로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요! == 개요 == [[파일:Saccheri quads.svg|thumb|right]] 사케리 사각형이란, 특정한 조건을 만족시키는 [[사각형]]을 말한다. 이 사각형은 본디 고대 [[페르시아]]의 수학자인 오마 하이얌(Omar Khayyam)에 의해 고안되었으나, 약 600년이 지나 [[이탈리아]]의 수학자인 지오반니 사케리(Giovanni Girolamo Saccheri)가 여러 가지 성질들을 정립시키면서 사케리 사각형이란 이름이 붙었다. 사케리 사각형은 [[절대 기하학]]에서 다뤄지며, [[유클리드 기하학]]에서는 사케리 사각형=[[직사각형]]이기 때문에 별로 특별하지는 않다. 사케리 사각형의 정의는 다음과 같다. :밑변 <math>\overline{AB}</math>을 기준으로, <math>\overline{AB}\perp\overline{BC}</math>이고 <math>\overline{AB}\perp\overline{AD}</math>이며, <math>AD=BC</math>인 [[사각형]]을 '''사케리 사각형'''이라 부른다. :여기서 길이가 같은 두 변을 제외한 다른 한 변을 기준으로 했을 때 (예를 들면, <math>\overline{AB}</math>), 그 변과 떨어져 있는 각을 '''천정각'''이라 부른다 (즉, <math>\angle{ADC},\,\angle{BCD}</math>). 앞서 설명했듯이, 조건에 맞춰 그림을 그리면 [[직사각형]]을 그리게 될 것이다. 하지만 사케리 사각형은 일반적인 절대 기하학 내에서 존재할 수 있기 때문에, 그림을 조금 왜곡하여 오른쪽 그림같이 보통 그린다. 저런게 왜 사각형이냐고 의문이 든다면, 움푹 파인 평면에서의 사각형이나, 볼록한 지구본 위에서의 사각형을 생각해보자. == 성질 == 편의상 기준 변을 <math>\overline{AB}</math>로 고정하자. 주의할 점은, [[유클리드 기하학]]의 성질이 아닌 [[절대 기하학]]의 성질을 사용하여 증명해야 한다는 것이다. {{^|정리 1}} 임의의 사케리 사각형에서, #두 대각선의 길이는 같다. #두 천정각의 크기는 같다. #<math>\overline{AB}</math>의 중점과 <math>\overline{CD}</math>의 중점을 이은 선은 <math>\overline{AB},\,\overline{CD}</math>와 직교한다. {{^|증명 1}} #<math>AD=BC,\,\angle{DAB}=\angle{CBA}=90,\,\overline{AB}</math>는 공통이므로, <math>\triangle{ABD}\cong\triangle{BAC}</math>(SAS). 따라서, <math>AC=BD</math> #<math>AD=BC,\,AC=BD,\,\overline{CD}</math>는 공통이므로, <math>\triangle{ACD}\cong\triangle{BDC}</math>(SSS). 따라서, <math>\angle{ADC}=\angle{BCD}</math> #<math>\overline{AB},\,\overline{CD}</math>의 중점을 각각 <math>E,\,F</math>라 하자. 그럼, 앞서 증명한 성질에 의해 <math>\triangle{AFD}\cong\triangle{BFC}</math>(SAS)이다. 따라서, <math>AF=FB</math>. 이는 곧 <math>\triangle{AEF}\cong\triangle{BEF}</math>(SSS) 임을 의미하고, 따라서 <math>\angle{AEF}=\angle{BEF}</math>이다. 그런데 [[평각 정리]]에 의해 <math>\angle{AEF}+\angle{BEF}=180</math>이므로, <math>\overline{EF}\perp\overline{AB}</math>이다. 비슷한 방법으로 <math>\overline{EF}\perp\overline{CD}</math>를 보일 수 있다. {{^|정리 2}} <math>\overline{AB}\perp\overline{AD}</math>이고 <math>\overline{AB}\perp\overline{BC}</math>라 가정하자. 만약 <math>AD< BC</math>이면, <math>\angle{ADC}>\angle{BCD}</math>이다. 역도 성립한다. {{^|증명 2}} 먼저 <math>AD< BC</math>라 가정하자. 