원주율: 두 판 사이의 차이

2015년 7월 12일 (일) 08:32 판

圓周率

개요

원의 지름에 대한 원의 둘레의 비. 그리스 문자 [math]\displaystyle{ \pi }[/math]로 표기한다. 대표적인 무리수이자 초월수이다. 과거에는 밀률(비밀스러운 비율)이라고 불렸다. 그 밖에 역사적으로 유명한 근삿값으로는 3, 22/7, 355/113, 루트10 등이 있다. ~~성경에선 3이라고 한다~~ 손으로 계산해야 할 상황에서는 상황에 따라 pi에 22/7 또는 루트10^[1]을 대입하면 계산이 매우 쉬워질 수 있다.

대한민국의 학교 교육과정에서는 초등학교 5~6학년때 근삿값 3.14를 사용하며, 중학교에서부터는 [math]\displaystyle{ \pi }[/math]를 쓴다.

~~3.14는 왜 배운 건지...~~^[2]^[3] 사실 원주율을 3.14로 표현하는것은 상당히 정확한 값이다. 실제값과의 오차가 0.0507% 밖에 안된다!

원주율의 대체값	실제 값과의 상대오차^[4]
3	4.51%
3.1	1.324%
3.14	0.0507%
3.141	0.0189%
3.14159	0.00009%
[math]\displaystyle{ \sqrt{10} }[/math]	0.6584%
[math]\displaystyle{ 22 \over 7 }[/math]	0.04025%
[math]\displaystyle{ 355 \over 113 }[/math]	0.000009%

성질들

[math]\displaystyle{ \pi = \sqrt{6\left(\frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\cdots\right)} }[/math]이며 더 일반적으로는
[math]\displaystyle{ \pi = \left((-1)^{n+1}\frac{(2n)!}{2^{2n-1}B_{2n}}\left(\frac1{1^{2n}}+\frac1{2^{2n}}+\frac1{3^{2n}}+\cdots\right)\right)^{1/{2n}} }[/math]

[math]\displaystyle{ B_{2n} }[/math]는 베르누이 수로, 유리수이다.

[math]\displaystyle{ \pi = \frac2{\frac{\sqrt 2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt 2}}2\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt {2+\sqrt 2}}}2\cdots} }[/math] (비에타)
[math]\displaystyle{ \pi = 4\left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots\right) }[/math] (그레고리 & 라이프니쯔)
[math]\displaystyle{ \pi = \int_{-\infty}^\infty \frac1{1+x^2}dx }[/math]
[math]\displaystyle{ \pi = \left(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx \right)^2 }[/math]
[math]\displaystyle{ \pi = \frac{4}{1+\cfrac{1^2}{2+\cfrac{3^2}{2+\cfrac{5^2}{2+\ddots}}}} = 3+ \frac{1^2}{6+\cfrac{3^2}{6+\cfrac{5^2}{6+\cfrac{7^2}{6+\ddots}}}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \pi=4\left(\arctan \frac{1}{2}+\arctan\frac{1}{3}\right) }[/math]
[math]\displaystyle{ \pi = 16\arctan \frac15 - 4\arctan \frac1{239} }[/math] (라이프니쯔)
[math]\displaystyle{ \pi=48\arctan\frac{1}{18}+32\arctan\frac{1}{57}-20\arctan\frac{1}{239} }[/math] (가우스)
[math]\displaystyle{ \pi=24\arctan\frac{1}{8}+8\arctan{1}{57}+\arctan{1}{239} }[/math] (샹크스, 1853)
[math]\displaystyle{ \begin{align} \pi&=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{4^k}\left(\frac{2}{4k+1}+\frac{2}{4k+2}+\frac{1}{4k+3}\right)\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{16^k}\left(\frac{4}{8k+1}-\frac{2}{8k+4}-\frac{1}{8k+5}-\frac{1}{8k+6}\right) \end{align} }[/math] (Bailey · Borwein · Plouffe, 1995)^[5]

값

원주율은 무리수이기 때문에 소숫점 아래로 숫자가 무한하게 계속되며, 이 문서에 적혀져 있는 값은 원주율의 끝이 아니다!

