로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!어떤 [[수열]]의 '''부분수열'''(Subsequence)이란, 말 그대로 원 수열의 항의 일부분만을 딴 수열을 말한다. 유한 수열에서의 부분수열은 수학적인 큰 의미를 갖지 않기에 고려하지 않는다. 부분수열의 정확한 정의는 다음과 같다. :수열 <math>\left\{a_n\right\}_{n=1}^{\infty}</math>이 존재한다 가정하자. <math>n_1< n_2< n_3<\cdots</math>를 만족하는 [[자연수]] <math>n_k</math>에 대해, <math>\left\{a_{n_k}\right\}_{k=1}^{\infty}</math>를 <math>\left\{a_n\right\}</math>의 '''부분수열'''이라 정의한다. 위 정의에서 주의깊게 봐야하는 것은 바로 <math>n_1< n_2< n_3<\cdots</math>라는 점이다. 즉,부분수열은 원 수열의 ''지표의 크기''도 보존해야 한다. 예를 들어, <math>\left\{a_n\right\}=1,\,2,\,3,\,\cdots</math>라는 수열이 있다고 가정하자. 그럼, <math>\left\{a_{n_k}\right\}=1,\,3,\,6,\,8,\,\cdots</math>은 부분수열이지만, <math>\left\{a_{n_k}\right\}=1,\,3,\,2,\,6,\,7,\,\cdots</math>은 부분수열이 아니다. 원 수열에서 2의 지표는 1의 지표와 3의 지표 사이인데, 새롭게 만든 수열에서의 2의 지표는 1의 지표와 3의 지표의 사이가 아니기 때문. 또한, 부분수열 역시 무한 수열이라는 점에 주의하자. == 성질 == *모든 무한 수열은 단조 부분수열을 갖는다. **무한 수열 <math>\left\{a_n\right\}</math>이 있다 가정하자. 만약, <math>n\geq m</math>인 모든 [[자연수]] <math>n</math>에 대해 <math>a_n\leq a_m</math>이면, <math>m</math>을 peak index라 부르기로 하자. 그럼, peak index가 무한히 많은 경우와 유한한 경우, 두 가지 경우가 존재한다. **#peak index가 유한한 경우: 가장 큰 peak index를 <math>N</math>이라 하자. 먼저, <math>n_1=N+1</math>이라고 정의하자. 그리고 <math>n_2</math>를, <math>n_1</math>보다 크고 <math>a_{n_1}< a_{n_2}</math>를 만족하는 수로 정의한다. 이게 가능한 이유는, <math>n_1> N</math>이기 때문에 <math>n_1</math>는 peak index기 때문. 만약 <math>a_{n_1}< a_{n_2}</math>를 만족하는 <math>n_2</math>가 존재하지 않는다면 <math>n_1</math>은 peak index가 되어 <math>N</math>이 가장 큰 peak index라는 가정에 모순이다. 마찬가지 방법으로 <math>n_2< n_3</math>이고 <math>a_{n_2}< a_{n_3}</math>인 <math>n_3</math>을 찾을 수 있다. 이를 반복하면 부분수열 <math>\left\{a_{n_k}\right\}</math>를 얻고, 이 수열은 강증가 한다. **#peak index가 무한한 경우: 자연수 <math>k</math>에 대해, <math>n_k</math>를 <math>k</math>번째 peak index라 정의하자. 그럼, <math>\left\{a_{n_k}\right\}</math>는 <math>\left\{a_n\right\}</math>의 부분수열이고, 강감소한다. **아래 정리와는 달리, 수열이 굳이 [[유계]]일 필요가 없다는 점에 주의하자. *[[볼차노-바이어슈트라스 정리]]: [[유계]]인 모든 수열은 수렴하는 부분수열을 갖는다. **항목에서는 폐구간 수렴 정리를 이용하지만, 여기서는 다른 방법을 사용해 증명해보자. 먼저, 모든 수열은 단조 부분수열을 갖는다. 또한, 원 수열이 [[유계]]이므로, 부분수열도 유계이다. 단조이고 유계인 수열은 [[단조 수렴 정리]]에 의해 수렴한다. 즉, 저 부분수열은 수렴한다. * 유계인 수열의 수렴하는 부분수열의 극한값들의 집합을 <math>S</math>라 하면, 볼차노-바이어슈트라스 정리에 의해 <math>S</math>는 공집합이 아니며, <math>S</math>의 상한과 하한을 각각 수열의 상극한(limit superior), 하극한(limit inferior)이라고 한다. 자세한 내용은 [[상극한과 하극한]]을 참조하라. * 수렴하는 수열의 부분수열은 모두 같은 값으로 수렴한다. 즉, 어떤 수열의 부분수열이 수렴하지 않거나 두 수렴하는 부분수열의 극한값이 일치하지 않으면 수열이 발산함을 보일 수 있다. ** 얽힌수열정리(intertwining sequence theorem): 수열 <math>(a_n)</math>이 수렴할 필요충분조건은 두 부분수열 <math>\{a_{2n}\}</math>, <math>\{a_{2n+1}\}</math>이 같은 값으로 수렴하는 것이다.<ref>{{서적 인용|저자=김종진, 박성희|제목=해석학개론|연도=2015|출판사=북스힐|isbn=9788955268751}}</ref> 일반적으로, 수열 <math>\{p_n\},\{q_n\},\dots, \{s_n\}</math>이 쌍마다 서로소이고 <math>\mathbb{N}</math>을 분할하는 순증가수열이며, <math>S,S_p,S_q,\dots, S_s</math>를 <math>\{a_n\}</math>의 부분수열 <math>\{a_n\}, \{a_{p_n}\},\{a_{q_n}\},\dots,\{a_{s_n}\}</math>의 모든 극한점의 집합이라 하면 <math>S=S_p\cup S_q \cup \cdots \cup S_s</math>이다. 따라서 <math>\{a_{p_n}\},\{a_{q_n}\},\dots,\{a_{s_n}\}</math>이 같은 값으로 수렴하면 <math>(a_n)</math>은 수렴한다.<ref>{{서적 인용|저자=W. J. Kaczor, M. T. Nowak|제목=Problems in Mathematical Analysis I: Real numbers, sequences and series|연도=2000|출판사=American Mathematical Society|isbn=978-0-8218-2050-6}}</ref>{{rp|40-41, Problem 2.4.3}} {{주석}} [[분류:수열]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:ISBN (원본 보기) (준보호됨)틀:Rp (편집) 틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:서적 인용 (편집) 틀:주석 (편집) 틀:참고 쪽 (편집)