그럼 거리 공준에 의해 <math>\overline{BC}</math> 위에 <math>AD=BE</math>인 점 <math>E</math>를 잡을 수 있다. 그럼, 정리 1에 의해 <math>\angle{ADE}=\angle{BED}</math>이다. 그런데, <math>\triangle{ACE}</math>에서 외각 정리에 의해, <math>\angle{BED}>\angle{BCD}</math>이다. 따라서, <math>\angle{BCD}<\angle{ADC}</math>. 역으로, <math>\angle{ADC}>\angle{BCD}</math>라 가정하자. 만약 <math>AD=BC</math>이면, 정리 1에 의해 <math>\angle{ADC}=\angle{BCD}</math>이고, 이는 모순이다. 만약 <math>AD> BC</math>이면, 앞서 증명한 정리 2의 충분조건에 의해 <math>\angle{ADC}<\angle{BCD}</math>이고, 이 역시 모순이다. 따라서 <math>AD< BC</math>이다. {{^|정리 3}} <math>\square{ABCD}</math>를 사케리 사각형이라 가정하고, <math>P</math>를 <math>\overline{CD}</math>위의 임의의 점이라 하자. <math>\overline{PQ}\perp\overline{AB}</math>가 되게 <math>\overline{AB}</math>위에 점 <math>Q</math>를 잡자. 만약 <math>PQ< BC</math>이면 천정각은 예각이고, <math>PQ=BC</math>이면 천정각은 직각, <math>PQ> BC</math>이면 천정각은 둔각이다. {{^|증명 3}} 편의상 천정각을 <math>\alpha</math>라 하자. 먼저 <math>PQ< BC</math>라 가정하자. 그럼, 정리 2에 의해 <math>\angle{QPC}>\angle{BCP}=\alpha</math>이고, 마찬가지로 정리 2와 정리 1에 의해 <math>\angle{QPD}>\angle{ADP}=\alpha</math>이다. 한편, [[평각 정리]]에 의해, <math>\angle{QPD}+\angle{QPC}=180</math>이다. 위 [[부등식]]과 조합하면, <math>\alpha<90</math>이다. 나머지 경우도 같은 방법으로 증명이 가능하다. {{^|정리 4}} <math>\square{ABCD}</math>를 사케리 사각형이라 가정하고, <math>\overleftrightarrow{CD}</math>위에 <math>\overleftrightarrow{BC}</math>를 기준으로 <math>D</math>와 반대가 되게 점 <math>P</math>를 잡자. 또한, <math>\overline{PQ}\perp\overleftrightarrow{AB}</math>가 되게 <math>\overleftrightarrow{AB}</math> 위에 점 <math>Q</math>를 잡자. 만약 <math>PQ> BC</math>이면, 천정각은 예각이고, <math>PQ=BC</math>이면 직각, <math>PQ< BC</math>이면 둔각이다. {{^|증명 4}} 증명 3과 동일하나, <math>\angle{BCD}</math>와 <math>\angle{BCP}</math>가 선형 쌍을 이루는 것을 이용한다. 증명은 생략. {{^|정리 5}} 임의의 [[절대 기하학]] [[모델 (기하학)|모델]]에서, 한 사케리 사각형이 예각/직각/둔각의 천정각을 가지고 있다면, 모든 사케리 사각형이 예각/직각/둔각의 천정각을 가지고 있다. {{^|증명 5}} <math>\square{ABCD}</math>를 한 사케리 사각형이라 하고, <math>\overline{EF}</math>를 정리 1과같이 기준 변과 천정 변을 이은 중선이라고 가정하자. 마찬가지로, <math>\square{A'B'C'D'}</math>를 <math>\overline{E'F'}</math>를 중선으로 갖는 다른 사케리 사각형이라 가정하자. 먼저, <math>EF=E'F'</math>인 경우를 살펴보자. 그럼, 두 사케리 사각형을 중선과 밑변이 겹치게 겹쳐 놓자. 정리 3과 정리 4에 의해 명제가 성립함을 쉽게 알 수 있다. 이제, <math>EF\neq E'F'</math>인 경우를 살펴보자. 앞보다 조금 더 복잡하다. 일단, <math>\overleftrightarrow{EB}</math> 위에 <math>EG=E'F'</math>가 되도록 점 <math>G</math>를 잡는다. 