우측의 펼치기를 누르면 값을 볼 수 있다. 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706 7982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381 9644288109756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412 7372458700660631558817488152092096282925409171536436789259036001133053054882046652138414695194151160 9433057270365759591953092186117381932611793105118548074462379962749567351885752724891227938183011949 1298336733624406566430860213949463952247371907021798609437027705392171762931767523846748184676694051 3200056812714526356082778577134275778960917363717872146844090122495343014654958537105079227968925892 3542019956112129021960864034418159813629774771309960518707211349999998372978049951059731732816096318 5950244594553469083026425223082533446850352619311881710100031378387528865875332083814206171776691473 0359825349042875546873115956286388235378759375195778185778053217122680661300192787661119590921642019 8938095257201065485863278865936153381827968230301952035301852968995773622599413891249721775283479131 5155748572424541506959508295331168617278558890750983817546374649393192550604009277016711390098488240 1285836160356370766010471018194295559619894676783744944825537977472684710404753464620804668425906949 1293313677028989152104752162056966024058038150193511253382430035587640247496473263914199272604269922 7967823547816360093417216412199245863150302861829745557067498385054945885869269956909272107975093029 5532116534498720275596023648066549911988183479775356636980742654252786255181841757467289097777279380 0081647060016145249192173217214772350141441973568548161361157352552133475741849468438523323907394143 3345477624168625189835694855620992192221842725502542568876717904946016534668049886272327917860857843 8382796797668145410095388378636095068006422512520511739298489608412848862694560424196528502221066118 6306744278622039194945047123713786960956364371917287467764657573962413890865832645995813390478027590 0994657640789512694683983525957098258226205224894077267194782684826014769909026401363944374553050682 0349625245174939965143142980919065925093722169646151570985838741059788595977297549893016175392846813 8268683868942774155991855925245953959431049972524680845987273644695848653836736222626099124608051243 8843904512441365497627807977156914359977001296160894416948685558484063534220722258284886481584560285 0601684273945226746767889525213852254995466672782398645659611635488623057745649803559363456817432411 2515076069479451096596094025228879710893145669136867228748940560101503308617928680920874760917824938 5890097149096759852613655497818931297848216829989487226588048575640142704775551323796414515237462343 6454285844479526586782105114135473573952311342716610213596953623144295248493718711014576540359027993 4403742007310578539062198387447808478489683321445713868751943506430218453191048481005370614680674919 2781911979399520614196634287544406437451237181921799983910159195618146751426912397489409071864942319 6156794520809514655022523160388193014209376213785595663893778708303906979207734672218256259966150142 1503068038447734549202605414665925201497442850732518666002132434088190710486331734649651453905796268 5610055081066587969981635747363840525714591028970641401109712062804390397595156771577004203378699360 0723055876317635942187312514712053292819182618612586732157919841484882916447060957527069572209175671 1672291098169091528017350671274858322287183520935396572512108357915136988209144421006751033467110314 1267111369908658516398315019701651511685171437657618351556508849099898599823873455283316355076479185 3589322618548963213293308985706420467525907091548141654985946163718027098199430992448895757128289059 2323326097299712084433573265489382391193259746366730583604142813883032038249037589852437441702913276 5618093773444030707469211201913020330380197621101100449293215160842444859637669838952286847831235526 5821314495768572624334418930396864262434107732269780280731891544110104468232527162010526522721116603 9666557309254711055785376346682065310989652691862056476931257058635662018558100729360659876486117910 4533488503461136576867532494416680396265797877185560845529654126654085306143444318586769751456614068 0070023787765913440171274947042056223053899456131407112700040785473326993908145466464588079727082668 3063432858785698305235808933065757406795457163775254202114955761581400250126228594130216471550979259 2309907965473761255176567513575178296664547791745011299614890304639947132962107340437518957359614589 0193897131117904297828564750320319869151402870808599048010941214722131794764777262241425485454033215 7185306142288137585043063321751829798662237172159160771669254748738986654949450114654062843366393790 0397692656721463853067360965712091807638327166416274888800786925602902284721040317211860820419000422 9661711963779213375751149595015660496318629472654736425230817703675159067350235072835405670403867435 1362222477158915049530984448933309634087807693259939780541934144737744184263129860809988868741326047 2156951623965864573021631598193195167353812974167729478672422924654366800980676928238280689964004824 3540370141631496589794092432378969070697794223625082216889573837986230015937764716512289357860158816 1755782973523344604281512627203734314653197777416031990665541876397929334419521541341899485444734567 3831624993419131814809277771038638773431772075456545322077709212019051660962804909263601975988281613 3231666365286193266863360627356763035447762803504507772355471058595487027908143562401451718062464362 6794561275318134078330336254232783944975382437205835311477119926063813346776879695970309833913077109 8704085913374641442822772634659470474587847787201927715280731767907707157213444730605700733492436931 1383504931631284042512192565179806941135280131470130478164378851852909285452011658393419656213491434 1595625865865570552690496520985803385072242648293972858478316305777756068887644624824685792603953527 7348030480290058760758251047470916439613626760449256274204208320856611906254543372131535958450687724 6029016187667952406163425225771954291629919306455377991403734043287526288896399587947572917464263574 5525407909145135711136941091193932519107602082520261879853188770584297259167781314969900901921169717 3727847684726860849003377024242916513005005168323364350389517029893922334517220138128069650117844087 4519601212285993716231301711444846409038906449544400619869075485160263275052983491874078668088183385 1022833450850486082503930213321971551843063545500766828294930413776552793975175461395398468339363830 4746119966538581538420568533862186725233402830871123282789212507712629463229563989898935821167456270 1021835646220134967151881909730381198004973407239610368540664319395097901906996395524530054505806855 0195673022921913933918568034490398205955100226353536192041994745538593810234395544959778377902374216 1727111723643435439478221818528624085140066604433258885698670543154706965747458550332323342107301545 9405165537906866273337995851156257843229882737231989875714159578111963583300594087306812160287649628 6744604774649159950549737425626901049037781986835938146574126804925648798556145372347867330390468838 3436346553794986419270563872931748723320837601123029911367938627089438799362016295154133714248928307 2201269014754668476535761647737946752004907571555278196536213239264061601363581559074220202031872776 0527721900556148425551879253034351398442532234157623361064250639049750086562710953591946589751413103 4822769306247435363256916078154781811528436679570611086153315044521274739245449454236828860613408414 8637767009612071512491404302725386076482363414334623518975766452164137679690314950191085759844239198 6291642193994907236234646844117394032659184044378051333894525742399508296591228508555821572503107125 7012668302402929525220118726767562204154205161841634847565169998116141010029960783869092916030288400 2691041407928862150784245167090870006992821206604183718065355672525325675328612910424877618258297651 5795984703562226293486003415872298053498965022629174878820273420922224533985626476691490556284250391 2757710284027998066365825488926488025456610172967026640765590429099456815065265305371829412703369313 7851786090407086671149655834343476933857817113864558736781230145876871266034891390956200993936103102 9161615288138437909904231747336394804575931493140529763475748119356709110137751721008031559024853090 6692037671922033229094334676851422144773793937517034436619910403375111735471918550464490263655128162 2882446257591633303910722538374218214088350865739177150968288747826569959957449066175834413752239709 6834080053559849175417381883999446974867626551658276584835884531427756879002909517028352971634456212 9640435231176006651012412006597558512761785838292041974844236080071930457618932349229279650198751872 1272675079812554709589045563579212210333466974992356302549478024901141952123828153091140790738602515 2274299581807247162591668545133312394804947079119153267343028244186041426363954800044800267049624820 1792896476697583183271314251702969234889627668440323260927524960357996469256504936818360900323809293 4595889706953653494060340216654437558900456328822505452556405644824651518754711962184439658253375438 8569094113031509526179378002974120766514793942590298969594699556576121865619673378623625612521632086 2869222103274889218654364802296780705765615144632046927906821207388377814233562823608963208068222468 0122482611771858963814091839036736722208883215137556003727983940041529700287830766709444745601345564 1725437090697939612257142989467154357846878861444581231459357198492252847160504922124247014121478057 3455105008019086996033027634787081081754501193071412233908663938339529425786905076431006383519834389 3415961318543475464955697810382930971646514384070070736041123735998434522516105070270562352660127648 4830840761183013052793205427462865403603674532865105706587488225698157936789766974220575059683440869 7350201410206723585020072452256326513410559240190274216248439140359989535394590944070469120914093870 0126456001623742880210927645793106579229552498872758461012648369998922569596881592056001016552563756 7856672279661988578279484885583439751874454551296563443480396642055798293680435220277098429423253302 2576341807039476994159791594530069752148293366555661567873640053666564165473217043903521329543529169 4145990416087532018683793702348886894791510716378529023452924407736594956305100742108714261349745956 1513849871375704710178795731042296906667021449863746459528082436944578977233004876476524133907592043 4019634039114732023380715095222010682563427471646024335440051521266932493419673977041595683753555166 7302739007497297363549645332888698440611964961627734495182736955882207573551766515898551909866653935 4948106887320685990754079234240230092590070173196036225475647894064754834664776041146323390565134330 6844953979070903023460461470961696886885014083470405460742958699138296682468185710318879065287036650 8324319744047718556789348230894310682870272280973624809399627060747264553992539944280811373694338872 9406307926159599546262462970706259484556903471197299640908941805953439325123623550813494900436427852 7138315912568989295196427287573946914272534366941532361004537304881985517065941217352462589548730167 6002988659257866285612496655235338294287854253404830833070165372285635591525347844598183134112900199 9205981352205117336585640782648494276441137639386692480311836445369858917544264739988228462184490087 7769776312795722672655562596282542765318300134070922334365779160128093179401718598599933849235495640 0570995585611349802524990669842330173503580440811685526531170995708994273287092584878944364600504108 9226691783525870785951298344172953519537885534573742608590290817651557803905946408735061232261120093 7310804854852635722825768203416050484662775045003126200800799804925485346941469775164932709504934639 3824322271885159740547021482897111777923761225788734771881968254629812686858170507402725502633290449 7627789442362167411918626943965067151577958675648239939176042601763387045499017614364120469218237076 4887834196896861181558158736062938603810171215855272668300823834046564758804051380801633638874216371 4064354955618689641122821407533026551004241048967835285882902436709048871181909094945331442182876618 1031007354770549815968077200947469613436092861484941785017180779306810854690009445899527942439813921 3505586422196483491512639012803832001097738680662877923971801461343244572640097374257007359210031541 5089367930081699805365202760072774967458400283624053460372634165542590276018348403068113818551059797 0566400750942608788573579603732451414678670368809880609716425849759513806930944940151542222194329130 2173912538355915031003330325111749156969174502714943315155885403922164097229101129035521815762823283 1823425483261119128009282525619020526301639114772473314857391077758744253876117465786711694147764214 4111126358355387136101102326798775641024682403226483464176636980663785768134920453022408197278564719 8396308781543221166912246415911776732253264335686146186545222681268872684459684424161078540167681420 8088502800541436131462308210259417375623899420757136275167457318918945628352570441335437585753426986 9947254703165661399199968262824727064133622217892390317608542894373393561889165125042440400895271983 7873864805847268954624388234375178852014395600571048119498842390606136957342315590796703461491434478 8636041031823507365027785908975782727313050488939890099239135033732508559826558670892426124294736701 9390772713070686917092646254842324074855036608013604668951184009366860954632500214585293095000090715 1058236267293264537382104938724996699339424685516483261134146110680267446637334375340764294026682973 8652209357016263846485285149036293201991996882851718395366913452224447080459239660281715655156566611 1359823112250628905854914509715755390024393153519090210711945730024388017661503527086260253788179751 9478061013715004489917210022201335013106016391541589578037117792775225978742891917915522417189585361 6805947412341933984202187456492564434623925319531351033114763949119950728584306583619353693296992898 3791494193940608572486396883690326556436421664425760791471086998431573374964883529276932822076294728 2381537409961545598798259891093717126218283025848112389011968221429457667580718653806506487026133892 8229949725745303328389638184394477077940228435988341003583854238973542439564755568409522484455413923 9410001620769363684677641301781965937997155746854194633489374843912974239143365936041003523437770658 8867781139498616478747140793263858738624732889645643598774667638479466504074111825658378878454858148 9629612739984134427260860618724554523606431537101127468097787044640947582803487697589483282412392929 6058294861919667091895808983320121031843034012849511620353428014412761728583024355983003204202451207 2872535581195840149180969253395075778400067465526031446167050827682772223534191102634163157147406123 8504258459884199076112872580591139356896014316682831763235673254170734208173322304629879928049085140 9479036887868789493054695570307261900950207643349335910602454508645362893545686295853131533718386826 5617862273637169757741830239860065914816164049449650117321313895747062088474802365371031150898427992 7544268532779743113951435741722197597993596852522857452637962896126915723579866205734083757668738842 6640599099350500081337543245463596750484423528487470144354541957625847356421619813407346854111766883 1186544893776979566517279662326714810338643913751865946730024434500544995399742372328712494834706044 0634716063258306498297955101095418362350303094530973358344628394763047756450150085075789495489313939 4489921612552559770143685894358587752637962559708167764380012543650237141278346792610199558522471722 0177723700417808419423948725406801556035998390548985723546745642390585850216719031395262944554391316 6313453089390620467843877850542393905247313620129476918749751910114723152893267725339181466073000890 2776896311481090220972452075916729700785058071718638105496797310016787085069420709223290807038326345 3452038027860990556900134137182368370991949516489600755049341267876436746384902063964019766685592335 6546391383631857456981471962108410809618846054560390384553437291414465134749407848844237721751543342 6030669883176833100113310869042193903108014378433415137092435301367763108491351615642269847507430329 7167469640666531527035325467112667522460551199581831963763707617991919203579582007595605302346267757 9439363074630569010801149427141009391369138107258137813578940055995001835425118417213605572752210352 6803735726527922417373605751127887218190844900617801388971077082293100279766593583875890939568814856 0263224393726562472776037890814458837855019702843779362407825052704875816470324581290878395232453237 8960298416692254896497156069811921865849267704039564812781021799132174163058105545988013004845629976 5112124153637451500563507012781592671424134210330156616535602473380784302865525722275304999883701534 