볼차노-바이어슈트라스 정리 편집하기

'''볼차노-바이어슈트라스 정리'''(Bolzano-Weierstrass Theorem)는 [[해석학]]을 배울 때 반드시 배우게 되는 매우 중요한 정리로, 실해석학에서 [[수열]]에 관련된 문제라면 매우 높은 확률로 사용하게 된다. 증명을 위해서는 먼저 폐구간 수렴 정리(Nested Interval Theorem)을 알아야 한다.

== 폐구간 수렴 정리 ==
한 폐구간이 있다고 생각하자. 그리고 그 폐구간 안에 다른 폐구간이 있고, 그 폐구간 안에 다른 폐구간이 있고, 그 폐구간 안에 또 다른 폐구간이 있고... {{ㅊ|[[인셉션]]}} 이런식으로 폐구간이 무한히 많이 존재한다고 가정하자. 만약 폐구간의 길이가 계속 줄어들어 구간 길이의 극한값이 0이라면 어떻게 될까? 직관적으로 생각하면 폐구간이 한 곳으로 수렴해서 한 점으로 모일 것이다. 이를 수학적으로 좀 더 엄밀하게 기술하면 다음과 같다.

폐구간 <math>I_n=\left[a_n,b_n\right]</math>에 대해서 <math>I_1\supseteq I_2\supseteq I_3\supseteq\cdots</math>이고, <math>\lim_{n\to\infty}\left(b_n-a_n\right)=0</math>이라 가정하자. 그럼 모든 폐구간 <math>I_n</math>에 포함되어있는 실수가 존재하며, 유일하다.

증명을 이해하려면 [[단조 수렴 정리]]와 [[유계]]에 대한 지식이 필요하며, 이를 알면 상당히 간단하다. 증명은 다음과 같다.
:<math>\left\{a_n\right\}</math>는 단조 증가하는 수열이고, 위로 유계이다 (<math>b_1</math>이 한 상한이다.). 따라서 단조 수렴 정리에 의해 <math>\lim_{n\to\infty}a_n=A</math>가 실수로서 존재하고, 각 자연수 <math>k</math>에 대해 <math>A=\sup_na_n\leq b_k</math>이다.<ref>만약 아니면 폐구간에 관한 가정에 모순</ref> 따라서 모든 자연수 <math>k</math>에 대해 <math>a_k\leq A\leq b_k</math>이다. 즉 <math>A</math>는 모든 폐구간 <math>I_k</math>에 속해있다. 이제 모든 자연수 <math>n</math>에 대해 <math>B\in I_n</math>이라 가정하자. 그럼 모든 자연수 <math>n</math>에 대해 <math>a_n\leq B\leq b_n</math>이고, <math>0\leq B-a_n\leq b_n-a_n</math>이다. 그런데 <math>\lim_{n\to\infty}\left(b_n-a_n\right)=0</math>이므로, 샌드위치 정리에 의해 <math>\lim_{n\to\infty}\left(B-a_n\right)=0</math>이다. 이는 곧, <math>B=\lim_{n\to\infty}a_n=A</math>를 의미하고, <math>A</math>가 모든 폐구간에 포함된 유일한 실수라는 것을 보인다.
중요한 점은 모든 구간이 '''폐구간'''이어야 한다는 사실이다. 반열린 구간이나 개구간에 대해서는 일반적으로 성립하지 않는다.

== 볼차노-바이어슈트라스 정리 ==
모든 [[수열]]이 수렴하는 것은 아니다. 하지만, [[유계]]인 무한 수열은 반드시 수렴하는 [[부분수열]]을 가짐이 알려져 있다. 이를 볼차노-바이어슈트라스 정리라 한다. 증명은 다음과 같다.
:<math>\left\{a_n\right\}</math>이 유계이므로, 양수 <math>M</math>이 존재해 <math>\left|a_n\right|\leq M,\,\forall n\in\mathbb{N}</math>이다. 따라서 모든 자연수 <math>n</math>에 대해 <math>a_n\in\left[-M,M\right]</math>이다. 두 폐구간 <math>\left[-M,0\right],\,\left[0,M\right]</math>에 대해, 적어도 한 구간은 무수히 많은 <math>a_n</math>을 포함해야 한다.<ref>만약 그렇지 않으면 <math>\left\{a_n\right\}</math>는 유한 수열이다.</ref>. 그 구간을 <math>I_0</math>이라 하자. 마찬가지로 <math>I_0</math>을 동일한 길이의 두 폐구간으로 나눈다. 그럼 적어도 한 구간은 무한한 <math>a_n</math>을 포함한다. 이를 <math>I_1</math>이라 하자. 이를 계속 반복하여 <math>I_0,I_1,I_2,\cdots</math>를 얻는다. 그럼 <math>I_0\supset I_1\supset I_2\supset\cdots</math>이고, <math>I_n</math>의 길이는 <math>\frac{M}{2^n}</math>이다. <math>\lim_{n\to\infty}\frac{M}{2^n}=0</math>이므로, 폐구간 수렴정리에 의해 모든 구간에 속하는 유일한 한 점 <math>A</math>가 존재한다. 이제 <math>a_{n_1}\in I_1</math>을 고르고, <math>a_{n_2}\in I_2,\,n_2> n_1</math>을 고르고, <math>a_{n_3}\in I_3,\,n_3> n_2</math>을 고르고, 이를 계속 반복한다.<ref>이게 가능한 이유는 <math>\left\{a_n\right\}</math>이 무한 수열이기 때문이다.</ref> 그럼 <math>\left\{a_{n_k}\right\}</math>는 <math>\left\{a_n\right\}</math>의 부분수열이고, <math>a_{n_k}</math>와 <math>A</math>는 <math>I_k</math>에 포함되어 있다. 따라서 <math>\left|a_{n_k}-A\right|<\frac{M}{2^k}</math>이고, 이는 곧 <math>\lim_{k\to\infty}a_{n_k}=A</math>임을 의미한다.

