균등 연속 함수

Uniform continuity

정의

어떤 함수가 연속함수임을 엡실론-델타 논법을 사용해서 증명할 때, [math]\displaystyle{ \delta }[/math]값은 보통 [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]값과 주어진 점 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math], 두 가지 변수에 영향을 받는다. 이런 경우, 그 점에서의 연속성은 그 점 주위에만 적용되는 국소적인 연속성이다. 그럼 자연히 떠오르는 의문은, [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]에만 영향을 받는 연속성이 존재하냐일 것이다. 아래 예시를 살펴보자.

[math]\displaystyle{ f\left(x\right)=x }[/math]라 하자. 그럼, 임의의 [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb{R} }[/math]와 주어진 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ \delta=\varepsilon }[/math]라 하자. 그럼, [math]\displaystyle{ \left|x-x_0\right|\lt \delta }[/math]이면, [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)-f\left(x_0\right)\right|=\left|x-x_0\right|\lt \delta=\epsilon }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ f }[/math]는 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]에서 연속이다. 그런데, [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]은 임의의 실수였으므로, [math]\displaystyle{ f }[/math]는 [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]에서 연속이다.

위 예시에서, [math]\displaystyle{ \delta }[/math]는 [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]의 값에만 영향을 받는다는 사실에 주목하자. 즉, 위 함수의 연속성은 점의 값에 영향을 받지 않는 대역적인 연속성이다. 이러한 연속성을 균등 연속(Uniform Continuity)라 부르며, 수학적으로 엄밀하게 정의하면 다음과 같다.

주어진 구간 [math]\displaystyle{ I }[/math]의 임의의 원소 [math]\displaystyle{ x_1,\,x_2 }[/math]와 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해 적당한 [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math]이 존재하여, [math]\displaystyle{ \left|x_1-x_2\right|\lt \delta }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right|\lt \varepsilon }[/math]이 성립하면, [math]\displaystyle{ f }[/math]를 구간 [math]\displaystyle{ I }[/math]에서 균등 연속이라고 부른다.

같은 함수라도 구간을 어떻게 주냐에 따라 균등 연속일 수도 있고 아닐 수도 있다. 예를 들면, [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=x^2 }[/math]는 [math]\displaystyle{ \left[0,1\right] }[/math]에서 균등 연속이지만, [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]에서는 균등 연속이 아니다.

어떤 함수가 주어진 구간에서 균등 연속이면, 당연히 연속이다. 증명은 매우 간단하므로 직접 해보자.

예시

• [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\; f(x)=x }[/math]는 고른연속이다.

임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \delta = \varepsilon }[/math]이라 하자. 그러면 임의의 [math]\displaystyle{ x,a\in A }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ |x-a|\lt \delta }[/math]이면 [math]\displaystyle{ |f(x)-f(a)|=|x-a|\lt \delta =\varepsilon }[/math]이다. 따라서 원하는 결론을 얻는다.

• [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\; f(x)=x^2 }[/math]는 고른연속이 아니다.

[math]\displaystyle{ \varepsilon = 1 }[/math]로 두자. 임의의 [math]\displaystyle{ \delta \gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ x=\frac{\delta}{2}+\frac{1}{\delta} }[/math], [math]\displaystyle{ a=\frac{1}{\delta} }[/math]로 두자. 그러면 [math]\displaystyle{ |x-a|=\frac{\delta}{2}\lt \delta }[/math]이지만

[math]\displaystyle{ \begin{align} |f(x)-f(a)|&=|x^2-a^2|\\ &=\left|\left(\frac{\delta}{2}+\frac{1}{\delta}\right)^2-\frac{1}{\delta^2}\right|\\ &=\left|\frac{\delta^2}{4}+1\right|\\ &\ge 1\\ &=\varepsilon \end{align} }[/math]

이다. 따라서 [math]\displaystyle{ x^2 }[/math]는 [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]에서 고른연속이 아니다.

균등 연속의 조건

1. [math]\displaystyle{ f:A\to\mathbb{R} }[/math]이 고른연속이고 [math]\displaystyle{ B\subseteq A }[/math]이면 함수 [math]\displaystyle{ g:B\to\mathbb{R},g(x)=f(x) }[/math]는 균등연속이다.

   임의의 [math]\displaystyle{ x,\,y\in B }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ x,\,y\in A }[/math]이기도 하므로, 주어진 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해 적당한 [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ \left|x-y\right|\lt \delta }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|\lt \varepsilon }[/math]이 성립한다. 그런데 [math]\displaystyle{ B }[/math] 내에서는 [math]\displaystyle{ g=f }[/math]이므로, 이는 곧 [math]\displaystyle{ g\left(x\right) }[/math]이 균등연속임을 보인다.

2. [math]\displaystyle{ f }[/math]가 닫혀있고 유계인 구간 [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math]에서 연속이면, 그 구간에서 균등 연속이다.

   [math]\displaystyle{ f }[/math]가 [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math]에서 연속이므로, 구간 내의 각 [math]\displaystyle{ x }[/math]에 대해, 적당한 [math]\displaystyle{ \delta_x\gt 0 }[/math]가 존재하여 [math]\displaystyle{ \left|t-x\right|\lt \delta_x }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|f\left(t\right)-f\left(x\right)\right|\lt \varepsilon/2 }[/math]이 성립한다. [math]\displaystyle{ I\left(x\right):=\left(x-\tfrac{1}{2}\delta_x,x+\tfrac{1}{2}\delta_x\right) }[/math]으로 정의하자. 그럼, [math]\displaystyle{ \mathcal{F}=\left\{I\left(x\right)|x\in\left[a,b\right]\right\} }[/math]은 [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math]의 open covering이고, [math]\displaystyle{ t\in\left[a,b\right]\cap I\left(x\right) }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|f\left(t\right)-f\left(x\right)\right|\lt \varepsilon/2 }[/math]이다. 그런데 [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math]은 컴팩트하므로, 하이네-보렐 정리에 의해 [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math]의 open covering인 유한한 부분집합 [math]\displaystyle{ \hat{\mathcal{F}}\subset\mathcal{F} }[/math]이 존재한다. [math]\displaystyle{ \hat{\mathcal{F}}=\left\{I\left(x_i\right)|i=1,\,2,\,\ldots,\,n\right\} }[/math]이라 가정하고, [math]\displaystyle{ \delta=\underset{1\leq i\leq n}{\min}\tfrac{1}{2}\delta_x }[/math]이라 정의하자. 그럼, 분명히 [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math]이다. 이제, [math]\displaystyle{ u,\,v\in\left[a,b\right] }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \left|u-v\right|\lt \delta }[/math]라 가정하자. [math]\displaystyle{ \hat{\mathcal{F}} }[/math]이 구간의 open covering이므로, 적당한 [math]\displaystyle{ k }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ u\in I\left(x_k\right) }[/math]이다. 그럼, [math]\displaystyle{ \left|u-x_k\right|\lt \tfrac{1}{2}\delta_{x_k} }[/math]이고, [math]\displaystyle{ \left|f\left(u\right)-f\left(x_k\right)\right|\lt \varepsilon/2 }[/math]이다. 또한, [math]\displaystyle{ \left|v-x_k\right|\leq\left|v-u\right|+\left|u-x_k\right|\lt \delta+\tfrac{1}{2}\delta_{x_k}\leq\delta_{x_k} }[/math]이다. 따라서, [math]\displaystyle{ \left|f\left(v\right)-f\left(x_k\right)\right|\lt \varepsilon/2 }[/math]이고, 곧 [math]\displaystyle{ \left|f\left(u\right)-f\left(v\right)\right|\leq\left|f\left(u\right)-f\left(x_k\right)\right|+\left|f\left(v\right)-f\left(x_k\right)\right|\lt \varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon }[/math]이다. 따라서, [math]\displaystyle{ f }[/math]는 주어진 구간에서 균등 연속이다.

3. [math]\displaystyle{ f }[/math]가 [math]\displaystyle{ \left(a,b\right) }[/math]에서 연속이라 가정하자. 만약 [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a^+}f\left(x\right) }[/math]와 [math]\displaystyle{ \lim_{x\to b^-}f\left(x\right) }[/math]이 존재하면, [math]\displaystyle{ f }[/math]는 [math]\displaystyle{ \left(a,b\right) }[/math]에서 균등 연속이다. 역도 성립한다.

   구간 [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math]에서 정의된 함수 [math]\displaystyle{ g\left(x\right) }[/math]를 다음과 같이 정의한다.

   [math]\displaystyle{ g\left(x\right)=\begin{cases}f\left(x\right),&\text{if }x\in\left(a,b\right)\\\lim_{x\to a^+}f\left(x\right),&\text{if }x=a\\\lim_{x\to b^-}f\left(x\right),&\text{if }x=b\end{cases} }[/math]

   그럼, [math]\displaystyle{ g }[/math]는 구간 [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math]에서 연속임을 알 수 있다. 게다가 그 구간은 유계인 닫힌 구간이므로, [math]\displaystyle{ g }[/math]는 그 구간에서 균등 연속이다. 즉, [math]\displaystyle{ g }[/math]는 구간 [math]\displaystyle{ \left(a,b\right) }[/math]에서 균등 연속이다. 그런데, [math]\displaystyle{ \left(a,b\right) }[/math]에서 [math]\displaystyle{ f=g }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ f }[/math]도 역시 균등 연속 함수이다.

   역으로, [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a^+}f\left(x\right) }[/math]가 존재하지 않는다고 가정하자. 그럼, [math]\displaystyle{ a }[/math]로 수렴하는 구간 내의 적당한 수열 [math]\displaystyle{ \left\{x_n\right\} }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \left\{f\left(x_n\right)\right\} }[/math]은 수렴하지 않는다. 이는 곧 [math]\displaystyle{ \left\{f\left(x_n\right)\right\} }[/math]이 코시 수열이 아님을 의미한다. 따라서, 적당한 [math]\displaystyle{ \varepsilon_0\gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ i,j\geq N }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|f\left(x_i\right)-f\left(x_j\right)\right|\lt \varepsilon_0 }[/math]을 만족시키는 자연수 [math]\displaystyle{ N }[/math]은 존재하지 않는다. 한편, [math]\displaystyle{ \left\{x_n\right\} }[/math]은 수렴하는 수열이므로 코시 수열이고, 따라서 [math]\displaystyle{ \lim_{i,j\to\infty}\left|x_i-x_j\right|=0 }[/math]이다. 그런데, [math]\displaystyle{ \left|f\left(x_i\right)-f\left(x_j\right)\right|\lt \varepsilon_0 }[/math]이 성립하지 않으므로, [math]\displaystyle{ f }[/math]는 균등 연속이 아니다. [math]\displaystyle{ \lim_{x\to b^-}f\left(x\right) }[/math]가 존재하지 않을 때도 비슷하게 증명이 가능하다.

4. [math]\displaystyle{ f }[/math]가 [math]\displaystyle{ \left[a,\infty\right) }[/math]에서 연속이라 가정하자. 만약 [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}f\left(x\right) }[/math]가 존재하면, [math]\displaystyle{ f }[/math]는 [math]\displaystyle{ \left[a,\infty\right) }[/math]에서 균등 연속이다.

   [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}f\left(x\right)=L }[/math]이라 하자. 그럼, 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ M\gt a }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ x\gt M }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)-L\right|\lt \varepsilon/2 }[/math]이다. 한편, [math]\displaystyle{ f }[/math]는 [math]\displaystyle{ M }[/math]에서 연속이므로, 적당한 [math]\displaystyle{ \delta_1 }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ \left|x-M\right|\lt \delta_1 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)-f\left(M\right)\right|\lt \varepsilon/2 }[/math]이다. 또한, [math]\displaystyle{ f }[/math]는 [math]\displaystyle{ \left[a,M\right] }[/math]에서 균등 연속이므로, 적당한 [math]\displaystyle{ \delta_2\gt 0 }[/math]이 존재해 [math]\displaystyle{ x_1,x_2\in\left[a,M\right],\,\left|x_1-x_2\right|\lt \delta_2 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right|\lt \varepsilon/2 }[/math]이다. 이제, [math]\displaystyle{ \delta=\min\left(\delta_1,\delta_2\right) }[/math]이라 하자. 만약 [math]\displaystyle{ u,v\in\left[a,\infty\right) }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \left|u-v\right|\lt \delta }[/math]이면, 총 세 가지 경우를 생각해 볼 수 있다.

