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[[바나흐 고정점 정리]], [[최대·최소 정리]], [[뉴턴의 방법]] 등을 이용할 수 있다고 하는데 하나같이 만만한 게 없다. 아래에 소개할 증명도 보조정리가 덕지덕지 붙는 등 간단하지 않으니 무리하지 말고 찬찬히 읽어보거나 패스하도록 하자. ==== 보조정리 1 ==== {{인용문|<math>\|\cdot\|_V,\|\cdot\|_M</math>를 각각 : <math>\|\mathbf{x}\|_V=\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}</math> : <math>\|A\|_M=\sqrt{\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}^2}</math> 로 정의된 [[노름]] 및 [[행렬 노름]]이라고 하자. 그러면 실수 성분을 가지는 n차 정사각행렬 <math>A</math>와 <math>x\in \mathbb{R}^n</math>에 대해 : <math>\|A\mathbf{x}\|_V\le \|A\|_M\|x\|_V</math> 이다.}} : <math>A=\begin{bmatrix} a_{ij} \end{bmatrix}, \mathbf{x}=\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix}</math> 로 두면 : <math>A\mathbf{x}=\begin{bmatrix} \sum_{j=1}^n a_{ij}x_j \end{bmatrix}</math> 이고 따라서 : <math>\|A\mathbf{x}\|_V=\sqrt{\sum_{i=1}^n \left(\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j\right)^2}</math> 이다. [[코시-슈바르츠 부등식]]에 의해 : <math>\begin{align} (a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n)^2&\le (a_{11}^2+a_{12}^2+\cdots+a_{1n}^2)(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)\<math>a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n)^2&\le (a_{21}^2+a_{22}^2+\cdots+a_{2n}^2)(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)\\ &\vdots\\ (a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n)^2&\le (a_{n1}^2+a_{n2}^2+\cdots+a_{nn}^2)(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2) \end{align}</math> 이므로 양변끼리 모두 더해주면 : <math>\|A\mathbf{x}\|_V^2=\|A\|_M^2\|\mathbf{x}\|_V^2</math> 이므로 원하는 결론을 얻는다. ==== 보조정리 2 ==== {{인용문|<math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math>를 열린 집합, <math>f:A\to \mathbb{R}^n</math>을 한 번 미분가능하고 도함수가 연속인 함수라고 하자. 만약 <math>Df(\mathbf{a})</math>가 가역이면 어떤 [[공 (수학)|공]] <math>B(\mathbf{a},\epsilon)</math>에서 임의의 <math>\mathbf{x}_0,\mathbf{x}_1\in B(\mathbf{a},\epsilon)</math>에 대해 부등식 : <math>\|f(\mathbf{x}_1)-f(\mathbf{x}_0)\| \ge \alpha\|\mathbf{x}_1-\mathbf{x_0}\|</math> 을 만족하는 <math>\alpha>0</math>가 존재한다. 더욱이 <math>f</math>는 <math>B(\mathbf{a},\epsilon)</math>에서 일대일 함수이다.}} <math>Df(\mathbf{a})</math>가 가역이므로 <math>[Df(\mathbf{a})]^{-1}</math>이 존재한다. 임의의 <math>\mathbf{x}_0,\mathbf{x}_1</math>에 대해 [[#보조정리 1|보조정리 1]]에 의해 : <math>\|\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_0\| = \|[Df(\mathbf{a})]^{-1}(Df(\mathbf{a})\mathbf{x}_1-Df(\mathbf{a})\mathbf{x}_0)\|\le \|[Df(\mathbf{a})]^{-1}\|\|Df(\mathbf{a})\mathbf{x}_1-Df(\mathbf{a})\mathbf{x}_0\|</math> 이다. 이때 : <math>\alpha=\frac{1}{2\|[Df(\mathbf{a})]^{-1}\|}</math> 로 두자. 이제 함수 <math>g</math>를 : <math>g(\mathbf{x})=f(\mathbf{x})-Df(\mathbf{a})\mathbf{x}</math> 로 정의하자. 