로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!== 무한 연분수 == 위 성질 가운데 제일 눈여겨 봐야할 것은 제일 마지막 성질이다. 제일 마지막 따름정리에서, <math>c_0< c_2< c_4<\ldots</math>이고 <math>c_1> c_3> c_5>\ldots</math>임을 알 수 있다. 그리고 두 번째 따름정리에서 [[수열]] <math>\left\{c_{2k}\right\}</math>의 한 상계는 <math>c_1</math>이고, <math>\left\{c_{2k-1}\right\}</math>의 한 하계는 <math>c_0</math>임을 알 수 있다. 따라서, [[단조 수렴 정리]]에 의해 <math>\left\{c_{2k}\right\}</math>와 <math>\left\{c_{2k-1}\right\}</math>는 수렴한다. 한편, 두 번째 따름정리에서 <math>\lim_{k\to\infty}c_k-c_{k-1}=0</math>이므로, <math>\lim_{k\to\infty}c_{2k}=\lim_{k\to\infty}c_{2k-1}</math>이다. 따라서, <math>\lim_{k\to\infty}c_k=\alpha</math>는 존재한다. 그리고 이 <math>\alpha</math>를 무한 연분수 <math>\left[a_0;\,a_1,\,a_2,\,\ldots\right]</math>의 값이라 부른다. 단, 모든 <math>a_i</math>는 양수이다. 유한 연분수와 [[유리수]]는 서로 필요충분 조건임을 위 1번 성질에서 보였으므로, 모든 무한 연분수는 필연적으로 [[무리수]]가 된다. 여기서 당연히 떠오르는 질문은, "'''주어진 무리수를 무한 연분수로 어떻게 나타내는가?'''"이다. 방법은 다음과 같다. :<math>a_0=\left[\alpha\right]</math> (대괄호는 최대 정수 함수). <math>\alpha_1=\frac{1}{\alpha-a_0},\,a_1=\left[\alpha_1\right]</math>로 정의한다. 그리고, <math>\alpha_n=\frac{1}{\alpha_{n-1}-a_{n-1}},\,a_n=\left[\alpha_n\right]</math>으로 귀납적으로 정의하면, <math>\alpha=\left[a_0;\,a_1,\,a_2,\,\ldots\right]</math>이다. 뭔가 복잡해 보이지만, 실은 [[유리수]]를 연분수로 나타내는 과정과 완벽히 동일하다. 다만 그 과정이 무한할 뿐. 아래 예시도 같이 확인하자. :<math>\alpha=\sqrt2</math>라 하자. 그럼, <math>a_0=\left[\alpha\right]=1</math>이고, <math>\alpha_1=\frac{1}{\sqrt2-1}=\sqrt2+1</math>이다. 따라서, <math>a_1=\left[\sqrt2+1\right]=2</math>이고, <math>\alpha_2=\frac{1}{\sqrt2+1-2}=\frac{1}{\sqrt2-1}=\alpha_1</math>이다. 따라서, <math>n\geq1</math>에 대해 <math>a_n=2</math>이다. <math>\therefore\sqrt2=\left[1;\,2,\,2,\,\ldots\right]</math> 참고로, [[황금비]]는 <math>\left[1;\,1,\,1,\,1,\,\ldots\right]</math>이다. 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț