로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!== 개요 == [[절대 기하학]]의 한 정리로, 절대 기하학의 [[삼각형]]을 탐구하기 위해선 필수적으로 알아야할 정리이다. 파슈의 공리와 마찬가지로 공리로 받아들이는 경우도 있지만, 일반적인 절대 기하학에서는 공리가 아니라 증명이 필요한 명제이다. 먼저 보조 정리를 하나 알고 넘어가자. == Z 정리 == [[파일:Z 정리.png]] <br /> 그림을 보면 왜 Z정리라고 부르는지 느낌이 딱 올 것이다. 자세한 정리는 다음과 같다. {{^|명제}} 직선 <math>l</math> 위에 서로 다른 두 점 <math>A,\,D</math>가 존재한다고 하자. <math>B,\,E</math>가 <math>l</math>을 기준으로 반대 반평면에 속해있을 때, <math>\overrightarrow{AB}\cap\overrightarrow{DE}=\emptyset</math> {{^|증명}} 반직선 정리에 의해, <math>A</math>를 제외한 반직선 <math>\overrightarrow{AB}</math> 위의 모든 점은 한 반평면에 속해있고, 마찬가지로 <math>D</math>를 제외한 반직선 <math>\overrightarrow{DE}</math> 위의 모든 점은 다른 반 평면에 속해있다. 또한, 평면 분할 공리에 의해 두 반평면은 배반 집합이다. 게다가, <math>A\neq D</math>이므로, 두 반직선은 교차하지 않는다. == 크로스바 정리 == [[파일:크로스바 정리.png]] <br /> <math>\triangle{ABC}</math>가 있다고 생각하자. <math>\angle{A}</math> 내부에, 점 <math>D</math>를 찍고, <math>\overrightarrow{AD}</math>를 그으면, 이 반직선은 <math>\overline{BC}</math>와 만날까? 그림을 그려서 직관적으로 생각하면 당연히 만나지만, 이는 절대 자명하지 않다. 크로스바 정리는 이 반직선과 변이 실제로 만난다는 정리이다. {{^|명제}} <math>\triangle{ABC}</math>가 [[삼각형]]이고, <math>D</math>가 <math>\angle{BAC}</math> 내부에 존재한다고 하자. 그럼, <math>\overrightarrow{AD}</math>와 <math>\overline{BC}</math> 위에 동시에 존재하는 점 <math>G</math>가 존재한다. {{^|증명}} [[파일:크로스바 정리 증명.png]] <br /> 점 <math>E</math>와 <math>F</math>를 각각 <math>E*A*B</math>, <math>F*A*D</math>을 만족하게 잡는다 (거리 공준). <math>l=\overleftrightarrow{AD}</math>라 하자. <math>D</math>가 <math>\angle{BAC}</math> 내부에 존재하므로, 정의에 의해 <math>B,\,C\not\in l</math>이다. 따라서, 파슈의 공리에 의해 <math>l</math>은 <math>\overline{EC}</math>나 <math>\overline{BC}</math>와 만난다. 한편, <math>F*A*D</math>이므로, <math>F</math>와 <math>D</math>는 <math>\overleftrightarrow{AB}</math>를 기준으로 다른 반평면에 속해있다 (평면 분할). 그리고 <math>D</math>가 <math>\angle{BAC}</math> 내부에 존재하므로, <math>C</math> 역시 <math>D</math>와 같은 반평면에 속해있다. 따라서 <math>C</math>와 <math>F</math>는 <math>\overleftrightarrow{AB}</math>를 기준으로 다른 반평면에 속해있다 (평면 분할). 그리고 <math>A\neq E</math>이므로, Z 정리에 의해 <math>\overrightarrow{EC}\cap\overrightarrow{AF}=\emptyset</math>이다. <math>\overline{EC}\subseteq\overrightarrow{EC}</math>이므로, <math>\overrightarrow{AF}\cap\overline{EC}=\emptyset</math>이다. 또한, <math>B\neq A</math>이므로, Z 정리에 의해 <math>\overrightarrow{AF}\cap\overrightarrow{BC}=\emptyset</math>이다. 그런데 <math>\overline{BC}\subseteq\overrightarrow{B}</math>이므로, <math>\overrightarrow{AF}\cap\overline{BC}=\emptyset</math>이다. 따라서, <math>\overrightarrow{AF}</math>는 <math>\overline{EC}</math>나 <math>\overline{BC}</math>와 만나지 않지만 <math>l</math>은 두 변 중 하나와 만나므로, <math>\overrightarrow{AD}</math>가 둘 중 하나와 반드시 만나야 한다. 이제, <math>E*A*B</math>이므로, <math>E</math>와 <math>B</math>는 <math>\overleftrightarrow{AC}</math>를 기준으로 다른 반평면에 속해있다 (평면 분할). 그리고 <math>D</math>가 <math>\angle{BAC}</math> 내부에 존재하므로, <math>B</math> 역시 <math>D</math>와 같은 반평면에 속해있다. 따라서, <math>E</math>와 <math>D</math>는 다른 반평면에 속해있다 (평면 분할). 그리고 <math>A\neq C</math>이므로, Z 정리에 의해 <math>\overrightarrow{AD}\cap\overrightarrow{CE}=\emptyset</math>이다. 그런데 <math>\overline{CE}\subseteq\overrightarrow{CE}</math>이므로, <math>\overrightarrow{AD}\cap\overline{CE}=\emptyset</math>. 위 경우를 모두 조합하면, 가능한 경우는 <math>\overrightarrow{AD}</math>가 <math>\overline{BC}</math>와 만나는 경우 뿐이다. 이로써 크로스바 정리가 증명되었다. {{각주}} [[분류:절대 기하학]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:Skin (원본 보기) (준보호됨)틀:^ (편집) 틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)