현을 말하는 것이지 그 수 자체를 나타내는 말이라고 하기는 어렵지 않을까요.
“소수점 기호를 이용해 나타낸 수”(이렇게 썼지만 수라는 의미가 아니라는 것은 분명합니다) 또는 “1보다 작은 단위에서 의미 있는 값을 가지는 수를 소수점을 이용해 나타낸 것” 정도로 정의하면 어떨까 합니다. --휴면유동닉 (토론) 2015년 12월 17일 (목) 11:50:46 (KST)
- 동음이의 구분 표기는 위키백과를 따른 것입니다. 그리고 소수가 수의 특정한 표현(기호, 표현)이 맞긴하지만, 동시에 소수점표기가 있는 일반적인 수 자체(의미, 값)를 말합니다. 게다가 "소수점 기호를 이용해 나타낸 수"가 수가 아니면 무엇입니까;; 분수 표기나 소수 표기는 한 수를 다른 두 개의 방법으로 나타낸 것일 뿐이죠. 표현은 달라도 그게 수라는 사실은 변하지 않습니다. --Skim (토론) 2015년 12월 17일 (목) 12:01:39 (KST)
- 1. 지금 위키백과 검색해 보시면 본 문서의 제목은 “소수점 표기”로 되어 있고, “소수 (실수)”는 그리로 리다이렉트됩니다. 또한, 정의 역시 “소수점을 이용해서 실수를 표기하는 것”이라고 하고 있습니다.
- 2. “소수가 수의 특정한 표현(기호, 표현)이 맞긴하지만, 동시에 소수점표기가 있는 일반적인 수 자체(의미, 값)를 말합니다”라고 하셨는데, 이는 “내용과 기호는 구별된다”는 말 자체를 망가뜨리고 있는 것으로밖에 안 보입니다. 기표와 기의를 구분하자고 말을 꺼냈는데 전혀 구분하고 있지 않으시잖아요. 가리키는 대상이 수라고 하여 그 자체가 수라고 할 수는 없습니다.
- 물론 수라는 것이 본디 추상적 개념이기 때문에 적절한 기호가 없으면 그 개념에 대해 사유하기 어렵기는 합니다. 그러나 지금처럼 같은 수를 3/2로도 1.5로도 나타낼 수 있는 경우만큼은 개념과 표현을 분리하여 생각하는 것이 좀 더 쉽습니다. 제 생각에 최소한 “예를 들어 똑같은 수를 3/2처럼 분수 꼴로도, 1.5처럼 소수 꼴로도 나타낼 수 있습니다. 그렇다고 하여 3/2를 소수라고 하지는 않습니다.”라는 말씀에 대해서는 적절한 비판을 하셔야 할 것 같은데, 그렇지 않고 그냥 “표현은 달라도 그게 수라는 사실은 변하지 않습니다”라고 하시면 좀 그렇습니다.
- 3. “‘소수점 기호를 이용해 나타낸 수’(이렇게 썼지만 수라는 의미가 아니라는 것은 분명합니다)”라는 말씀은, ‘어떤 수를 소수점 기호를 이용해 나타낸 것’이라는 말을 국어 어법 상 좀 더 자연스러워 보이도록 ‘소수점 기호를 이용해 나타낸 수’처럼 적었을 뿐이라는 뜻입니다. 그러고 보니 분명하진 않네요. --휴면유동닉 (토론) 2015년 12월 17일 (목) 12:14:43 (KST)
- 1. 위키백과에서 리디렉트 처리를 했는지는 몰랐네요.
- 2. 동음이의어 설명을 하고 싶었던 것입니다. 소수가 "소수점 표기"의 의미와 "실수"의 의미, 서로 다른 (하지만 연관있는) 의미를 가진다는 설명이었습니다. 내용과 기호는 구별된다는 말을 망가트린적은 없습니다. 다만 동음이의일 뿐이죠.