8793008062601809623815161366903341111386538510919367393835229345888322550887064507539473952043968079 0670868064450969865488016828743437861264538158342807530618454859037982179945996811544197425363443996 0290251001588827216474500682070419376158454712318346007262933955054823955713725684023226821301247679 4522644820910235647752723082081063518899152692889108455571126603965034397896278250016110153235160519 6559042118449499077899920073294769058685778787209829013529566139788848605097860859570177312981553149 5168146717695976099421003618355913877781769845875810446628399880600616229848616935337386578773598336 1613384133853684211978938900185295691967804554482858483701170967212535338758621582310133103877668272 1157269495181795897546939926421979155233857662316762754757035469941489290413018638611943919628388705 4367774322427680913236544948536676800000106526248547305586159899914017076983854831887501429389089950 6854530765116803337322265175662207526951791442252808165171667766727930354851542040238174608923283917 0327542575086765511785939500279338959205766827896776445318404041855401043513483895312013263783692835 8082719378312654961745997056745071833206503455664403449045362756001125018433560736122276594927839370 6478426456763388188075656121689605041611390390639601620221536849410926053876887148379895599991120991 6464644119185682770045742434340216722764455893301277815868695250694993646101756850601671453543158148 0105458860564550133203758645485840324029871709348091055621167154684847780394475697980426318099175642 2809873998766973237695737015808068229045992123661689025962730430679316531149401764737693873514093361 8332161428021497633991898354848756252987524238730775595559554651963944018218409984124898262367377146 7226061633643296406335728107078875816404381485018841143188598827694490119321296827158884133869434682 8590066640806314077757725705630729400492940302420498416565479736705485580445865720227637840466823379 8528271057843197535417950113472736257740802134768260450228515797957976474670228409995616015691089038 4582450267926594205550395879229818526480070683765041836562094555434613513415257006597488191634135955 6719649654032187271602648593049039787489589066127250794828276938953521753621850796297785146188432719 2232238101587444505286652380225328438913752738458923844225354726530981715784478342158223270206902872 3233005386216347988509469547200479523112015043293226628272763217790884008786148022147537657810581970 2226309717495072127248479478169572961423658595782090830733233560348465318730293026659645013718375428 8975579714499246540386817992138934692447419850973346267933210726868707680626399193619650440995421676 2784091466985692571507431574079380532392523947755744159184582156251819215523370960748332923492103451 4626437449805596103307994145347784574699992128599999399612281615219314888769388022281083001986016549 4165426169685867883726095877456761825072759929508931805218729246108676399589161458550583972742098090 9781729323930106766386824040111304024700735085782872462713494636853181546969046696869392547251941399 2914652423857762550047485295476814795467007050347999588867695016124972282040303995463278830695976249 3615101024365553522306906129493885990157346610237122354789112925476961760050479749280607212680392269 1102777226102544149221576504508120677173571202718024296810620377657883716690910941807448781404907551 7820385653909910477594141321543284406250301802757169650820964273484146957263978842560084531214065935 8090412711359200419759851362547961606322887361813673732445060792441176399759746193835845749159880976 6744709300654634242346063423747466608043170126005205592849369594143408146852981505394717890045183575 5154125223590590687264878635752541911288877371766374860276606349603536794702692322971868327717393236 1920077745221262475186983349515101986426988784717193966497690708252174233656627259284406204302141137 1992278526998469884770232382384005565551788908766136013047709843861168705231055314916251728373272867 6007248172987637569816335415074608838663640693470437206688651275688266149730788657015685016918647488 5416791545965072342877306998537139043002665307839877638503238182155355973235306860430106757608389086 2704984188859513809103042359578249514398859011318583584066747237029714978508414585308578133915627076 0356390763947311455495832266945702494139831634332378975955680856836297253867913275055542524491943589 1284050452269538121791319145135009938463117740179715122837854601160359554028644059024964669307077690 5548102885020808580087811577381719174177601733073855475800605601433774329901272867725304318251975791 6792969965041460706645712588834697979642931622965520168797300035646304579308840327480771811555330909 8870255052076804630346086581653948769519600440848206596737947316808641564565053004988161649057883115 4345485052660069823093157776500378070466126470602145750579327096204782561524714591896522360839664562 4105195510522357239739512881816405978591427914816542632892004281609136937773722299983327082082969955 7377273756676155271139225880552018988762011416800546873655806334716037342917039079863965229613128017 8267971728982293607028806908776866059325274637840539769184808204102194471971386925608416245112398062 0113184541244782050110798760717155683154078865439041210873032402010685341947230476666721749869868547 0767812051247367924791931508564447753798537997322344561227858432968466475133365736923872014647236794 2787004250325558992688434959287612400755875694641370562514001179713316620715371543600687647731867558 7148783989081074295309410605969443158477539700943988394914432353668539209946879645066533985738887866 1476294434140104988899316005120767810358861166020296119363968213496075011164983278563531614516845769 5687109002999769841263266502347716728657378579085746646077228341540311441529418804782543876177079043 0001566986776795760909966936075594965152736349811896413043311662774712338817406037317439705406703109 6767657486953587896700319258662594105105335843846560233917967492678447637084749783336555790073841914 7319886271352595462518160434225372996286326749682405806029642114638643686422472488728343417044157348 2481833301640566959668866769563491416328426414974533349999480002669987588815935073578151958899005395 1208535103572613736403436753471410483601754648830040784641674521673719048310967671134434948192626811 1073994825060739495073503169019731852119552635632584339099822498624067031076831844660729124874754031 6179699411397387765899868554170318847788675929026070043212666179192235209382278788809886335991160819 2353555704646349113208591897961327913197564909760001399623444553501434642686046449586247690943470482 9329414041114654092398834443515913320107739441118407410768498106634724104823935827401944935665161088 4631256785297769734684303061462418035852933159734583038455410337010916767763742762102137013548544509 2630719011473184857492331816720721372793556795284439254815609137281284063330393735624200160456645574 1458816605216660873874804724339121295587776390696903707882852775389405246075849623157436917113176134 7838827194168606625721036851321566478001476752310393578606896111259960281839309548709059073861351914 5918195102973278755710497290114871718971800469616977700179139196137914171627070189584692143436967629 2745910994006008498356842520191559370370101104974733949387788598941743303178534870760322198297057975 1191440510994235883034546353492349826883624043327267415540301619505680654180939409982020609994140216 8909007082133072308966211977553066591881411915778362729274615618571037217247100952142369648308641025 9288745799932237495519122195190342445230753513380685680735446499512720317448719540397610730806026990 6258076020292731455252078079914184290638844373499681458273372072663917670201183004648190002413083508 8465841521489912761065137415394356572113903285749187690944137020905170314877734616528798482353382972 6013611098451484182380812054099612527458088109948697221612852489742555551607637167505489617301680961 3803811914361143992106380050832140987604599309324851025168294467260666138151745712559754953580239983 1469822036133808284993567055755247129027453977621404931820146580080215665360677655087838043041343105 9180460680083459113664083488740800574127258670479225831912741573908091438313845642415094084913391809 6840251163991936853225557338966953749026620923261318855891580832455571948453875628786128859004106006 0737465014026278240273469625282171749415823317492396835301361786536737606421667781377399510065895288 7742766263684183068019080460984980946976366733566228291513235278880615776827815958866918023894033307 6441912403412022316368577860357276941541778826435238131905028087018575047046312933353757285386605888 9045831114507739429352019943219711716422350056440429798920815943071670198574692738486538334361457946 3417592257389858800169801475742054299580124295810545651083104629728293758416116253256251657249807849 2099897990620035936509934721582965174135798491047111660791587436986541222348341887722929446335178653 8567319625598520260729476740726167671455736498121056777168934849176607717052771876011999081441130586 4557791052568430481144026193840232247093924980293355073184589035539713308844617410795916251171486487 4468611247605428673436709046678468670274091881014249711149657817724279347070216688295610877794405048 4375284433751088282647719785400065097040330218625561473321177711744133502816088403517814525419643203 0957601869464908868154528562134698835544456024955666843660292219512483091060537720198021831010327041 7838665447181260397190688462370857518080035327047185659499476124248110999288679158969049563947624608 4240659309486215076903149870206735338483495508363660178487710608098042692471324100094640143736032656 4518456679245666955100150229833079849607994988249706172367449361226222961790814311414660941234159359 3095854079139087208322733549572080757165171876599449856937956238755516175754380917805280294642004472 1539628074636021132942559160025707356281263873310600589106524570802447493754318414940148211999627645 3106800663118382376163966318093144467129861552759820145141027560068929750246304017351489194576360789 3528555053173314164570504996443890936308438744847839616840518452732884032345202470568516465716477139 3237755172947951261323982296023945485797545865174587877133181387529598094121742273003522965080891777 0506825924882232215493804837145478164721397682096332050830564792048208592047549985732038887639160199 5240918938945576768749730856955958010659526503036266159750662225084067428898265907510637563569968211 5109496697445805472886936310203678232501823237084597901115484720876182124778132663304120762165873129 7081123075815982124863980721240786887811450165582513617890307086087019897588980745664395515741536319 3191981070575336633738038272152798849350397480015890519420879711308051233933221903466249917169150948 5414018710603546037946433790058909577211808044657439628061867178610171567409676620802957665770512912 0990794430463289294730615951043090222143937184956063405618934251305726829146578329334052463502892917 5470872564842600349629611654138230077313327298305001602567240141851520418907011542885799208121984493 1569990591820118197335001261877280368124819958770702075324063612593134385955425477819611429351635612 2349666152261473539967405158499860355295332924575238881013620234762466905581643896786309762736550472 4348643071218494373485300606387644566272186661701238127715621379746149861328744117714552444708997144 5228856629424402301847912054784985745216346964489738920624019435183100882834802492490854030778638751 6591130287395878709810077271827187452901397283661484214287170553179654307650453432460053636147261818 0969976933486264077435199928686323835088756683595097265574815431940195576850437248001020413749831872 2596773871549583997184449072791419658459300839426370208756353982169620553248032122674989114026785285 9967340524203109179789990571882194939132075343170798002373659098537552023891164346718558290685371189 7952626234492483392496342449714656846591248918556629589329909035239233333647435203707701010843880032 9075983421701855422838616172104176030116459187805393674474720599850235828918336929223373239994804371 0841965947316265482574809948250999183300697656936715968936449334886474421350084070066088359723503953 2340179582557036016936990988671132109798897070517280755855191269930673099250704070245568507786790694 7661262980822516331363995211709845280926303759224267425755998928927837047444521893632034894155210445 9726188380030067761793138139916205806270165102445886924764924689192461212531027573139084047000714356 1362316992371694848132554200914530410371354532966206392105479824392125172540132314902740585892063217 5894943454890684639931375709103463327141531622328055229729795380188016285907357295541627886764982741 8616421878988574107164906919185116281528548679417363890665388576422915834250067361245384916067413734 0173572779956341043326883569507814931378007362354180070619180267328551191942676091221035987469241172 8374931261633950012395992405084543756985079570462226646190001035004901830341535458428337643781119885 5631877779253720116671853954183598443830520376281944076159410682071697030228515225057312609304689842 3433152732131361216582808075212631547730604423774753505952287174402666389148817173086436111389069420 2790881431194487994171540421034121908470940802540239329429454938786402305129271190975135360009219711 0541209668311151632870542302847007312065803262641711616595761327235156666253667271899853419989523688 4830999302757419916463841427077988708874229277053891227172486322028898425125287217826030500994510824 7835729056919885554678860794628053712270424665431921452817607414824038278358297193010178883456741678 1139895475044833931468963076339665722672704339321674542182455706252479721997866854279897799233957905 7581890622525473582205236424850783407110144980478726691990186438822932305382318559732869780922253529 5910173414073348847610055640182423921926950620831838145469839236646136398910121021770959767049083050 8185470419466437131229969235889538493013635657618610606222870559942337163102127845744646398973818856 6746260879482018647487672727222062676465338099801966883680994159075776852639865146253336312450536402 6105696055131838131742611844201890888531963569869627950367384243130113317533053298020166888174813429 8868158557781034323175306478498321062971842518438553442762012823457071698853051832617964117857960888 8150329602290705614476220915094739035946646916235396809201394578175891088931992112260073928149169481 6152738427362642980982340632002440244958944561291670495082358124873917996486411334803247577752197089 3277226234948601504665268143987705161531702669692970492831628550421289814670619533197026950721437823 0476875280287354126166391708245925170010714180854800636923259462019002278087409859771921805158532147 3926532515590354102092846659252999143537918253145452905984158176370589279069098969111643811878094353 7152133226144362531449012745477269573939348154691631162492887357471882407150399500944673195431619385 5485207665738825139639163576723151005556037263394867208207808653734942440115799667507360711159351331 9591971209489647175530245313647709420946356969822266737752099451684506436238242118535348879893956731 8780660610788544000550827657030558744854180577889171920788142335113866292966717964346876007704799953 7883387870348718021842437342112273940255717690819603092018240188427057046092622564178375265263358324 2406612533115294234579655695025068100183109004112453790153329661569705223792103257069370510908307894 7999900499939532215362274847660361367769797856738658467093667958858378879562594646489137665219958828 6933801836011932368578558558195556042156250883650203322024513762158204618106705195330653060606501054 8871672453779428313388716313955969058320834168984760656071183471362181232462272588419902861420872849 5687963932546428534307530110528571382964370999035694888528519040295604734613113826387889755178856042 4998748316382804046848618938189590542039889872650697620201995548412650005394428203930127481638158530 3964399254702016727593285743666616441109625663373054092195196751483287348089574777752783442210910731 1135182804603634719818565557295714474768255285786334934285842311874944000322969069775831590385803935 3521358860079600342097547392296733310649395601812237812854584317605561733861126734780745850676063048 2294096530411183066710818930311088717281675195796753471885372293096161432040063813224658411111577583 5858113501856904781536893813771847281475199835050478129771859908470762197460588742325699582889253504 1937958260616211842368768511418316068315867994601652057740529423053601780313357263267054790338401257 3059123396018801378254219270947673371919872873852480574212489211834708766296672072723256505651293331 2605950577772754247124164831283298207236175057467387012820957554430596839555568686118839713552208445 2852640081252027665557677495969626612604565245684086139238265768583384698499778726706555191854468698 4694784957346226062942196245570853712727765230989554501930377321666491825781546772920052126671434632 