   1. [math]\displaystyle{ u,v\gt M }[/math]: 그럼, [math]\displaystyle{ \left|f\left(u\right)-f\left(v\right)\right|\leq\left|f\left(u\right)-L\right|+\left|L-f\left(v\right)\right|\lt \varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon }[/math].
   2. [math]\displaystyle{ u,v\lt M }[/math]: 그럼, [math]\displaystyle{ \left|u-v\right|\lt \delta\leq\delta_2 }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ \left|f\left(u\right)-f\left(v\right)\right|\lt \varepsilon }[/math].
   3. [math]\displaystyle{ u\leq M,v\gt M }[/math]: 그럼, [math]\displaystyle{ \left|u-v\right|\lt \delta }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ \left|u-M\right|\lt \delta\leq\delta_2 }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \left|v-M\right|\lt \delta\leq\delta_1 }[/math]이다. 따라서, [math]\displaystyle{ \left|f\left(u\right)-f\left(M\right)\right|\lt \varepsilon/2 }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \left|f\left(v\right)-f\left(M\right)\right|\lt \varepsilon/2 }[/math]이다. 삼각부등식에 의해, [math]\displaystyle{ \left|f\left(u\right)-f\left(v\right)\right|\leq\left|f\left(u\right)-f\left(M\right)\right|+\left|f\left(M\right)-f\left(v\right)\right|\lt \varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon }[/math].

   모든 경우에 대해 균등 연속의 조건이 성립하므로, [math]\displaystyle{ f }[/math]는 균등 연속 함수이다.

5. [math]\displaystyle{ f }[/math]가 [math]\displaystyle{ \left(-\infty,b\right] }[/math]에서 연속이라 가정하자. 만약 [math]\displaystyle{ \lim_{x\to-\infty}f\left(x\right) }[/math]가 존재하면, [math]\displaystyle{ f }[/math]는 [math]\displaystyle{ \left(-\infty,b\right] }[/math]에서 균등 연속이다.

   [math]\displaystyle{ f }[/math]를 [math]\displaystyle{ y }[/math]축에 대칭시킨 함수 [math]\displaystyle{ f\left(-x\right) }[/math]는 위 명제에 의해 균등 연속이다. 따라서, [math]\displaystyle{ f }[/math]도 균등 연속이다.

6. [math]\displaystyle{ f }[/math]가 [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]에서 연속이고, [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}f\left(x\right) }[/math]와 [math]\displaystyle{ \lim_{x\to-\infty}f\left(x\right) }[/math]가 존재하면, [math]\displaystyle{ f }[/math]는 [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]에서 균등 연속이다.

   위 두 명제를 합치면 된다.

7. 립쉬츠 연속인 함수는 고른연속이다.

   립시츠 상수를 [math]\displaystyle{ c\gt 0 }[/math]이라 하자. 즉, 정의역 내의 임의의 [math]\displaystyle{ x,\,y }[/math]와 립시츠 함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|\leq c\left|x-y\right| }[/math]이 성립한다. 이제, 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ \delta=\tfrac{\varepsilon}{c} }[/math]라 하자. 그럼, [math]\displaystyle{ \left|x-y\right|\lt \delta }[/math]일 때, [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|\leq c\left|x-y\right|\lt c\delta=\varepsilon }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ f }[/math]는 고른 연속이다.

코시수열임을 보존

• [math]\displaystyle{ f:A\to\mathbb{R} }[/math]이 고른연속일 때, [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math]이 코시수열이면 [math]\displaystyle{ (f(a_n)) }[/math]도 코시수열이다.

중요성

앞서 말했듯이, 균등 연속은 대역적인 연속성이기 때문에 한 점에서의 연속성만으로도 다른 점에서의 많은 성질을 이끌어 낼 수 있다. 또한, 이 균등 연속과 비슷한 개념은 점마다 수렴(pointwise convergence)에서도 나오며, 균등 수렴하는 점마다 수렴은 적분 기호와 극한을 교환할 수 있게 해주는 역할을 해준다. 균등 수렴이 없다면 적분과 극한은 (일반적으로) 교환했을 때 다른 값이 나온다.

같이 보기

• 연속함수
• 점마다 수렴
• 고른수렴