- 덧붙여, 소수 토론에서도 그렇지만, 일반적으로 소수(정수론에서의 소수가 아니라는 것이 명백할 때)라 하면 "소수 표기가 있는 수"를 가르키지 않나요? 1.5를 소수라 불렀다 해서 누군가가 "소수는 소수점 표기를 나타내는 말이니까 1.5는 소수가 아니라 소수점 표기의 수"라고 설명한다면 분명 이상한 눈빛으로 쳐다보겠죠. 본문에 소수는 소수점 표기를 가르키는 말이다라고 한 줄 추가하는 것으로 충분해 보입니다. 본문도 소수점 표기 그 자체보다는 수로서의 성질을 다루고 있는 걸로 압니다. --Skim (토론) 2015년 12월 17일 (목) 12:23:58 (KST)
- 본문이 수로서의 성질을 다루고 있다고 하셨는데, 저는 그 서술이 잘못된 것일 가능성까지 염두하고 있는 겁니다. 소수는 특정한 방식으로 표기한 것을 말한다면, “유리수는 소수로 나타내면 유한소수 또는 순환하는 무한소수가 된다”라고 하는 것은 괜찮지만 “유한소수는 유리수이다”는 좀 이상하죠.
- “일반적으로 소수라 하면 "소수 표기가 있는 수"를 가르키지 않나요?”라고 하시니 저도 좀 헷갈리네요. “1.5를 소수라 불렀다 해서”라고 하셨는데 실제로 그렇게 부르는 어떤 경우를 말씀하시는 것인지 좀 예를 들어 주실 수 있을까요. 잘 생각이 안 나네요. 예를 들어 “1.5는 소수야”라고 했다고 해서 ‘소수’라는 말이 값을 가리키는 것이라고 단정지을 수는 없다고 생각합니다.
- 제가 껄끄럽게 생각하는 부분이 하나 더 생각났는데요, 소수가 실수의 일종으로 특정한 종류의 수를 말한다고 하면, 최소한 ‘소수’와 ‘소수가 아닌 것’은 명백하게 구분이 되어야 할 것 같습니다. 그리고 ‘수’는 값이 본질이므로 값이 같은 수는 같게 취급하여야 하겠죠. 아시다시피 1=0.99…인데요, 좌변의 1은 누가 봐도 소수가 아닙니다. 한편 우변의 0.99…는 누가 봐도 소수죠. 그러면 1=0.99…는 ‘소수’와 ‘소수가 아닌 것’ 중 어디에 속하나요?
- 한편 그리고 위키백과에서와 같이 ‘소수점 표기’라는 말을 쓰자는 말씀은 아닙니다. 이는 영어 위키피디어의 decimal representation에 대한 번역어인 것 같은데요, 영어에서 decimal이라고 하면 소수라는 말 말고도 여러 뜻이 있어서 이를 표제어로 하기는 곤란한 등의 여러 가지 이유가 있어서 그렇게 한 게 아닐까 해요. 우리말에서는 ‘소수’라는 말이 있어서 굳이 그렇게 할 필요가 없…
- 다고 생각하고 표준국어대사전을 찾아 보았다가 멘붕 상태입니다. 표준국어대사전에서는 소수의 뜻이 이렇답니다.
- “0보다 크고 1보다 작은 실수. 0 다음에 점을 찍어 나타낸다.”
- 이 정의에 따르면 수가 맞긴 한데, Skim 님께서 적으신 뜻과는 또 다른 뜻인 것 같네요. 저희가 일상적으로, 혹은 초등학교 교과서에서 이 뜻으로 썼나요? 엄청 혼란스럽네요. --휴면유동닉 (토론) 2015년 12월 17일 (목) 13:33:23 (KST)
- "유한소수는 유리수이다"에서의 소수를 소수점 표기가 아닌 "소수점 표기로 나타냈을 때 소수점 아래의 수가 유한한 수"로 생각하면 문제가 없죠. 동어반복이라 조금 껄끄럽지만 일상적으로 유한소수라는 단어를 말하면 그 표기법이 아닌 수를 생각하지 않나요? 소수가 실제로 어떤 의미를 가지는지는 둘째치고요.
- "다음 수를 소수로 바꾸어라"같은 구문이 한 예겠네요. 문법적으로 보면 수와 소수가 대응하고 있기 때문에 두 개념은 같은 개념에 속해야 합니다. 수와 표기법은 다른 개념이기 때문에 대응시키면 잘못된 비유의 논리적 오류를 범하게 되죠. 물론 이렇게 까지 분석을 해야할 필요는 못 느낍니다만...
- 마지막으로 1=0.999...는 방정식이지 수가 아닙니다. 1은 분명히 소수가 아니고, 0.999...는 소수죠. 정수론 책에서는 수의 표기는 유일하지 않음을 분명히 하고 넘어갑니다. 그렇기 때문에 정수론에서 소수 파트는 "모든 자연수 n에 대해 소수 n번째 자리 이후는 전부 0이거나 9가 아니다"같은 조건을 덧붙입니다. 조금 웃긴 조건이지만 실수체계가 완벽하지 않기때문에 이런일이 벌어지는 것이죠.
- 마지막으로, 초등학교에서는 실수를 그냥 소수점있는 수라고만 가르칩니다. 초등학교에서 엄밀함을 기대하기는 좀 그렇죠. 하지만 제가 알고 있는 정의는 저게 맞습니다. 단, 전 저 정의를 조금 확장한 "0에서 1사이의 실수 + 정수"를 실수의 정의로 받아들이고 있습니다. 다른 사람은 정의를 다르게 생각할 수도 있고요, 물론. --Skim (토론) 2015년 12월 17일 (목) 14:01:10 (KST)
콜론이 많아져서 새로 씁니다. 모든 실수는 소수 표기가 존재합니다. 모든 실수가 소수라는 말은 뭔가 이상하지만 틀린 말은 아니죠. --Skim (토론) 2015년 12월 28일 (월) 11:17:54 (KST)
헷갈릴 수도 있을 것 같아서 소수에 대한 제 생각을 다시 정리하면, 저는 소수점 표기가 있는 수를 소수라고 생각합니다. 그게 실수든 복소수든 상관없이 말이죠. 소수를 수의 표현 방식, 혹은 수 그 자체, 혹은 둘 다로 받아들이는 것은 개인의 문제라고 생각합니다. 만약 문서가 소수를 수로 받아들이고 서술되어 있는 것이 문제라면 서문에 "여기서 소수는 소수점 표기가 있는 수"라고 분명하게 밝히면 될 것 같습니다. --Skim (토론) 2015년 12월 28일 (월) 11:32:04 (KST)
- 1. 그러니까 “0에서 1사이의 실수 + 정수”라는 말씀은 철회하신 거고 “소수점 표기가 있는 수”라고 다시 말씀하시는 거지요? 그렇게 알겠습니다.
- 2. 초등학교 (국정) 교과서 및 지도서를 볼 수 있는 곳을 찾았습니다. http://jaemin.net/jidoseo.htm 분수와 소수는 초등학교 3학년 1학기 과정인데요, “"다음 수를 소수로 바꾸어라"같은 구문이 한 예”라고 하셨던 것과는 달리 일관되게 “소수로 … 나타내어 보시오”(교과서 213쪽)라거나 “소수로 나타내는 방법”(214쪽)과 같은 식으로 항상 ‘나타내다’를 수반하여 쓰지 ‘바꾸다’를 쓰는 경우는 없는 것 같습니다(익힘책도 마찬가지입니다. 116쪽 이하).
- 물론 그렇다고 하여 소수를 수로서 쓰는 예가 없다는 것이 아니고, 바로 다음에 나오는 “소수의 크기를 비교”에서는 소수가 수인 것처럼 다룹니다. 즉 교과서에서는 소수를 수 혹은 표기법으로 혼동해서 쓰고 있는 것으로 보입니다.
- 교과서 상의 정의도 “0.1, 0.2, 0.3과 같은 수를 소수라 하고, ‘.’을 소수점이라고 합니다.”(교과서 212쪽)라고 하여 수인 것처럼 다룹니다. 여기서는 십진법에 의존하였지만 소수점 표기가 위치기수법의 확장이니 당연한(어쩔 수 없는) 것으로 보이고, 또 0보다 크고 1보다 작은 수만 다루는 것처럼 보이나 바로 뒤의 214쪽에서는 정수 자리도 있는 소수들을 다루고 있습니다. 한편 “0.1, 0.2, 0.3과 같은” 게 대체 어떤 것인지 명확하지는 않으나 바로 뒤에 소수점 이야기를 꺼낸 것으로 보아 소수점이 표기에 사용된다는 점이 공통점이라고 지적하고 있는 듯합니다. 즉 교과서에서는 말씀하신 것처럼 “소수점 표기가 있는 수”라고 정의하고 있다고 생각해도 될 것 같습니다.