0963789185232321501897612603437368406719419303774688099929687758244104787812326625318184596045385354 3839114496775312864260925211537673258866722604042523491087026958099647595805794663973419064010036361 9040420331135793365424263035614570090112448008900208014780566037101541223288914657223931450760716706 4355682743774396578906797268743847307634645167756210309860409271709095128086309029738504452718289274 9689212106670081648583395537735919136950153162018908887484210798706899114804669270650940762046502772 5286507289053285485614331608126930056937854178610969692025388650345771831766868859236814884752764984 6882194973972970773718718840041432312763650481453112285099002074240925585925292610302106736815434701 5252348786351643976235860419194129697690405264832347009911154242601273438022089331096686367898694977 9940012601642276092608234930411806438291383473546797253992623387915829984864592717340592256207491053 0853153718291168163721939518870095778818158685046450769934394098743351443162633031724774748689791820 9239480833143970840673084079589358108966564775859905563769525232653614424780230826811831037735887089 2406130313364773710116282146146616794040905186152603600925219472188909181073358719641421444786548995 2858234394705007983038853886083103571930600277119455802191194289992272235345870756624692617766317885 5144350218287026685610665003531050216318206017609217984684936863161293727951873078972637353717150256 3787335797718081848784588665043358243770041477104149349274384575871071597315594394264125702709651251 0811554824793940359768118811728247215825010949609662539339538092219559191818855267806214992317276316 3218339896938075616855911752998450132067129392404144593862398809381240452191484831646210147389182510 1090967738690664041589736104764365000680771056567184862814963711188321924456639458144914861655004956 7698269030891118568798692947051352481609174324301538368470729289898284602223730145265567989862776796 8091469798378268764311598832109043715611299766521539635464420869197567370005738764978437686287681792 4974694384274652563163230055513041742273416464551278127845777724575203865437542828256714128858345444 3513256205446424101103795546419058116862305964476958705407214198521210673433241075676757581845699069 3046047522770167005684543969234041711089888993416350585157887353430815520811772071880379104046983069 5786854739376564336319797868036718730796939242363214484503547763156702553900654231179201534649779290 6624150832885839529054263768766896880503331722780018588506973623240389470047189761934734430843744375 9925034178807972235859134245813144049847701732361694719765715353197754997162785663119046912609182591 2498903676541769799036237552865263757337635269693443544004730671988689019681474287677908669796885225 0163694985673021752313252926537589641517147955953878427849986645630287883196209983049451987439636907 0682762657485810439112232618794059941554063270131989895703761105323606298674803779153767511583043208 4987209202809297526498125691634250005229088726469252846661046653921714820801305022980526378364269597 3370705392278915351056888393811324975707133102950443034671598944878684711643832805069250776627450012 2003526203709466023414648998390252588830148678162196775194583167718762757200505439794412459900771152 0515461993050983869825428464072555409274031325716326407929341833421470904125425335232480219322770753 5554679587163835875018159338717423606155117101312352563348582036514614187004920570437201826173319471 5700867578539336078622739558185797587258744102542077105475361294047460100094095444959662881486915903 8990718659805636171376922272907641977551777201042764969496110562205925024202177042696221549587264539 8922769766031052498085575947163107587013320886146326641259114863388122028444069416948826152957762532 5019870359870674380469821942056381255833436421949232275937221289056420943082352544084110864545369404 9692714940033197828613181861888111184082578659287574263844500599442295685864604810330153889114994869 3543603022181094346676400002236255057363129462629609619876056425996394613869233083719626595473923462 4134597795748524647837980795693198650815977675350553918991151335252298736112779182748542008689539658 3594219633315028695611920122988898870060799927954111882690230789131076036176347794894320321027733594 1690865007193280401716384064498787175375678118532132840821657110754952829497493621460821558320568723 2185574065161096274874375098092230211609982633033915469494644491004515280925089745074896760324090768 9836529406579201983152654106581368237919840906457124689484702093577611931399802468134052003947819498 6620262400890215016616381353838151503773502296607462795291038406868556907015751662419298724448271942 9331004854824454580718897633003232525821581280327467962002814762431828622171054352898348208273451680 1861317195933247110746622285087106661177034653528395776259977446721857158161264111432717943478859908 9280848669491413909771673690027775850268664654056595039486784111079011610400857274456293842549416759 4605487117235946429105850909950214958793112196135908315882620682332156153086833730838173279328196983 8750870834838804638847844188400318471269745437093732983624028751979208023218787448828728437273780178 2700805878241074935751488997891173974612932035108143270325140903048746226294234432757126008664250833 3187688650756429271605525289544921537651751492196367181049435317858383453865255656640657251363575064 3532365089367904317025978781771903148679638408288102094614900797151377170990619549696400708676671023 3004867263147551053723175711432231741141168062286420638890621019235522354671166213749969326932173704 3105987225039456574924616978260970253359475020913836673772894438696400028110344026084712899000746807 7648440887113413525033678773167977093727786821661178653442317322646378476978751443320953400016506921 3054647689098505020301504488083426184520873053097318949291642532293361243151430657826407028389840984 1602950309241897120971601649265613413433422298827909921786042679812457285345801338260995877178113102 1673402565627440072968340661984806766158050216918337236803990279316064204368120799003162644491461902 1945822969099212278855394878353830564686488165556229431567312827439082645061162894280350166133669782 4051770155219626522725455850738640585299830379180350432876703809252167907571204061237596327685674845 0791511473134400018325703449209097124358094479004624943134550289006806487042935340374360326258205357 9011839564908935434510134296961754524957396062149028872893279252069653538639644322538832752249960598 6974759882329916263545973324445163755334377492928990581175786355555626937426910947117002165411718219 7505198317871371060510637955585889055688528879890847509157646390746936198815078146852621332524738376 5119299015610918977792200870579339646382749068069876916819749236562422608715417610043060890437797667 8519661891404144925270480881971498801542057787006521594009289777601330756847966992955433656139847738 0603943688958876460549838714789684828053847017308711177611596635050399793438693391197898871091565417 0913308260764740630571141109883938809548143782847452883836807941888434266622207043872288741394780101 7721392281911992365405516395893474263953824829609036900288359327745855060801317988407162446563997948 2757836501955142215513392819782269842786383916797150912624105487257009240700454884856929504481107380 8799654748156891393538094347455697212891982717702076661360248958146811913361412125878389557735719498 6317210844398901423948496659251731388171602663261931065366535041473070804414939169363262373767777095 8503132559900957627319573086480424677012123270205337426670531424482081681303063973787366424836725398 3748769098060218278578621651273856351329014890350988327061725893257536399397905572917516009761545904 4771692265806315111028038436017374742152476085152099016158582312571590733421736576267142390478279587 2815050956330928026684589376496497702329736413190609827406335310897924642421345837409011693919642504 5912881340349881063540088759682005440836438651661788055760895689672753153808194207733259791727843762 5661184319891025007491829086475149794003160703845549465385946027452447466812314687943441610993338908 9926384118474252570445725174593257389895651857165759614812660203107976282541655905060424791140169579 0033835657486925280074302562341949828646791447632277400552946090394017753633565547193100017543004750 4719144899841040015867946179241610016454716551337074073950260442769538553834397550548871099785205401 1751697475813449260794336895437832211724506873442319898788441285420647428097356258070669831069799352 6069339213568588139121480735472846322778490808700246777630360555123238665629517885371967303463470122 2939581606792509153217489030840886516061119011498443412350124646928028805996134283511884715449771278 4733617662850621697787177438243625657117794500644777183702219991066950216567576440449979407650379999 5484500271066598781360380231412683690578319046079276529727769404361302305178708054651154246939526512 7101052927070306673024447125973939950514628404767431363739978259184541176413327906460636584152927019 0302760173394748669603486949765417524293060407270050590395031485229213925755948450788679779252539317 6515641619716844352436979444735596426063339105512682606159572621703669850647328126672452198906054988 0280782881429796336696744124805982192146339565745722102298677599746738126069367069134081559412016115 9601902377535255563006062479832612498812881929373434768626892192397778339107331065882568137771723283 1532908252509273304785072497713944833389255208117560845296659055394096556854170600117985729381399825 8319293679100391844099286575605993598910002969864460974714718470101531283762631146774209145574041815 9088000649432378558393085308283054760767995243573916312218860575496738322431956506554608528812019023 6364471270374863442172725787950342848631294491631847534753143504139209610879605773098720135248407505 7637199253650470908582513936863463863368042891767107602111159828875539940120076013947033661793715396 3061398636554922137415979051190835882900976566473007338793146789131814651093167615758213514248604422 9244530411316065270097433008849903467540551864067734260358340960860553374736276093565885310976099423 8347382222087292464497684560579562516765574088410321731345627735856052358236389532038534024842273371 6391239732159954408284216666360232965456947035771848734420342277066538373875061692127680157661810954 2009770836360436111059240911788954033802142652394892968643980892611463541457153519434285072135345301 8315875628275733898268898523557799295727645229391567477566676051087887648453493636068278050564622813 5988858792599409464460417052044700463151379754317371877560398159626475014109066588661621800382669899 6196558058720863972117699521946678985701179833244060181157565807428418291061519391763005919431443460 5154047710570054339000182453117733718955857603607182860506356479979004139761808955363669603162193113 2502238517916720551806592635180362512145759262383693482226658955769946604919381124866090997981285718 2349400661555219611220720309227764620099931524427358948871057662389469388944649509396033045434084210 2462401048723328750081749179875543879387381439894238011762700837196053094383940063756116458560943129 5175977139353960743227924892212670458081833137641658182695621058728924477400359470092686626596514220 5063007859200248829186083974373235384908396432614700053242354064704208949921025040472678105908364400 7466380020870126664209457181702946752278540074508552377720890581683918446592829417018288233014971554 2352359117748186285929676050482038643431087795628929254056389466219482687110428281638939757117577869 1543016505860296521745958198887868040811032843273986719862130620555985526603640504628215230615459447 4489908839081999738747452969810776201487134000122535522246695409315213115337915798026979555710508507 4738747507580687653764457825244326380461430428892359348529610582693821034980004052484070844035611678 1717051281337880570564345061611933042444079826037795119854869455915205196009304127100727784930155503 8895360338261929343797081874320949914159593396368110627557295278004254863060054523839151068998913578 8200194117865356821491185282078521301255185184937115034221595422445119002073935396274002081104655302 0793286725474054365271759589350071633607632161472581540764205302004534018357233829266191530835409512 0226329165054426123619197051613839357326693760156914429944943744856809775696303129588719161129294681 8849363386473927476012269641588489009657170861605981472044674286642087653347998582220906198021732116 1423041947775499073873856794118982466091309169177227420723336763503267834058630193019324299639720444 5179288122854478211953530898910125342975524727635730226281382091807439748671453590778633530160821559 9113141442050914472935350222308171936635093468658586563148555758624478186201087118897606529698992693 2817870557643514338206014107732926106343152533718224338526352021773544071528189813769875515757454693 9727150488469793619500477720970561793913828989845327426227288647108883270173723258818244658436249580 5925603381052156062061557132991560848920643403033952622634514542836786982880742514225674518061841495 6468611163540497189768215422772247947403357152743681940989205011365340012384671429655186734415374161 5042563256713430247655125219218035780169240326699541746087592409207004669340396510178134857835694440 7604702325407555577647284507518268904182939661133101601311190773986324627782190236506603740416067249 6249013743321724645409741299557052914243820807609836482346597388669134991978401310801558134397919485 2830436739012482082444814128095443773898320059864909159505322857914576884962578665885999179867520554 5580990045564611787552493701245532171701942828846174027366499784755082942280202329012216301023097721 5156944642790980219082668986883426307160920791408519769523555348865774342527753119724743087304361951 1396119080030255878387644206085044730631299277888942729189727169890575925244679660189707482960949190 6487646937027507738664323919190422542902353189233772931667360869962280325571853089192844038050710300 6477684786324319100022392978525537237556621364474009676053943983823576460699246526008909062410590421 5453927904411529580345334500256244101006359530039598864466169595626351878060688513723462707997327233 1346939714562855426154676506324656766202792452085813477176085216913409465203076733918411475041401689 2412131982688156866456148538028753933116023229255561894104299533564009578649534093511526645402441877 5949316930560448686420862757201172319526405023099774567647838488973464317215980626787671838005247696 8840849891850861490034324034767426862459523958903585821350064509981782446360873177543788596776729195 2611121385919472545140030118050343787527766440276261894101757687268042817662386068047788524288743025 9145247073950546525135339459598789619778911041890292943818567205070964606263541732944649576612651953 4957018600154126239622864138977967333290705673769621564981845068422636903678495559700260798679962610 1903933126376855696876702929537116252800554310078640872893922571451248113577862766490242516199027747 1090335933309304948380597856628844787441469841499067123764789582263294904679812089984857163571087831 1918486302545016209298058292083348136384054217200561219893536693713367333924644161252231969434712064 1737549121635700857369439730597970971972666664226743111776217640306868131035189911227133972403688700 0996862922546465006385288620393800504778276912835603372548255793912985251506829969107754257647488325 3414121328006267170940090982235296579579978030182824284902214707481111240186076134151503875698309186 5278065889668236252393784527263453042041880250844236319038331838455052236799235775292910692504326144 6950109861088899914658551881873582528164302520939285258077969737620845637482114433988162710031703151 3344023095263519295886806908213558536801610002137408511544849126858412686958991741491338205784928006 9825519574020181810564129725083607035685105533178784082900004155251186577945396331753853209214972052 6607831260281961164858098684587525129997404092797683176639914655386108937587952214971731728131517932 9044311218158710235187407572221001237687219447472093493123241070650806185623725267325407333248757544 8296757345001932190219911996079798937338367324257610393898534927877747398050808001554476406105352220 2325409443567718794565430406735896491017610775948364540823486130254718476485189575836674399791508512 8580206078205544629917232020282229148869593997299742974711553718589242384938558585954074381048826246 4878805330427146301194158989632879267832732245610385219701113046658710050008328517731177648973523092 6661234588873102883515626446023671996644554727608310118788389151149340939344750073025855814756190881 3987523578123313422798665035227253671712307568610450045489703600795698276263923441071465848957802414 0815840522953693749971066559489445924628661996355635065262340533943914211127181069105229002465742360 