그러면 : <math>Dg(\mathbf{x})=Df(\mathbf{x})-Df(\mathbf{a})</math> 이므로 : <math>Dg(\mathbf{a})=0</math> 이다. <math>Dg</math>가 연속이므로 어떤 공 <math>B(\mathbf{a},\epsilon)</math>에서 : <math>\|Dg(\mathbf{x})\| < \frac{\alpha}{\sqrt{n}}</math> 인 <math>\epsilon>0</math>이 존재한다. <math>g=(g_1,g_2,\cdots,g_n)</math>라 하면 [[평균값의 정리]]에 의해 : <math>g_i(\mathbf{x}_1)-g_i(\mathbf{x}_0)=Dg_i(\mathbf{c})(\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_0)</math> 인 <math>\mathbf{c}\in B(\mathbf{a},\epsilon)</math>가 존재한다. 따라서 [[#보조정리 1|보조정리 1]]에 의해 : <math>|g_i(\mathbf{x}_1)-g_i(\mathbf{x}_0)| \le \frac{\alpha}{\sqrt{n}} \|\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_0\|</math> 이고 : <math>\|g(\mathbf{x}_1)-g(\mathbf{x}_0)\|=\sqrt{\sum_{i=1}^n |g_i(\mathbf{x}_1)-g_i(\mathbf{x}_0)|^2}\le \sqrt{\sum_{i=1}^n \frac{\alpha^2}{n} \|\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_0\|^2} \le \alpha\|\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_0\|</math> 이다. 따라서 : <math>\begin{align} \alpha\|\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_0\| &\ge \|g(\mathbf{x}_1)-g(\mathbf{x}_0)\|\\ &=\|f(\mathbf{x}_1)-Df(\mathbf{a})\mathbf{x}_1-f(\mathbf{x}_0)+Df(\mathbf{a})\mathbf{x}_0\|\\ &\ge \|Df(\mathbf{a})\mathbf{x}_1-Df(\mathbf{a})\mathbf{x}_0\|-\|f(\mathbf{x}_1)-f(\mathbf{x}_0)\|\\ &\ge 2\alpha\|\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_0\|-\|f(\mathbf{x}_1)-f(\mathbf{x}_0)\| \end{align}</math> 이므로 원하는 결론을 얻는다. ==== 보조정리 3 ==== {{인용문|함수 <math>f:A\to\mathbb{R}</math>이 미분가능하고 <math>f</math>가 <math>\mathbf{x}_0\in A</math>에서 극소점을 가지면 : <math>Df(\mathbf{x}_0)=\mathbf{0}</math> 이다.}} <math>f</math>가 <math>\mathbf{x}_0</math>에서 극솟값을 가지면 <math>\mathbf{x}_0</math>의 근방에 속한 임의의 <math>\mathbf{x}</math>에 대해 : <math>f(\mathbf{x})\ge f(\mathbf{x}_0)</math> 이다. 그러면 영이 아닌 <math>\mathbf{u}</math>가 주어졌을 때, 충분히 작은 <math>t\in \mathbb{R}</math>에 대해 : <math>f(\mathbf{x}_0+t\mathbf{u})-f(\mathbf{x}_0)\ge 0</math> 이다. 이때 <math>\mathbf{x}_0</math>에서 <math>\mathbf{u}</math>에 대한 <math>f</math>의 [[방향도함수]] <math>f(\mathbf{x}_0;\mathbf{u})</math>는 : <math>f(\mathbf{x}_0;\mathbf{u})=\lim_{t\to 0}\frac{f(\mathbf{x}_0+t\mathbf{u})-f(\mathbf{x}_0)}{t}</math> 인데, : <math>\lim_{t\to +0}\frac{f(\mathbf{x}_0+t\mathbf{u})-f(\mathbf{x}_0)}{t}\ge 0</math> : <math>\lim_{t\to -0}\frac{f(\mathbf{x}_0+t\mathbf{u})-f(\mathbf{x}_0)}{t}\le 0</math> 이고 <math>f(\mathbf{x}_0;\mathbf{u})</math>가 존재하므로 : <math>f(\mathbf{x}_0;\mathbf{u})=0</math> 이다. <math>\mathbf{u}</math>가 임의의 값을 가지므로 : <math>D_jf(\mathbf{x}_0)=\mathbf{0}</math> 이고 따라서 원하는 결론을 얻는다. ==== 진술 1 ==== 이제 드디어 본 증명으로 넘어갈 차례가 되었다. 보조정리를 보는 동안 원래 진술이 뭐였는지 까먹었다면 [[#진술|진술]] 문단으로 가서 다시 보고 오자. [[#보조정리 1|보조정리 1]]에서 <math>f</math>가 일대일 함수가 되도록 하는 <math>\mathbf{a}</math>의 근방<math>U_0</math>이 존재한다. 한편 <math>\det Df(\mathbf{x}</math>이 연속함수이므로 <math>Df(\mathbf{x})\ne 0</math>인 <math>\mathbf{a}</math>의 근방 <math>U_1</math>이 존재한다.<!-- 불완전한 서술 --> <!-- ==== 진술 2 ==== ==== 진술 3 ==== 추가예정 --> 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț