원주율

圓周率

개요

원의 지름에 대한 원의 둘레의 비. 그리스 문자 [math]\displaystyle{ \pi }[/math]로 표기한다. 대표적인 무리수이자 초월수이다. 과거에는 밀률(비밀스러운운 비율)이라고 불렸다. 그 밖에 역사적으로 유명한 근삿값으로는 3, 22/7, 355/113, 루트10 등이 있다. 성경에선 3이라고 한다 손으로 계산해야 할 상황에서는 상황에 따라 pi에 22/7 또는 루트10을 대입하면 계산이 매우 쉬워질 수 있다.

대한민국의 학교 교육과정에서는 초등학교 5~6학년때 근삿값 3.14를 사용하며, 중학교에서부터는 [math]\displaystyle{ \pi }[/math]를 쓴다. 3.14는 왜 배운 건지...

성질들

• [math]\displaystyle{ \pi = \sqrt{6\left(\frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\cdots\right)} }[/math]이며 더 일반적으로는
• [math]\displaystyle{ \pi = \left((-1)^{n+1}\frac{(2n)!}{2^{2n-1}B_{2n}}\left(\frac1{1^{2n}}+\frac1{2^{2n}}+\frac1{3^{2n}}+\cdots\right)\right)^{1/{2n}} }[/math]

[math]\displaystyle{ B_{2n} }[/math]는 베르누이 수로, 유리수이다.

• [math]\displaystyle{ \pi = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{16^i} \left( \frac{4}{8i+1} - \frac{2}{8i+4} - \frac{1}{8i+5} - \frac{1}{8i+6} \right) }[/math]
• [math]\displaystyle{ \pi = \frac2{\frac{\sqrt 2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt 2}}2\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt {2+\sqrt 2}}}2\cdots} }[/math] (비에타)
• [math]\displaystyle{ \pi = 16\arctan \frac15 - 4\arctan \frac1{239} }[/math] (라이프니쯔)
• [math]\displaystyle{ \pi = 4\left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots\right) }[/math] (그레고리 & 라이프니쯔)
• [math]\displaystyle{ \pi = \left(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx \right)^2 }[/math]
• [math]\displaystyle{ \pi = \int_{-\infty}^\infty \frac1{1+x^2}dx }[/math]
• [math]\displaystyle{ \pi = \frac{4}{1+\cfrac{1^2}{2+\cfrac{3^2}{2+\cfrac{5^2}{2+\ddots}}}} = 3+ \frac{1^2}{6+\cfrac{3^2}{6+\cfrac{5^2}{6+\cfrac{7^2}{6+\ddots}}}} }[/math]

• [math]\displaystyle{ \pi=4\left(\arctan \frac{1}{2}+\arctan\frac{1}{3}\right) }[/math]
• [math]\displaystyle{ \pi=48\arctan\frac{1}{18}+32\arctan\frac{1}{57}-20\arctan\frac{1}{239} }[/math] (가우스)
• [math]\displaystyle{ \pi=24\arctan\frac{1}{8}+8\arctan{1}{57}+\arctan{1}{239} }[/math] (샹크스, 1853)
• [math]\displaystyle{ \begin{align} \pi&=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{4^k}\left(\frac{2}{4k_1}+\frac{2}{4k+2}+\frac{1}{4k+3}\right)\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{16^k}\left(\frac{4}{8k+1}-\frac{2}{8k+4}-\frac{1}{8k+5}-\frac{1}{8k+6}\right) \end{align} }[/math] (Bailey · Borwein · Plouffe, 1995)

관련 작품

• 추리만화 Q.E.D에서 주인공 토마 소는 원주율과 관련된 암호를 해석한다.
• 라이프 오브 파이 - 주인공 이름이 파이일 뿐 원주율과는 관계없음
• 라즈베리 파이

추가바람

값

3. 1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094330572703657595919530921861173819326117931051185480744623799627495673518857527248912279381830119491298336733624406566430860213949463952247371907021798609437027705392171762931767523846748184676694051320005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235420199561121290219608640344181598136297747713099605187072113499999983729780499510597317328160963185950244594553469083026425223082533446850352619311881710100031378387528865875332083814206171776691473035982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989380952572010654858632788659361533818279682303019520353018529689957736225994138912497217752834791315155748572424541506959508295331168617278558890750983817546374649393192550604009277016711390098488240128583616035637076601047101819429555961989467678374494482553797747268471040475346462080466842590694912933136770289891521047521620569660240580381501935112533824300355876402474964732639141992726042699227967823547816360093417216412199245863150302861829745557067498385054945885869269956909272107975093029553211653449872027559602364806654991198818347977535663698074265425278625518184175746728909777727938000816470600161452491921732172147723501414419735685481613611573525521334757418494684385233239073941433345477624168625189835694855620992192221842725502542568876717904946016534668049886272327917860857843838279679766814541009538837863609506800642251252051173929848960841284886269456042419652850222106611863067442786220391949450471237137869609 그리고 계속... 이걸 일일이 다 계산한 작성자에게 박수를...사실 근데 컴퓨터로 계산하는 프로그램 있다

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