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연속성이다. 이러한 연속성을 '''균등 연속(Uniform Continuity)'''라 부르며, 수학적으로 엄밀하게 정의하면 다음과 같다. :주어진 구간 <math>I</math>의 임의의 원소 <math>x_1,\,x_2</math>와 임의의 <math>\varepsilon>0</math>에 대해 적당한 <math>\delta>0</math>이 존재하여, <math>\left|x_1-x_2\right|<\delta</math>이면 <math>\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right|<\varepsilon</math>이 성립하면, <math>f</math>를 구간 <math>I</math>에서 균등 연속이라고 부른다. 같은 함수라도 구간을 어떻게 주냐에 따라 균등 연속일 수도 있고 아닐 수도 있다. 예를 들면, <math>f\left(x\right)=x^2</math>는 <math>\left[0,1\right]</math>에서 균등 연속이지만, <math>\mathbb{R}</math>에서는 균등 연속이 아니다. 어떤 함수가 주어진 구간에서 균등 연속이면, 당연히 연속이다. 증명은 매우 간단하므로 직접 해보자. == 예시 == * <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\; f(x)=x</math>는 고른연속이다. 임의의 <math>\varepsilon > 0</math>에 대해 <math>\delta = \varepsilon</math>이라 하자. 그러면 임의의 <math>x,a\in A</math>에 대해 <math>|x-a|<\delta</math>이면 <math>|f(x)-f(a)|=|x-a|<\delta =\varepsilon</math>이다. 따라서 원하는 결론을 얻는다. * <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\; f(x)=x^2</math>는 고른연속이 아니다. <math>\varepsilon = 1</math>로 두자. 임의의 <math>\delta > 0</math>에 대해 <math>x=\frac{\delta}{2}+\frac{1}{\delta}</math>, <math>a=\frac{1}{\delta}</math>로 두자. 그러면 <math>|x-a|=\frac{\delta}{2}<\delta</math>이지만 : <math>\begin{align} |f(x)-f(a)|&=|x^2-a^2|\\ &=\left|\left(\frac{\delta}{2}+\frac{1}{\delta}\right)^2-\frac{1}{\delta^2}\right|\\ &=\left|\frac{\delta^2}{4}+1\right|\\ &\ge 1\\ &=\varepsilon \end{align}</math> 이다. 따라서 <math>x^2</math>는 <math>\mathbb{R}</math>에서 고른연속이 아니다. == 균등 연속의 조건 == #<math>f:A\to\mathbb{R}</math>이 고른연속이고 <math>B\subseteq A</math>이면 함수 <math>g:B\to\mathbb{R},g(x)=f(x)</math>는 균등연속이다. #:임의의 <math>x,\,y\in B</math>에 대해, <math>x,\,y\in A</math>이기도 하므로, 주어진 <math>\varepsilon>0</math>에 대해 적당한 <math>\delta>0</math>이 존재하여 <math>\left|x-y\right|<\delta</math>이면 <math>\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|<\varepsilon</math>이 성립한다. 그런데 <math>B</math> 내에서는 <math>g=f</math>이므로, 이는 곧 <math>g\left(x\right)</math>이 균등연속임을 보인다. #<math>f</math>가 닫혀있고 유계인 구간 <math>\left[a,b\right]</math>에서 연속이면, 그 구간에서 균등 연속이다. #:<math>f</math>가 <math>\left[a,b\right]</math>에서 연속이므로, 구간 내의 각 <math>x</math>에 대해, 적당한 <math>\delta_x>0</math>가 존재하여 <math>\left|t-x\right|<\delta_x</math>이면 <math>\left|f\left(t\right)-f\left(x\right)\right|<\varepsilon/2</math>이 성립한다. <math>I\left(x\right):=\left(x-\tfrac{1}{2}\delta_x,x+\tfrac{1}{2}\delta_x\right)</math>으로 정의하자. 그럼, <math>\mathcal{F}=\left\{I\left(x\right)|x\in\left[a,b\right]\right\}</math>은 <math>\left[a,b\right]</math>의 open covering이고, <math>t\in\left[a,b\right]\cap I\left(x\right)</math>이면 <math>\left|f\left(t\right)-f\left(x\right)\right|<\varepsilon/2</math>이다. 그런데 <math>\left[a,b\right]</math>은 [[컴팩트]]하므로, [[하이네-보렐 정리]]에 의해 <math>\left[a,b\right]</math>의 open covering인 유한한 부분집합 <math>\hat{\mathcal{F}}\subset\mathcal{F}</math>이 존재한다. <math>\hat{\mathcal{F}}=\left\{I\left(x_i\right)|i=1,\,2,\,\ldots,\,n\right\}</math>이라 가정하고, <math>\delta=\underset{1\leq i\leq n}{\min}\tfrac{1}{2}\delta_x</math>이라 정의하자. 그럼, 분명히 <math>\delta>0</math>이다. 이제, <math>u,\,v\in\left[a,b\right]</math>이고 <math>\left|u-v\right|<\delta</math>라 가정하자. <math>\hat{\mathcal{F}}</math>이 구간의 open covering이므로, 적당한 <math>k</math>에 대해 <math>u\in I\left(x_k\right)</math>이다. 