4130093691889255865784668461215679554256605416005071276641766056874274200329577160643448606201239821 6982717231978268166282499387149954491373020518436690767235774000539326626227603236597517189259018011 0429038427418550789488743883270306328327996300720069801224436511639408692222074532024462412115580435 4542064215121585056896157356414313068883443185280853975927734433655384188340303517822946253702015782 1573732655231857635540989540332363823192198921711774494694036782961859208034038675758341115188241774 3914507736638407188048935825686854201164503135763335550944031923672034865101056104987272647213198654 3435450409131859513145181276437310438972507004981987052176272494065214619959232142314439776546708351 7147493679861865527917158240806510637995001842959387991583501715807598837849622573985121298103263793 7621832245659423668537679911314010804313973233544909082491049914332584329882103398469814171575601082 9706583065211347076803680695322971990599904451209087275776225351040902392888779424630483280319132710 4954785991801969678353214644411892606315266181674431935508170818754770508026540252941092182648582138 5752668815558411319856002213515888721036569608751506318753300294211868222189377554602722729129050429 2259787710667873840000616772154638441292371193521828499824350920891801685572798156421858191197490985 7305703326676464607287574305653726027689823732597450844796495456480307715981539558277791393736017174 2299602735310276871944944491793978514463159731443535185049141394155732938204854212350817391254974981 9308714396615132942045919380106231421774199184060180347949887691051557905554806953878540066453375981 8628464199052204528033062636956264909108276271159038569950512465299960628554438383303276385998007929 2284665950355121124528408751622906026201185777531374794936205549640107300134885315073548735390560290 8933526400713274732621960311773433943673385759124508149335736911664541281788171454023054750667136518 2582848980995121391939956332413365567770980030819102720409971486874181346670060940510214626902804491 5964654533010775469541308871416531254481306119240782118869005602778182423502269618934435254763357353 6485619363254417756613981703930632872166905722259745209192917262199844409646158269456380239502837121 6864465617852355651641277128269186886155727162014749340522769465957121983149433816221140069363074304 4417328478610177774383797703723179525543410722344551255558999864618387676490397246116795901810003509 8928641204195163551108763204267612979826529425882951141275841262732790798807559751851576841264742209 4797218433093529726652100156625145529947451276315509176367302594621329301904028379542463232585503010 9670692272022707486341900543830265068121414213505715417505750863990767394633514620908288893493837643 9399256900604067311422093312195936202982972351163259386772241477911629572780752395056251581603133359 3823115005186268905306583681299881086632632719806112715488587980934879129137074982305759290918629391 9501472119758606727009254771802575033773079939713453953264619526999659638565491759045833358579910201 2713204583903200853878881633637685182083727885131175227769609787962142372162545214591281831798216044 1113116714069148271709810154577819392023115638719508050246797257924976057726259133285597263712112019 0572077140914864507409492671803581515757151405039761096384675556929897038354731410022380258346876735 0129775413279532060971154506484212185936490997917766874774481882870632315515865032898164228288232746 8661065927321979071623846421534898524762167890502609980452664839295423572873439776804957740914495383 9157556548545905897649519851380100795801078375994577529919670054760225255203445398871253878017196071 8164078124847847257912407824544361682345239570689514272269750431873633263011103053423335821609333191 2188066082683414289104151732472160533558499932245487307788229052523242348615315209769384610425828497 1496347534183756200301491570327968530186863157248840152663983568956363465743532178349319982554211730 8467745297085839507616458229630324424328237737450517028560698067889521768198156710781633405266759539 4249262807569683261074953233905362230908070814559198373553777487420290390181429373115293346444681512 1294509759653430628421531944572711861490001765055817709530246887526325011970520947615941676872778447 2000192789137251841622857783792284439084301181121496366424659033634194540657183544771912446621259392 6566203068885200555991212353637182269225317814587925937504414489339816086579008761650246351970458288 9548179375668104647461410514249887025213993687050937230544773411264135489280684105910771667782123833 2810262185587751312721179344448201440425745083063944738363793906283008973306241380614589414227694747 9316657176231824721683506780764875734204915576282175839729751344789906965895325489403356156131674032 7647246921250575911625152965456854463349811431767025729566184477548746937846423373723898192066204851 1894378868224807279352022501796545343757274163910791972952950812942922205347717304184477915673991738 4183117103625243957161527146690058147000026330104526435478659032907332054683388720787354447626479252 9769017091200787418373673508771337697768349634425241994995138831507487753743384945825976556099655595 4318040920178497184685497370696212088524377013853757681416632722412634423982152941645378000492507262 7651507890850712659970367087266927643083772296859851691223050374627443108529343052730788652839773352 4601746352770320593817912539691562106363762588293757137384075440646896478310070458061344673127159119 4608435935825987782835266531151065041623295329047772174083559349723758552138048305090009646676088301 5406128243087406455944318534137552201663058121110334531207450868243394321590435944303124312274713858 4203039010607094031523555617276799416002039397509989762933532585557562480899669182986422267750236019 3257974726742578211119734709402357457222271212526852384295874273501563660093188045493338989741571490 5441825597380808715652814301026704602843168192303925352977957658624143927015497408792731310516361191 3757700892956482332364829826302460797587576774537716010249080462430185652416175665560016085912153455 6267602192689982855377872583145144082654583484409478463178777374794653580169960779405568701192328608 0411309046293508718271259346687127666948738998245985277864995691654640294589350649643358098247659651 6514209098675520380830920323048734270346828875160407154665383461961122301375945157925269674364253192 7390036038608236450762698827497618723575476762889950752114804852527950845033958570838130476937881321 1236742813194879502280663201700224603319896719706491637411758548518784840120548446725888514015627250 1982171906696081262778548596481836962141072171421498636191877475450965030895709947093433785698167446 5828267911940611956037845397855839240761276344105766751024307559814552786167815949657062559755074306 5210853015979080733437360794328667578905334836695554868039134337201564988342208933999716414797469386 9690548008919306713805717150585730714881564992071408675825960287605645978242377024246980532805663278 7041926768467116266879463486950464507420219373945259262668613552940624781361206202636498199999498405 1438682852589563422643287076632993048917234007254717641886853513723326678779217383475414800228033929 9735793615241275582956927683723123479898944627433045456679006203242051639628258844308543830720149567 2106460533238537203143242112607424485845094580494081820927639140008540422023556260218564348994145439 9504109805918179488826280520664410863190016885681551692294862030107388971810077092905904807490924271 4101893354281842999598816966099383696164438152887721408526808875748829325873580990567075581701794916 1906114001908553744882726200936685604475596557476485674008177381703307380305476973609786543859382187 2205839023444435088674998665060406458743460053318274362961778625180818931443632512051070946908135864 4051922951293245007883339878842933934243512634336520438581291283434529730865290978330067126179813031 6794385535726296998740359570458452230856390098913179475948752126397078375944861139451960286751210561 6389760088800927461158608002078033415914517970730368351969777660763737853330120241201120469886092093 3908536577322239241244905153278095095586645947763448226998607481329730263097502881210351772312446509 5349653693090018637764094094349837313251321862080214809922685502948454661814715557444709669530177690 4342720318927706047177845279391604722815343798035396798614243709566832214914654380145938292773933960 3275404800955223181666738035718393275707714204672383862461780397629237713120958078936384144792980258 8065522129262093623930637313496640186619510811583471173312025805866727639992763579078063818813069156 3662741254312595899361196476261014055635033995231403231138196562363271989618372548453337020625634642 2395276694356837676136871196292181875457608161705303159072882870071231366630872275491866139577373054 6065997437810987649802414011242142773668082751390959313404155826266789510846776118665957660165998178 0894149857549762843878561002637965431783136340251358141611519020964991335487331311150227006819301359 2959597164019719605362503355847998096348871803911161281359596856547886832585643789617315976200241962 1552896297904819822199462269487137462444729093456470028537694958859591606789282491054412515996300781 3683674902093749157328962700286568293444313423473512392982591667395034259958689706972673325827359031 2128874666045146148785034614282776599160809039865257571726308183349444182019353338507129234577437557 9344062178711330063106003324053991693682603746176638565758877580201229366353270267100681261825172914 6082025418928859352444910701382062115538277935652969145765020486432828655579347072096348073726921411 8689546732276775133569019015372366903686538916129168888787640752549349424973342718117889275993159671 9354758988097924525262363659036320070854440784544797348291802082044926670634420437555325050527522833 7788870408040335319234076856301093477721256390886404131010738178533383160381352808281190408325644018 4205374679299262203769871801806112262449090924264198582086175117711378905160914038157500336642415609 5216328197122335023167422600567941281406217219641842705784328959802882335059828208196666249035857789 9403331522748177769528436816300885317696947836905806710648280835980466988410981351586549069333195223 9436328792399053481098783027450017206543369906611778455436468772363184446476806914282800455107468664 5392805399409108754939166095731619715033166968309929466349142798780842257220697148875580637480308862 9951184731871247772919100702275888934869394562895158029653721504096031077612898312635899648934102470 3603664505868728758905140684123812424738638542790828273382797332688550493587430316027474906312957234 9742611221517417153133618622410913869500688835898962349276317316478340077460886655598733382113829928 7769114954921841920877716060684728746736818861675072210172611038306717878566948129487850489430630861 6994879870316051588410828235127415353851336589533294862949449506186851477910580469603906937266267038 6512905201137810858616188886947957607413585534585151768051973334433495230120395770739623771316030242 8872005373209982530089776189731298178819446717311606472314762484575519287327828251271824468078242152 1646956781929409823892628494376024885227900362021938669648221562809360537317804086372726842669642192 9946819214908701707533361094791381804063287387593848269535583077395761447997270003472880182785281389 5032179863452161110666088393140532269449054555278678944175792024400214507801920998044613825478058580 4844241640477503153605490659143007815837243012313751156228401583864427089071828481675752712384678245 9534334449622010096071051370608461801187543120725491334994247617115633321408934609156561550600317384 2187015702261031019166038870646614388977363187809407115275281746895764015810470169652475577408916445 6867771715850058326994340167720215676772406812836656526412298243946513319735919970940327593850266955 7470231813203243716420586141033606524536939160050644953060161267822648942437397166717661231048975031 8857321655549883421218028469125290861014855278152776256237504563757694977343368460156077270355096290 4939248708840628106794362241870474700836884267102255830240359984164595112248527263363264511401739524 8086194635840783753556885622317115520947223065437092606797351000565549381224575483728545711797393615 7561676416928958052572975223385586113883221711073622658162188424431788574887981090266537934266642169 9091405653643224930133486798815488662866505234699723557473842483059042367714327879231642240387776433 0192600192284778313837632536121025336935812624086866699738275977365682227907215832478888642369346396 1643633087301398142114303060087306661648036789840913359262934023043249749268878316436026810113095707 1614191283068657732353263965367739031766136131596555358499939860056515592193675997771793301974468814 8371103206503693192894521402650915465184309936553493337183425298433679915939417466223900389527673813 3306177476295749438687169784537672194935065908757119177208754771071899379608947745126547575018711948 7073873678589020061737332107569330221632062843206567119209695058576117396163232621770894542621460985 8410237813215817727602222738133495410481003073275107799948991977963883530734443457532975914263768405 4422647842160631227696469671564739990437159033239065607266441164386054048388471619121090087010191307 2607104411414324197679682854788552477947648180295973604943970047959604029274629920357209976195014034 8315380947714601056333446998820822120587281510729182971211917876424880354672316916541852256729234429 1871281632325969654135485895771332083399112887759172261152733790103413620856145779923987783250835507 3019981845902595835598926055329967377049172245493532968330000223018151722657578752405883224908582128 0089747909326100762578770428656006996176212176845478996440705066241710213327486796237430229155358200 7801411653480656474882306150033920689837947662550365498228053296628621179306284301704924023019857199 7894883689718304380518217441914766042975243725168343541121703863137941142209529588579806015293875275 3799030938871683572095760715221900279379292786303637268765822681241993384808166021603722154710143007 3775377926990695871212892880190520316012858618254944133538207848834653116326504076424283908701210151 9423196165226842200371123046430067344206474771802135307012409886035339915266792387110170622186588357 3781210935179775604425634694999787251125440854522274810914874307259869602040275941178942581281882159 9523596589791811440776533543217575952555361581280011638467203193465072968079907939637149617743121194 0202129757312516525376801735910155733815377200195244454362007184847566341540744232862106099761324348 7548847434539665981338717466093020535070271952983943271425371155766600025784423031073429551533945060 4862227649666876240793243531929926392537310768921353525723210808898193391686682789482811704726245019 4840970097576092098372409007471797334078814182519584259809624174761013825264395513525931188504563626 4188300338539652435997416931322894719878308427600401368074703904097238473945834896186539790594118599 3103561684368692194853820557803957738813606795499000851232594425297244866667668346414021899159445653 0942344065066785194841776677947047204195882204329538032631053749488312218039127967844610013972675389 2195119117836587662528083690053249004597410947068772912328214304635337283519953648274325833119144459 0178096077828835837301118575436599589827245319253105881150263075425714939430244539318701799236081666 1130542625399583389794297160207033876781503301028012009599725222228080142357109476035192554443492998 6767817891045559063015953809761875920358937341978962358931125983902598310267193304189215109689156225 0696591198283234555030590817307351955037216658702880539921385760370353771051780212801295668419841403 6287272562321442875430221090947272107347413497551419073704331827662617727599688882602722524713368335 3452816692779591328861381766349857728936900965749562287103024362590772412219094300871755692625758065 7099120166596224360802428700245473620363948412559548817272724736534677836472019183039987176270375157 2464992228946793232269361917764161461879561395669956778306829031658969943076733350823499079062410020 2506134057344300695745474682175690441651540636584680463692621274211075399042188716127617787014258864 8257752238891845995233762923779155857445494773612955259522265786364621183775984737003479714082069941 4558071908021359073226923310083175951065901912129479540860364075735875020589020870457967000705526250 5811420663907459215273309406823649441590891009220296680523325266198911311842016291631076894084723564 3668081821686572196882683584027855007828040434537101836510969517823357430305048526537380735310741859 1770561039739506264035544227515610110726177937063472380499066692216197119425912044508464174638358993 8239946517395509000859479990136026674261494290066467115067175422177038774507673563742154782905911012 6191575558702389570014051178226469899449179083017954758767601680941001358376135785913569244556477644 