그리고 <math>G</math>에서 <math>\overleftrightarrow{AB}</math>에 수선을 긋고, 그 수선이 <math>\overleftrightarrow{CD}</math>와 만나는 점을 <math>H</math>라 부르자. 이제, <math>\square{EGHF}</math>를 변 <math>\overline{EG}</math>에 대칭시켜 새로운 사케리 사각형을 얻는다. 이 새로운 사케리 사각형을 <math>\square{HFF'H'}</math>이라 하자. 한편, 정리 1에 의해, <math>\angle{EFH}=90</math>이고, [[작도]] 방법에 의해 <math>\angle{EF'H'}=90,\,FH=F'H'</math>이므로, <math>\square{HFF'H'}</math>는 <math>\angle{FHG}</math>를 천정각으로 갖는다. 한편, 이 천정각은 정리 3, 4에 의해 <math>\square{ABCD}</math>와 같은 분류(예각/직각/둔각)의 천정각을 가지고 있다. 이제, <math>\square{A'B'C'D'}</math>와 <math>\square{HFF'H'}</math>는 같은 길이의 중선을 가지고 있으므로, 앞서 증명한 방법과 같은 방법으로 명제가 성립함을 알 수 있다. {{^|정리 6}} 임의의 [[절대 기하학]]에서, <math>\triangle{ABC}</math>가 세 내각 <math>\alpha,\,\beta,\,\gamma</math>를 가지고 있다면, 천정각으로 <math>\delta=\tfrac{\alpha+\beta+\gamma}{2}</math>를 갖는 사케리 사각형이 존재한다. {{^|증명 6}} <math>D,\,E</math>를 각각 변 <math>\overline{AB},\,\overline{AC}</math>의 중점이라 하자. <math>\overleftrightarrow{ED}</math>를 그리고, 점 <math>A,\,B,\,C</math>에서 이 직선에 내린 수선의 발을 각각 <math>G,\,F,\,H</math>라 하자. 먼저, <math>AD=DB</math>(중점), <math>\angle{BFD}=\angle{AGD}=90</math>(수선), <math>\angle{BDF}=\angle{ADG}</math>([[맞꼭지각]])이므로, <math>\triangle{BFD}\cong\triangle{AGD}</math>(AAS)이다. 따라서, <math>BF=AG</math>. 비슷한 방법으로, <math>\triangle{AGE}\cong\triangle{CHE}</math>임을 보일 수 있고, 따라서 <math>AG=CH</math>이다. 즉, <math>BF=CH</math> 이는 곧 <math>\square{BFHC}</math>가 <math>\angle{FBC}=\angle{HCB}</math>를 천정각으로 갖는 사케리 사각형임을 의미한다. 한편, <math>\triangle{BFD}\cong\triangle{AGD}</math>이므로, <math>\angle{GAD}=\angle{FBD}</math>이고, 또 <math>\triangle{AGE}\cong\triangle{CHE}</math>이므로 <math>\angle{GAE}=\angle{HCE}</math>이다. 그리고 <math>\angle{BAC}=\angle{GAD}+\angle{GAE}</math>이므로, <math>\angle{FBC}+\angle{HCB}=\angle{FBD}+\angle{DBC}+\angle{ECB}+\angle{HCE}=\angle{BAC}+\angle{ABC}+\angle{ACB}=\alpha+\beta+\gamma</math>. 두 천정각의 크기가 같으므로, 증명하고자 하는 바가 증명되었다. {{^|정리 6의 따름 정리}} 임의의 [[절대 기하학]]에서, 한 삼각형의 내각의 합이 180보다 작으면, 모든 삼각형의 내각의 합이 180보다 작다. 내각의 합이 180이거나 180보다 클 때도 비슷한 명제가 성립한다. {{^|증명 6의 따름 정리}} 정리 5와 정리 6를 합치면 된다. {{^|사케리-르장드르 정리}} [[사케리-르장드르 정리|항목]] 참조. [[절대 기하학]]에서 매우 중요한 정리이다. [[분류:절대 기하학]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:Skin (원본 보기) (준보호됨)틀:^ (편집)