=== 예시 ===
* <math>(\cos n)</math>은 수렴하지 않지만 유계인 무한수열이므로, 수렴하는 부분수열을 가진다. 실제로 <math>(\cos n!)</math>은 1로 수렴하는 <math>(\cos n)</math>의 부분수열이다. 여기 인용은 이 문제가 어떤 특수한 가정을 할 시 1로 수렴한다고만 나와있다 실제로 성립하는지에 관한 문서가 있으면 추가 요망<ref>{{웹 인용|url=http://math.stackexchange.com/a/8692/310026|제목=Is there a limit of cos (n!)?|저자=[http://math.stackexchange.com/users/448/david-speyer David Speyer]|날짜=2010-11-02|출판사=Math Stack Exchange|확인날짜=2016-05-02}}</ref>

== 일반화 ==
유한한 차원의 유클리드 공간인 <math>\mathbb{R}^n</math>에 대해 확장이 가능하다. 명제도 거의 다른 것이 없다.
:<math>\mathbb{R}^n</math> 내의 유계인 수열은 수렴하는 부분수열을 갖는다.
증명은 [[수학적 귀납법]]을 이용한다.
{{숨기기|증명|
<math>n=1</math>인 경우는 이미 증명이 되었다. 이제, 명제가 적당한 <math>n\geq1</math>에 대해 성립한다고 가정하고, 임의의 수열<math>\left\{u_k\right\}\subseteq\mathbb{R}^{n+1}</math>이 [[유계]]라고 하자. 먼저, 각 [[정수]] <math>k</math>에 대해, <math>x_k</math>를 <math>u_k</math>의 마지막 원소로 정의하자. 또한, <math>v_k\in\mathbb{R}^n</math>을 <math>u_k</math>의 마지막 원소를 제외한 나머지 부분에 해당하는 벡터로 정의하자. 그럼, <math>u_k=\left(v_k,x_k\right)</math>로 적을 수 있다. 이제, <math>\left\{v_k\right\}</math>는 [[유계]]이며, <math>\mathbb{R}^n</math>의 수열이므로, 귀납 가정에 의해 수렴하는 부분수열을 갖는다. 그 수렴값을 <math>v</math>로 정의하자. 비슷하게, <math>\left\{x_k\right\}</math>도 유계이며, <math>\mathbb{R}</math>의 수열이므로 수렴하는 부분수열을 갖는다. 그 수렴값을 <math>x</math>로 정의하자. 그럼, component-wise convergence에 의해 <math>u_k</math>의 어떤 부분수열은 <math>\left(v,k\right):=u\in\mathbb{R}^{n+1}</math>로 수렴한다. 귀납법에 의해 명제가 증명되었다.
}}

== 활용 ==
가장 대표적인 활용으로는 [[코시 수열]]의 수렴성이 있다.
:<math>\left\{a_n\right\}</math>이 코시 수열이라 가정하자. 코시 수열은 [[유계]]이므로, 볼차노-바이어슈트라스 정리에 의해 수렴하는 부분수열을 가진다. 이를 <math>\left\{a_{n_k}\right\}</math>라 하고, 수렴값을 <math>A</math>라 하자. 이제 임의의 <math>\varepsilon>0</math>에 대해서, 적당한 자연수 <math>N</math>이 존재하여 <math>m,n> N</math>이면 <math>\left|a_m-a_n\right|<\frac{\varepsilon}{2}</math>이다.<ref>코시 수열의 정의</ref> 또한, <math>n_k</math>를 <math>\left|a_{n_k}-A\right|<\frac{\varepsilon}{2},\,n_k> N</math>이 되게 잡을 수 있다. 그럼 <math>n> N</math>일 때, <math>\left|a_n-A\right|=\left|a_n-a_{n_k}+a_{n_k}-A\right|\leq\left|a_n-a_{n_k}\right|+\left|a_{n_k}-A\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon</math>이므로 <math>\lim_{n\to\infty}a_n=A</math>이다.

{{각주}}
[[분류:해석학]]
[[분류:수학 정리]]