6417866711539195135769610486492249008344671548638305447791433009768048687834818467273375843689272431 0447406807685278625585165092088263813233623148733336714764520450876627614950389949504809560460989604 3291233583488599902945264002849942808786240398118148847673012167541611066299955536681931232874257020 6373835202008686369131173346973174121915363324674532563087134730279217495622701468732586789173455837 9964351358800959350877556356248810493852999007675135513527792412429277488565888566513247302514710210 5753525165118148509027504768455182520963318990685276144351382136621523688905787866994322888160283774 8203550601602989400911971385017987168363374413927597364401700701476370665570350433812111357641501845 1821413619823495159601064752712575935185304332875537783057509567425442684712219618709178560783936144 5113833356491032564057338986671781239722375193164306170138595394743678433926709867124522111896908402 3632741149660124348309892994173803058841716661307304006758838043211155537944060549772170594282151488 6165672771240903387727745629097110134885184374118695655449745736845218066982911045058004299887953899 0278043835962824094218605562877884288021275538848037286400194416142574999042720095952046541705981049 8996750451193647117277222043610261407975080968697517660023718774834801612031023468056711264476612374 7627852190241202569943534716226660893675219833111813511146503854895025120655772636145473604426859498 0743969323312971273771573470997139522911826534851555871373366291202427143025037632695013509116129529 9378586468130722648600827088133353819370368259886789332123832705329762585738279009782646054559855513 1836688844628265133798491667839409761353766251798258249663458771950124384040359140849209733754642474 4881761840700235695801774101776969250778148933866725578985645898510568919609243988415692806969833522 4022563457049731224526935419383700484318335719651662672157552419340193309901831930919658292096965624 7667683659647019595754739345514337413708761517323677204227385674279170698204549953095918872434939524 0944416789988463198455048523936629720797774528143994182567894577957125524268260899408633173715388962 6288962940211210888442737656862452761213037101730078513571540453304150795944777614359743780374243664 6973247138410492124314138903579092416036406314038149831481905251720937103964026808994832572297954564 0427017577229041732347960736187878899133183058430693948259613187138164234672187308451338772190869751 0494284376932502498165667381626061594176825250999374167288395174406693254965340310145222531618900923 5376486378482881344209870048096227171226407489571939002918573307460104360729190945767994614929290427 9816877294264877299528584346477753869069501489841339245403941446802636254021186143170312511175776428 2991464453340892097696169909837265236176874560589470496817013697490952307208268288789073019001825342 5805343421705928713931737993142410852647390948284596418093614138475831136130576108462366837237695913 4926158245162215521348792441450417568480641206365201703863301295327776990231186480200675569056822950 1635493199230591424639621702532974757311409422018019936803502649563695586642590676268568737211033915 6793839895765565193177883000241613539562437777840801748819373095020699900890899328088397430367736595 5248913001566332940779071396154645340887915103006513219344866732482759079468078798194250195826223203 9513125201410996053126069655540424867054998678692302174698900954785072567297879476988883109348746442 6400718183160331655511534276155622405474473378049246214952133258527698847336269182649174338987824789 2784689188280546699823036899397834137475870258057163494135684339293960681920617733317917382085624364 3363535986349449689078106401967407443658366707158692452118299789380407713750129085864657890577142683 3582768978554717687184427726120509266486102051535642840632368481807287940717127966820060727559555904 0402331787494473464547606281895415121391629184442976510669479693540168660100551960776873353965116149 3093757096855455938151378956903925101495326562814701199832699220006639287537471313523642158926512620 4072887716578358405219646054105435443642166562244565042999010256586927279142752931172082793937751326 1060528812353734510683729398935808712438693859343891757133763007203197608166044646839377258069092372 9752348670291691042636926209019960520412102407764819031601408586355842760953708655816427399534934654 6314504040199528537252004957805254656251154109252437991326262713609099402902262062836752132305065183 9340574501120993414649184333236465693717259144893241590062420206128857329261335968087265000456282845 5757459659212053034131011182750130696150983551563200431078460190656549380654252522916199181995960275 2327702249855738824899882707465936355768582560518068964285376850772012220347920993936179268206590142 1656159253067379445689490708532635681968318617722682499114726157320358076462981162440133167378927886 8922903259334986179702199498192573961767307583441709855922217017182571277753449150820527843090461946 0835217402005838672849709411023266953921445461066215006410674740207009189911951376466904481267253691 5371622907913854039375600778351533741677479421003840023089518509945487790393461222208650601605003517 7626483161115332558770507354127924990985937347378708119425305512143697974991495186053592040383023571 6352727630874693219622190064260886183676103346002255477477813641012691906569686495012688376296907233 9612762872230411418136100602640440300359969889199458273976241146137448040596970625767647237660655416 1857469052722923822827518679915698339074767114610302277660602006124687647772881909679161335401988140 2757992174167678799231603963569492851513633647219540611171767387372555728522940054361785176502307544 6938693078734991103521825329297260445532107978877114498988709115112372506042387537348412570860640690 5205845212275453384800820530245045651766951857691320004281675805492481178051983264603244579282973012 9105318385636821206215531288668564956512613892261367064093953334570526986959692350353094224543865278 6776730275404027022463844835532399147513634410440500923303612714960813554905315390210022995957565837 0538126196568314428605795669662215472169562087001372776853696084070483332513279311223250714863020695 1245395003735723346807094656483089209801534878705633491092366057554050864111521441481434630437273271 0450277686619531078583233348578402971609252153260925589326556006721243594642550659967717703884453961 8163287961446081778927217183690888012677820743010642252463480745430047649288555340906218515365435547 4125476152769772667769772777058315801412185688011705028365275543214803488004442979998062157904564161 9572127845089284898064264974270905791290692178072987694779751124473059914060506299468942809310342164 1662993561482813099887074529271604843363081840412646963792584309418544221635908457614607855856247381 4931427078266215185541603870206876980461747400808324343665382354555109449498431093494759944672673665 3525176627067721941831919771963780157021699336750837600571634546436717767233875886434056448715669643 2104128259564534984138841289042068204700761559691684303899934836679354254921032811336318472259230555 4383058206941675629992013373175489122037230349072681068534454035993561823576312837767640631013125335 2121419946118693508331765878520471123643312267651299641713252175135532618676819423387903654689080018 2713528358488844411176123410117991870923650718485785622102110400977699445312179502247957806950653296 5940383987369907240797679040826794007618729547835963492793904576973661643405359792219285870574957481 6966940623342726197335181366260637359825755524965098072601236682836059283418558480269584137725589708 8378994291054980033111388460340193916612218669605849157148573356828614950001909759112521880039641976 2163559375743718011480559442298730418196808085647265713547612831629200449880315402105530597076666362 7493283089168809323592900817874119857383171926167288349184024297212904349655269427264025596414635259 1434840067586769035038232057293413298159353304444649682944136732344215838076169483121933311981906109 6142952201536170298575105594326461468505452684975764807808009221335811378197749271768545075538328768 8744745915937311624706010912446098294248412875202244625944776387494919978404468292573609685345498432 6653686284448936570411181779380644161653122360021491876876946739840751717630751684985635920148689294 3105940202457969622924566644881967576294349535326382171613395757790766370764569570259738800438415805 8943361371065518599876007549241872117148892952217377211460811543449826654798725800566747240511220073 8345927157572771521858994694811794064446639943237004429114074721818022482583773601734668530074498556 4715420036123593397312914458591522887408719508708632218837288262822884631843717261903305777147651564 1438223067918473860391476831081413582757558536435977216500282778037134228696887873497950960311088991 9614338666406845069742078770028050936720338723262963785603865321643234881555755701846908907464787912 2436375556668678067610544955017260791142930831285761254481944449473244819093795369008206384631678225 0648095318104065702543276043857035059228189198780658654121842992172737209551032422510797180778330426 0908679427342895573555925272380551144043800123904168771644518022649168164192740110645162243110170005 6691121733189423400547959684669804298017362570406733282129962153684881404102194463424646220745575643 9604529853130714090846084996537678037932018991408658146621753193376659701143306086250098295669176388 4605676297293146491149370462446935198403953444913514119366793330193661766365255514917498230798707228 0860859626112660504289296966535652516688885572112276802772743708917389639772257564890533401038855931 1256799915165890250164869614272070059160561661597024519890518329692789355503039346812197615821839804 8396056252309146263844738629603984892438618729850777592879272206855480721049781765328621018747676689 7248841139560349480376727036316921007350834073865261684507482496448597428134936480372426116704266870 8319250409976153190768557703274217850100064419841242073964001396036015838105659284136845741191027364 2027416372348821452410134771652960312840865841978795111651152982781462037913985500639996032659124852 5308493690313130100799977191362230866011099929142871249388541612038020411340188887219693477904497527 4542880728035093058287544207551348166609278793535665212556201399882496284787262144323628536765025914 5046837763528258765213915648097214192967554938437558260025316853635673137926247587804944594418342917 2756988376226261846365452743497662411138451305481449836311789784489732076719508784158618879692955819 7332506999514026015116755297505754378102422389579257865621284327312022007167305740692868693639301867 6595825132649914595026091706934751940897535746401683081179884645247361895605647942635807056256328118 9269663026479535951097127659136233180866921535788607812759910537171402204506186075374866306350591483 9164676567232057145168861707909846959322367249467375830996070425892204815507991327520885837811176852 1426933478692189524062265792104362034885292626798401395321645879115157905046057971083898337186403802 4417511347226472547010794793996953554669619726763255229914654933499663234185951450360980344092212206 7125676987234279407088570704742931733291885238967219713539244924261786411886377909628144869178694681 7759171715066911148002075943201206196963779510322708902956608556222545260261046073613136886900928172 1068198618553780982018471154163630326265699283424155023600978046417108525537612728905335045506135684 1437758544296779770146602943876872251153638011917581540281208182556064854107879335989210644272448986 1896162941341800129513068363860929410008313667337215300835269623573717533073865333820484219030818644 9184093723944033405244909554558016406460761581010301767488475017661908692946098769201691202181688291 0408707095609514704169211470274133900522533408348128703530310239196999785974139085936054335996970756 0446013424245368249609877258131102473279856207212657249900346829388687230489556225320446360263985422 5258416464324271611419817802482595563544907219226583863662663750835944314877635156145710745528016159 6770484427141944351832756984075526779264112617652506159652354571879566731709133193587616282559207830 8018520689015150471334038610031005591481785211038475454293338918844412051794396997019411269511952656 4919594189975418393234647424290702718875223534393673633663200307232747037407123982562024662651974090 1997624520561985576257600087081730832883443818310700545144935458854226785785519153722923795554943334 1017442016960009069641561273229777022121795186837635908225512881647002199234886404395915301846400471 4321186360622527011541122283802778538911098490201342741014121559769965438877197485376431158229838533 1230717511329619045590079380642766958190148426279912217929479873489018684716765038273285520590829845 2980625925035212845192592798659350613296194679625237397256558415785374456755899803240549218696288849 0332560851455344391660226257775512916200772796852629387937530454181080729285891989715381797343496187 2329276147478501926114504132748732429705834084711123337462746172746265824153242710593225062553023147 3875925172478732288149145591560503633457542423377916037495250249302235148196138116256391141561032684 4958072508273431765944054098269765269344579863479709743124498271933113863873159636361218623497261409 5560799206283169994200720548115253533939460768500199098865538614334957816500899616490796781429011483 8764568217491407562376761845377514403147541120676016072646055685925779932207033733339891636950434669 0694828436629980037414527627716547623825546170883189810868806847853705536480469350958818025360529740 7935386765111950793732820831462689600710751755206144337841145499501364324463281933463890509365457145 0690086448344018042836339051357815727397333453728426337217406577577107983051755572103679597690188995 8494130195999573017901240193908681356585539661941371794487632079868800371607303220547423572266896801 8821234243918859841689722776521940324932273147936692340048489760590379580946960417542796137825537812 2394764614783292697654516229028170110043784603875654415173943396004891531881757665050095169740241564 4771293656614253949368884230517400129920556854289853897942669956777027089146513736892206104415481662 1568042198384767308717875902792091759006952734566820265133731115180001814341209626016586298210766635 2336177400783778342370915264406305407180784335806107296110555002041513169637304684921335683726540030 7509829089364612047891114753037049893952833457824082817386441322710002968311940203323456420826473276 2338302946393789983758365545599193408662350909679611340048670271231765266637107787251118603540375544 8741869351973365662177235922939677646325156202348757011379571209623772343137021203100496515211197601 3176419408203437348512852602913334915125083119802850177855710725373149139215709105130965059885999931 5608636554774035518981667335358800482146650997414337611827777233519107412175728415925808725913150746 0602563490377726337391446137703802131834744730111303267029691733504770163210661622783002726928336558 4011791419447808748253360714403296252285775009808599609040936312635621328162071453406104224112083010 0085872642521122624801426475194261843258533867538740547434910727100497542811594660171361225904401589 9160022982780179603519408004651353475269877760952783998436808690898919783969353217998013913544255271 7910225397010810632143048511378291498511381969143043497500189980681644412123273328307192824362406733 1965546926778511931527751134464689055042481133614349846048490512583456832664415284897139723760403282 1266025351669391408204994732048602162775979177123475109750240307893575993771509502175169355582707253 3911892334070223832077585802137174778378778391015234132098489423459613692340497998279304144463162707 2147961174569757196812392919137409829258055619552074342432959828989805292333664154192563673806894942 0147124134052507220406179435525255522500874879008656831454283516775054229480327478304405643858159195 2666758282929705226127628711040134801787224801789684052407924360582742467443076721645270313451354167 6496689012747868010102951338626986497482121186290403376915685762406992963724930972016287072001898354 2369036414927023696193854737248032985504511208919287982987446786412915941753167560253343531062674525 4507114181483239880607297140234725520713490798398982355268723950909365667878992383712578976248755990 4432288953883773173489411227570714109597900479193010467407504114353817824646307959895556389918847737 8134134707024674736211204898622699188851745625173251934135203811586335012391305444191007362844756751 4161050410973505852762044489190978901984315485280533985777844313933883994310444465669244550885946314 0817512203313906815965925105468580131338381521764182104334297888261196304431113887962587460902261309 0084997543039577124323061690626291940392143974027089477766370248815549932245882597902063125743691094 6393252806241642476868495455324938017639371615636847859823715902385421265840615367228607131702674740 