로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!어떤 [[수열]] <math>\left\{a_n\right\}</math>이 주어졌을 때, 이 수열의 합을 나타낸 것을 '''급수'''(級數, Series)라 한다. 등차수열이나 등비수열의 합도 급수의 일종. 보통은 특정한 규칙성이 있는 수열의 합 만을 다루지만, 규칙이 반드시 존재할 필요는 없다. 아무렇게나 [[숫자]]를 나열한 수열을 만든 뒤, 그 수열의 합을 구한 것도 급수. 유한한 항을 더하냐 무한한 항을 더하냐에 따라 유한급수와 무한급수로 나뉘며, 보통은 무한급수를 좀 더 심도있게 다룬다. 고등학교에서는 [[무한대]]로 발산하거나 특정한 값으로 수렴하는 급수만을 다루지만, 모든 무한급수의 값을 구할 수 있는 것은 아니다. 때로는 수렴하는지 발산하는지만 알 수도 있고, 어떤 때는 그 조차도 모르는 경우도 있다. 급수를 표현할 때는 대문자 [[시그마 (수학)|시그마]] 기호(Σ)를 쓴다. :<math>\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k</math> 시그마 기호는 더한다는 뜻이고, 기호 밑의 <math>k=1</math>은 몇 번째 항부터 시작하는지, 기호 위의 <math>n</math>은 몇 번째 항에서 끝나는 지를 의미한다. <math>n</math>이 <math>\infty</math>로 바뀔 수도 있으며, 이런 경우에는 무한 급수가 된다. 마지막으로 <math>a_k</math>은 더하는 수열의 항을 나타낸다. == 유한 급수 == 더하는 항의 개수가 유한한 급수. 특별히 중요한 내용은 없으며, 주요 성질은 다음과 같다. #<math>\sum_{k=1}^{n}\left(a_k\pm b_k\right)=\sum_{k=1}^{n}a_k\pm\sum_{k=1}^{n}b_k</math> (복호동순) #<math>\sum_{k=1}^{n}ca_k=c\sum_{k=1}^{n}a_k</math> #<math>\sum_{k=1}^{n}c=cn</math> 증명은 각 급수를 전개한 뒤에 정리해 주면 되므로 생략한다. == 무한 급수 == 더하는 항의 개수가 무한한 급수. 그런데 항을 막연히 무한히 더한다는 것은 수학적으로 엄밀하지 못한 설명이기 때문에 부분합을 이용해 설명한다. 즉, <math>n</math>항까지의 합 <math>\sum_{k=1}^{n}a_k</math>을 그 수열의 '''부분합'''이라 부르며, 여기서 극한을 취한 <math>\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}a_k</math>를 무한 급수의 값으로 정의한다. 즉, <math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}a_k</math>. 또한, 부분합의 수열 <math>\left\{S_n\right\}</math>이 수렴한다는 것과 무한 급수의 합이 존재한다는 명제는 동치이다. 무한 급수도 위 유한 급수의 1번과 2번 성질이 성립하는데, <math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n,\,\sum_{n=1}^{\infty}b_n</math>가 '''수렴'''한다는 조건이 붙어야 한다. 그런데 어떤 무한 급수가 수렴하는지 발산하는지는 어떻게 알까? 이에 대해서는 [[무한급수의 수렴판정법]] 항목을 참조하자. === 절대 수렴과 조건 수렴 === 무한 급수 <math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n</math>에 대하여, <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_n\right|</math>이 수렴하면 <math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n</math>도 반드시 수렴하게 된다. 이런 경우, 이 급수는 '''절대 수렴'''한다고 한다. 반면, <math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n</math>는 수렴하는데 <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_n\right|</math>은 수렴하지 않는 경우가 있다. 이런 경우에는 '''조건 수렴'''한다고 한다. ==== 절대수렴하는 급수의 성질 ==== *절대수렴하는 급수는 항을 더하는 순서를 바꿔도 합이 달라지지 않는다. *절대수렴하는 급수끼리 더하거나, 빼거나, 곱할 수 있고(항끼리 연산함), 그 결과 나온 급수 또한 절대수렴한다. *절대수렴하는 급수끼리 곱해서 나온 급수의 합은 곱하기 전의 두 급수의 합을 곱한 것과 같다. == 급수의 예 == *등비급수: 등비수열을 항으로 가지는 급수. **무한등비급수: 등비수열의 항을 무한히 더한 급수. 공비를 <math>r</math>이라 하면 <math>\left|r\right|<1</math>일 때 수렴함이 알려져있다. *조화급수: 조화수열을 항으로 가지는 급수. *P-급수: <math>\frac{1}{n^p}</math>를 항으로 가지는 급수. <math>p>1</math>이면 수렴함이, <math>p\leq1</math>이면 발산함이 알려져 있으며, 수렴한다는 사실은 알아도 수렴값은 모르는 경우가 많다. 이름의 P는 지수의 Power에서 따왔다. *교대급수: 각 항의 부호가 양, 음으로 바뀌는 급수. 교대급수가 수렴하기 위해서는 [[교대급수판정법]]을 만족시키면 된다. *Telescoping 급수: 부분적 항들의 합이 소거되어 특정한 고정된 값이 나오는 급수를 말한다. 예시로는 <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\left(n+1\right)}</math>이 있으며, 부분 분수를 사용해 분리해 보면 각 항을 더할 때마다 소거되는 부분이 보일 것이다. 중요한 것은, <math>\lim_{n\to\infty}S_{2n}=\lim_{n\to\infty}S_{2n-1}</math>을 만족시켜야 수렴한다. 그렇지 않으면 "<math>\sum_{n=1}^{\infty}\left(-1\right)^n</math>은 수렴한다"와 같은 오류를 범할 수도 있다. *[[테일러 급수]], 맥클로린 급수: 항목 참조. == 관련 항목 == *[[수열]] *[[극한]] *[[테일러 급수]] {{각주}} [[분류:급수| ]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)