- 그런 한편 지도서에서는 “유리수를 표현하는 방법인 또 다른 방법인 소수(小數)는 영어로 decimal 또는 decimal fraction이라고 불린다. Decimal fraction은 십진소수 또는 십진분수라고 부를 수 있는데 분모가 10의 거듭제곱인 분수를 의미한다.”(369쪽)라고 하고 있습니다. ‘유리수를 표현하는 방법’이라고 하고 있다는 한계가 있고, “분모가 10의 거듭제곱인 분수”라는 표현도 무한소수에 대해서는 적용될 수 없다는 문제는 있지만, ‘표현하는 방법’이라고 전제하고 시작하고 있습니다. 즉 교과서 상의 정의와 지도서의 입장 사이에 혼선이 있는 것 같습니다.
- 다음 내용은 지도서 8쪽입니다. “초등학교 교사는 수학적 정의가 아니라 학생들이 이미 가지고 있는 관념에 기초한 비형식적인 정의로 어떤 것이 가능한지 미리 파악하고 그것을 토대로 수학적인 개념, 성질을 끌어낼 수 있도록 해야 한다. 예를 들어, 3학년에서 원을 다룰 때에는 …(중략)… 이와 같이 비형식적인 정의를 활용하다 보니 때로는 내부까지 포함된 도형을 원으로 보기도 하고, 때로는 내부를 제외한 원주만 원으로 보는 일이 발생한다. …(중략)… 그러므로 비형식적인 정의의 내용이 불완전하거나 수학적인 의미에서는 부족하더라도 ……”라고 하고 있는데요, 이에 따르면 교과서의 정의는 ‘비형식적인 정의’일 수 있으며 이는 ‘정의의 내용이 불완전하거나 수학적인 의미에서는 부족’할 수 있다고 합니다. 그렇다면 교과서보다는 지도서의 입장을 좀 더 우선해야 하는 것이 아닐까요.
- 3. 또 개인의 문제라고 하셨는데, 그건 어느 쪽을 택하든 별 문제가 없을 때에 할 수 있는 말이라고 생각합니다. 제가 제기한 문제에 대해서, 1=0.999…인데 “1은 분명히 소수가 아니고, 0.999...는 소수”라고 하셨잖아요. 수는 분명히 같은 수인데, 이렇게 나타내면 소수가 되고 저렇게 나타내면 소수가 아니게 된다는 것인데, 그렇다면 ‘소수’라는 낱말이 나타내는 방법 즉 표기법에 관한 것이지 어떻게 수에 관한 것이 되겠느냐, 하는 것이 제 문제제기의 골자였습니다. 저는 표기법으로 보는 쪽이 더 타당하고, 수로 볼 수도 있다고 하더라도 표기법으로 보는 쪽이 더 우월하다고 생각합니다. 어느 쪽이 낫고 못함이 없어서 개인의 취향 문제로 온전히 돌아가는 것이 아니구요.
- 4. 한편 복소수도 언급하셨는데요, a+bi 꼴로 나타내는 경우에 대한 이야기인 것 같은데 이는 그와 같은 표기에 사용되는 실수 a와 실수 b를 소수로 나타낸 것에 지나지 않는다고 생각합니다. Reiθ 꼴도 실수 R과 실수 θ에 대해 그와 같이 표기하는 것으로서 우리가 소수로 나타내는 것은 결국 실수 R과 실수 θ이므로 마찬가지입니다.
- 5. 저는 앞서 2와 3에서 말씀드렸듯 표기법으로 보는 편이 더 우월하다고 생각합니다. 그러나 ‘소수의 크기 비교’ 등 수로서 쓰이는 용례를 무시할 수 있는 것도 아니라고 생각합니다. 제 생각에는 정의는 “(1보다 작은 단위에서 유의미한 값을 가지는) 실수를 소수점을 이용해 나타낸 것” 정도로 하고 여기에 “그와 같이 나타낸 수를 일컫기도 한다” 정도로 덧붙이면 족하지 않을까 합니다(덧붙이는 방식이 백과사전적이기보다는 국어사전적이지 않나 하는 느낌이 있기는 합니다).
- 제가 요즘 불규칙하게 일이 생기는 바람에 접속이 띄엄띄엄한 점에 대해서는 정말 죄송합니다. 그래도 성의 있게 토론 진행해 주셔서 고맙습니다. --휴면유동닉 (토론) 2015년 12월 28일 (월) 17:37:28 (KST)