1311452610637653833903159219434698176053583803106128878520515469336392410884676320095670897183674905 7816308515813816196688222204757043759061433804072585386208356517699842677452319582418268369827016023 7414938363496629351576854061397342746470899685618170160551104880971554859118617189668025973541705423 9851355600187203350790609464212711439931960465274240508822253597734815191354385712532585404939460108 6579379805862014336607882521971780902581737087091646045272797715350991034073642502038638671822052287 9694458387652947951048660717390229327455426785669776865939923416834122274663015062155320502655341460 9952493560508549217565491348309589065361756938176374736441833789742297007035452066631709296075919896 2773242309025239744386101426309868773391388251868431650102796491149773758288891345034114886594867021 5492101084328080783428089417298008983297536940644969903125399863919581601468995220880662285408414864 2747862819755466292788146216071713818801808405720847158689068369193933818642784545379567192723979723 6465166759201105799566396259853551276355876814021340982901629687342985079247184605687482833138125916 1962476156902875901072733103299140623864608333378638257926302391590003557609032477281338887339178096 9666014696150317542267511259933155296742133363002229649064809345820081810618021002276645804002782133 3675857301901137175467276305904435313131903609248909724642792845554991349000518029570708291905255678 1889913899625138662319380053611346224294610248954072404857123256628888931722116432947816190554868054 9434410340906807160880282279596869501336438142682521704728708630101373011552368614169083756757476372 3976318575703810944339056456446852418302814810799837691851212720193504404180460472162693944578837709 0105974693219720558114078775989772072009689382249303236830515862657281114637996983137517937623215111 2523497343052406221052442343537329056551634066695061658928782187077567941760807129737813351871179316 5003315552382248773065344417945341539520242444970341012087407218810938826816751204229940494817944947 2732894770111574139441228455521828424922240658752689172272780607116754046973008037039618787796694882 5556146743843925701158295466613586786718976612973112672000729715536130275035561678177654422874421147 2988161480270524380681765357327557860250584708401320883793281600876908130049249147368251703538221961 9039014999523495387105997351143478292339499187936608692301375596368532373806703591144243268561512109 4042595826393016780171286692392832310576588517140202111969570647998140315056330451415644146231637638 0990440281625691757648914256971416359843931743327023781233693804301289262637538266779503416933432360 7500248175741808750388475094939454896209740485442635637164995949920980884294790363666297526003243856 3529458447289445471662092974954966168774141208821304770228161164560440072363515811497297392189667373 8264720472264222124201656015028497130633279581430251601369482556701478093579088965713492615816134690 1806965089556310121218491805847922720691871696316330044858020102860657858591269974637661741463934159 5695395542033146280265189511679380745733157598460861737026878676029436777805002446733913324316698803 5407323238828184750105164133118953703648842269027047805274249060349208295475505400345716018407257453 6938145531175354210726557835615499874447480427323457880061873149341566046352979779455075359304795687 2093167245365472083816858556060438019770307642460834898761013457093948770029461757920619525492557571 0903852517148852526567104534981341980339064152987634369542025608027761442191431892139390883454313176 9685101840103844472348948869520981943531906506555354617335814045544837884752526253949665869992058417 6527801253410338964698186424300341467913806190280596078548880107897055169462152287730901044674624979 7999262712095168477956848258334140226647721084336243759374161053673404195473896419789542533503630186 1400951534766961476255651873823292468547356935802896011536791787303553159378363082248615177770541577 5765617593585120166929431111388635821596676188303261041646517148469793854226216871614001223782137797 7413126897726671299202592201740877007695628347393220108815935628628192856357189338495885060385315817 9760679479840878360975960149733420572704603521790605647603285569276273495182203236144112584182426247 7120120357763888959743182328278713146080535335744942976217967890345681698895535185044783256163807094 7695169908624710001974880920500952194363237871976487033922381154036347548862684595615975519376541011 5014067001226927474393888589943859730245414801061235908036274585288493563251585384383242493252666087 5889083187007091002373771065769850564339288543376583425967506537150053335144899082938877373520514593 3304962653141514138612443793588507094468804548697535817021290849078734780681436632332281941582734567 1356443171537967818058195852464840084032909981943781718177302317003989733050495387356116261023999433 2597801268934326055847102787649010709234438846340117355568659035852449193701810416262085042992586974 3581709813389404593447193749387762423240985283276226660494238512970945324558625210360082928664972417 4919141988966129558076770979594795306013119159011773943104209049079424448868513086844493705909026006 1206494257447103535476578592427081304106185462198818300906345881870387558562749115873754210646679513 4648758677154383801852134828191581246259933516019893559516796893285220582479942103451271587716334522 2995418839680448835529753361286837225935390079201666941339091168758803988828869216002373257361588207 1635162713328105181876021048521806755266486739089009071951380586267351243122156916379022773287054108 4203784152568328871804698795251307326634027851905941733892035854039567703561132935448258562828761061 0698229721420961993509331312171187891078766872044548876089410174798647137882462153955933333275562009 4395804345379197822805903959599274369137937786649409640487778417483364326840262829324062600819080818 0439091455635193685606304508914228964521998779884934747772913279726602765840166789013649050874114212 6861969862044126965282981087045479861559545338021201155646979976785738920186243599326777689454060508 2188382279098336271671244900267611784982643770330020818445900097172352043319947082420987715144497510 1705564302954282181967000920251561584417420593365814813490269311151709387226002645863056132560579256 0927332265579346280805683443921373688405650434307396574061017779370141424615493070741360805442100295 6000956635889778992676305177187819437067614982175641865901161608654086353915130392013168057690341725 9645369235080641744656235152392905040947995318407486215121056183385456617665260639371365880252166622 3576132201941701372664966073252010771947931265282763302413805164907174565964853748354669194523580315 3019691604809946068149040378198297323609300871357607986214254220964190043679054790499300783724215819 5453541837112936865843055384271762803527912882112930835157565659994474178843838156514843422985870424 5592434693295232821803508333726283791830216591836181554217157448465778420134329982594566884558266171 9790121808494803324487872581837748055222681510113717453684178702802744524429054745182346749195641885 5124442133778352142386597992598820328708510933838682990657199461490629025742768603885051103263854454 0419184958866538545040571323629681069146814847869659166861842756798460041868762298055562963045953227 9230516167215919686758495236352989357885077460815373214546429847923105116763577494946229525694976603 5947396243099534331040499420967788382700271447849406903707324910644415169605325656058677875741747211 0827435774315194060757983563629143326397812218946287447798119807225646714664054850131009656786314880 0903037493388753641831651349825466946733161181233648543976493250261795493572043054021829748712511074 0401161140589991109306249231281311634054926257135672181862893278613883371802853505650359195274140086 9510926167541476792668032109237467087213606278332922386413619594121339278036118276324106004740971111 0481400036233427145144833346416754663546997314947566434236594934968458845515241507563766050866328274 2479413606287604129064491382851945640264315322585862404314183866959063324506300039221319264762596269 1510904457695301444054618037857503036686212462278639752746667870121003392984873375014475600322100622 3580293437749550320370127384681630610265703008722754629667968808905871276763610662257223522297392064 4309352432722810085997309513252863060110549791564479184500461804676240892892568091293059296064235702 1061524646205023248966593987324933967376952023991760898474571843531936646529125848064480196520162838 7951894993367592414856261369959453072872545324632915291101287637706055706095313775277518679232921349 5524513308986796916512907384130216757323863757582008036357572800275449032795307990079944254110872569 3188014667935595834676432868876966610097395749967836593397846346959948950610490383647409504695226063 8580467580730699122904740898791668721171475276447116044019527181695082897335371485309289370463844208 9329977112585684084660833993404568902678751600877546126798801546585652206121095349079670736553970257 6199431376639960606061106406959330828171876426043573425361756943784848495250108266488395159700490598 3808121052211110919433239511360514464598342107990580820937164645231277040231600721385437234612672609 9787038565709199850759563461324846018840985019428768790226873455650051912154654406382925385127631766 3922050938345204300773017029940362615434001322763910912988327863920412300445551684054889809080779174 6360924393349126411642400938807463566072623366958427645836982687348158819610585718357674620096505260 6592926354829149904576830721089324585707370166071739819448502884260396366074603118478622583105658087 0870305567595861341700745402965687634774176431051751036732869245558582082372038601781739405175130437 9948688223200443780431031709210342616749980000730160948145863744887785222730763304953839443453827706 0876076354209844500830624763025357278103278346176697054428715531534001649707665719598504174819908720 1490875686037783591994719343352772947285537925787684832301101859365800717291186967617655053775030293 0338307064489128114120255061508964110076238245744886551825810581403453201247547232690875475070785776 5973254284445935304499207001453874894822655644222369636554419422544133821222547749753549462482768053 3336983284156138692363443358553868471111430498248398991803165458638289353799130535222833430137953372 9540162576232280811384994918761441413229337671065634925288145282395062090223578766846501166600973827 5366040544694165342223905210831458584703552935221992827276057482126606529138553034554974455147034493 9486863429459658431024190785923680224560763936784166270518555178702904073557304620639692453307795782 2459497104201880430001838814290081730394505073427870131244668600927785818110409115117293748736278878 7490746528556543474888683106411005102302087510776891878152562273525155037953244485778727761700196485 3703555167655209119339343762866284619844026295252183678522367475108809781507098978413086245881522660 9635514018744958369269177990471207264949057372642860052114035812310760066995185361248627467563758962 2529911649606687650826173417848478933729505673900787861792535144062104536625064046372881569823231750 0596261080921955211150859302955654967538862612972339914628358476048627627027309739202001432248707582 3373549152460856082103288829741839064788699232736913600488374366152235170584377055452108155133612621 4291181561530175888257359489250710887926212864139244330938379733386780613179523731526677382085802470 1433527009243803266951742119507670884326346442749127558907746863582162166042741315170212458586056233 6314931646469139465624974717419583542186077487110573384584336899396459137406033821593522435947516262 3918868530782282176398323730618020424656047752794310479618972429953302979249748168405289379104494700 4590864991872727345413508101983881864673609392571930511968645601855782450218231065889437986522432050 6773799661969554724405859224179530068204517953700434724517628935667705084902131077366257516973355274 6230294303120359626095342357439724965921101065781782610874531887480318743082357369919515634095716270 0992444929749105489851519658664740148225106335367949737142510229341882585117371994499115097583746130 1055050641977215319293548753711916302620303285886585284801935092258757755974252765840117213423236480 8402714335636754204637518255252494432965704386138786590196573880286840189408767281671413703366173265 0120578653915780703088714261519075001492576112927675193096728453971160213606303090542243966320674323 5827978893323244057791992784846333397777376559018705748068286783479656241461028995084873996929707504 3275302997287229732793444298864641272534816060377970729829917302929630869580199631241330493935049332 5412355071054461182591141116454534710329881047844067780138077131465400099386306481266614330858206811 3958383191695455582594268957698414288937434670841079463189325391069639557807060212459748982935646135 6078898347241997947856436204209461341238761319886535235831299686226894860840845665560687695450127448 6631405054735351746873009806322780468912246821460806727627708402402266155485024008952891657117617439 0203375848778429112896232470591918746910420058483261406773337510271956539946971625172483122306339193 2870798380074848572651612343493327335666447335855643023528088392434827876088616494328939916639921048 8307847777048045728491456303353265070029588906265915498509407972767567129795010098229476228961891591 4415200322838787734851309790810191292672271037788980539641563623641691549857684083984688616843754070 6512103906250612810766379904790887967477806973847317047525344215639038720123880632368803701794930895 4900776331523063548374256816653361606641980030188287123767481898330246836371488309259283375902278942 5880600872860388591688497306939480205112217663591382515242786700944069423551202015683777788518246700 2565170850924962374772681369428435006293881442998790530105621737545918267997321773502936892806521002 5396268807498092643458011655715886700443503976505323478287327368840863540002740676783821963522226539 2909398073673913640828987220177767471681181958561337215831190546829360832369761134502817578302029348 4598292500089568263027126329586629214765314223335179309338795135709534637718368409244442209631933129 5620305575517340067973740614162107923633423805646850092037167152642556371853889571416419772387422610 5966673969971731681694154350952831935564177056686222152179911513556397071433128936575538446483262012 0642433801695586269856102246064606933079384785881436740700059976970364901927332882613532936311240365 0698652160638987250267238087403396744397830258296894256896741864336134979475245526291426522842419243 0833881035800537870239995421721136865502753413622116931406946695131869281025747959856051450050217159 1331775160995786555198188619321128211070944228724044248115340605589595835581523201218460582056359269 9303478851132068626627588771446035996656108430725696500563064489187599466596772847171539573612108180 8415472731426617489331341746326623542220726001460127012069346395205644455432916629866607830890681187 9009081529506362678207561438881578135113469536630387841209234694286873083932043233387277549680521030 2821544324723388845215343727250128589747691460808314404125868181540049187772287869801853454537006526 6556491709154295227567092222174741120627206566229898060328916720687436549482461086973672255474048128 8924247185432360575341167285075755205713115669795458488739874222813588798584078313506054829055148278 5294891121905383195624228719484759407859398047901094194070671764439032730712135887385049993638838205 5016834027774960702768448802819122206368886368110435695293006521955282615269912716372773884189932871 3056346468822739828876319864570983630891778648708667618548568004767255267541474285102814580740315299 2197814557756843681110185317498167016426647884090262682824448258027532094549915104518517716546311804 9045679857132575281179136562781581112888165622858760308759749638494352756766121689592614850307853620 4527450775295063101248034180458405943292607985443562009370809182152392037179067812199228049606973823 8743312626730306795943960954957189577217915597300588693646845576676092450906088202212235719254536715 1918348725874239194108904441159599327600445065562064611646556654875942473692523369559930303550958176 2617623184956190649483967300203776387436934399982943020914707361894793269276244518656023955905370512 8978163455423320114975994896278424327483788032701418676952621180975006405149755889650293004867605208 0104915378854139094245316917199876289412772211294645682948602814931815602496778879498137772162293594 3781100444806079767242927624951078415344642915084276452000204276947069804177583220909702029165734725 1582904630910359037842977572651720877244740952267166306005469716387943171196873484688738186656751279 2985750163634113146275304990191356468238043299706957701507893377286580357127909137674208056554936246 4

각주

↑ 등속원운동 공식을 끼는 물리 문제에서는 파이의 제곱이 튀어나오는 경우가 매우 많다. 단진동 공식 그 자체가 등속원운동 공식에서 유도됨을 생각하면...
↑ 중학교에 가서야 x가 아닌 문자에 대해 배우고 또, 무리수라는 항목을 배우지 않아서 그렇다.
↑ 또한, 컴퓨터로는 무리수를 표현할 수 없기 때문에 컴퓨터로 파이를 표현할 때에는 근삿값을 사용하기 때문이다.
↑ 계산기의 한계로, 원주율을 3.1415926535897932384626433832795라고 가정했을때.
↑ 이 수식들의 특징은, 특정 진법으로 원주율을 계산할 때, 어떤 자리수의 값을 알고 싶을 때 그 이전 자리수를 계산할 필요가 없다는 것이다. 불행히도 10진법에 관해서는 알려진게 없다.

[1] 등속원운동 공식을 끼는 물리 문제에서는 파이의 제곱이 튀어나오는 경우가 매우 많다. 단진동 공식 그 자체가 등속원운동 공식에서 유도됨을 생각하면...

[2] 중학교에 가서야 x가 아닌 문자에 대해 배우고 또, 무리수라는 항목을 배우지 않아서 그렇다.

[3] 또한, 컴퓨터로는 무리수를 표현할 수 없기 때문에 컴퓨터로 파이를 표현할 때에는 근삿값을 사용하기 때문이다.

[4] 계산기의 한계로, 원주율을 3.1415926535897932384626433832795라고 가정했을때.

[5] 이 수식들의 특징은, 특정 진법으로 원주율을 계산할 때, 어떤 자리수의 값을 알고 싶을 때 그 이전 자리수를 계산할 필요가 없다는 것이다. 불행히도 10진법에 관해서는 알려진게 없다.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

@@ 5번째 줄: / 5번째 줄: @@
 ==개요==
-원의 지름에 대한 원의 둘레의 비. 그리스 문자 <math>\pi</math>로 표기한다. 대표적인 [[무리수]]이자 [[초월수]]이다. 과거에는 밀률(비밀스러운운 비율)이라고 불렸다. 그 밖에 역사적으로 유명한 근삿값으로는 3, 22/7, 355/113, 루트10 등이 있다. <s>[[성서무오설|성경에선 3이라고 한다]]</s> 손으로 계산해야 할 상황에서는 상황에 따라 pi에 22/7 또는 루트10<ref>등속원운동 공식을 끼는 물리 문제에서는 파이의 제곱이 튀어나오는 경우가 매우 많다. 단진동 공식 그 자체가 등속원운동 공식에서 유도됨을 생각하면...</ref>을 대입하면 계산이 매우 쉬워질 수 있다.
+원의 지름에 대한 원의 둘레의 비. 그리스 문자 <math>\pi</math>로 표기한다. 대표적인 [[무리수]]이자 [[초월수]]이다. 과거에는 밀률(비밀스러운 비율)이라고 불렸다. 그 밖에 역사적으로 유명한 근삿값으로는 3, 22/7, 355/113, 루트10 등이 있다. <s>[[성서무오설|성경에선 3이라고 한다]]</s> 손으로 계산해야 할 상황에서는 상황에 따라 pi에 22/7 또는 루트10<ref>등속원운동 공식을 끼는 물리 문제에서는 파이의 제곱이 튀어나오는 경우가 매우 많다. 단진동 공식 그 자체가 등속원운동 공식에서 유도됨을 생각하면...</ref>을 대입하면 계산이 매우 쉬워질 수 있다.
 [[대한민국]]의 [[학교]] 교육과정에서는 초등학교 5~6학년때 근삿값 3.14를 사용하며, 중학교에서부터는 <math>\pi</math>를 쓴다.

원주율: 두 판 사이의 차이

2015년 7월 12일 (일) 08:32 판

목차

개요

성질들

관련 작품

값

각주