그럼, <math>\left|u-x_k\right|<\tfrac{1}{2}\delta_{x_k}</math>이고, <math>\left|f\left(u\right)-f\left(x_k\right)\right|<\varepsilon/2</math>이다. 또한, <math>\left|v-x_k\right|\leq\left|v-u\right|+\left|u-x_k\right|<\delta+\tfrac{1}{2}\delta_{x_k}\leq\delta_{x_k}</math>이다. 따라서, <math>\left|f\left(v\right)-f\left(x_k\right)\right|<\varepsilon/2</math>이고, 곧 <math>\left|f\left(u\right)-f\left(v\right)\right|\leq\left|f\left(u\right)-f\left(x_k\right)\right|+\left|f\left(v\right)-f\left(x_k\right)\right|<\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon</math>이다. 따라서, <math>f</math>는 주어진 구간에서 균등 연속이다. #<math>f</math>가 <math>\left(a,b\right)</math>에서 연속이라 가정하자. 만약 <math>\lim_{x\to a^+}f\left(x\right)</math>와 <math>\lim_{x\to b^-}f\left(x\right)</math>이 존재하면, <math>f</math>는 <math>\left(a,b\right)</math>에서 균등 연속이다. 역도 성립한다. #:구간 <math>\left[a,b\right]</math>에서 정의된 [[함수]] <math>g\left(x\right)</math>를 다음과 같이 정의한다. #::<math>g\left(x\right)=\begin{cases}f\left(x\right),&\text{if }x\in\left(a,b\right)\\\lim_{x\to a^+}f\left(x\right),&\text{if }x=a\\\lim_{x\to b^-}f\left(x\right),&\text{if }x=b\end{cases}</math> #:그럼, <math>g</math>는 구간 <math>\left[a,b\right]</math>에서 연속임을 알 수 있다. 게다가 그 구간은 유계인 닫힌 구간이므로, <math>g</math>는 그 구간에서 균등 연속이다. 즉, <math>g</math>는 구간 <math>\left(a,b\right)</math>에서 균등 연속이다. 그런데, <math>\left(a,b\right)</math>에서 <math>f=g</math>이므로, <math>f</math>도 역시 균등 연속 함수이다. #:역으로, <math>\lim_{x\to a^+}f\left(x\right)</math>가 존재하지 않는다고 가정하자. 그럼, <math>a</math>로 수렴하는 구간 내의 적당한 [[수열]] <math>\left\{x_n\right\}</math>에 대해 <math>\left\{f\left(x_n\right)\right\}</math>은 수렴하지 않는다. 이는 곧 <math>\left\{f\left(x_n\right)\right\}</math>이 [[코시 수열]]이 아님을 의미한다. 따라서, 적당한 <math>\varepsilon_0>0</math>에 대해 <math>i,j\geq N</math>이면 <math>\left|f\left(x_i\right)-f\left(x_j\right)\right|<\varepsilon_0</math>을 만족시키는 [[자연수]] <math>N</math>은 존재하지 않는다. 한편, <math>\left\{x_n\right\}</math>은 수렴하는 수열이므로 [[코시 수열]]이고, 따라서 <math>\lim_{i,j\to\infty}\left|x_i-x_j\right|=0</math>이다. 그런데, <math>\left|f\left(x_i\right)-f\left(x_j\right)\right|<\varepsilon_0</math>이 성립하지 않으므로, <math>f</math>는 균등 연속이 아니다. <math>\lim_{x\to b^-}f\left(x\right)</math>가 존재하지 않을 때도 비슷하게 증명이 가능하다. #<math>f</math>가 <math>\left[a,\infty\right)</math>에서 연속이라 가정하자. 만약 <math>\lim_{x\to\infty}f\left(x\right)</math>가 존재하면, <math>f</math>는 <math>\left[a,\infty\right)</math>에서 균등 연속이다. #:<math>\lim_{x\to\infty}f\left(x\right)=L</math>이라 하자. 그럼, 임의의 <math>\varepsilon>0</math>에 대해, <math>M> a</math>이 존재하여 <math>x> M</math>이면 <math>\left|f\left(x\right)-L\right|<\varepsilon/2</math>이다. 한편, <math>f</math>는 <math>M</math>에서 연속이므로, 적당한 <math>\delta_1</math>이 존재하여 <math>\left|x-M\right|<\delta_1</math>이면 <math>\left|f\left(x\right)-f\left(M\right)\right|<\varepsilon/2</math>이다. 또한, <math>f</math>는 <math>\left[a,M\right]</math>에서 균등 연속이므로, 적당한 <math>\delta_2>0</math>이 존재해 <math>x_1,x_2\in\left[a,M\right],\,\left|x_1-x_2\right|<\delta_2</math>이면 <math>\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right|<\varepsilon/2</math>이다. 이제, <math>\delta=\min\left(\delta_1,\delta_2\right)</math>이라 하자. 만약 <math>u,v\in\left[a,\infty\right)</math>이고 <math>\left|u-v\right|<\delta</math>이면, 총 세 가지 경우를 생각해 볼 수 있다. #:#<math>u,v> M</math>: 그럼, <math>\left|f\left(u\right)-f\left(v\right)\right|\leq\left|f\left(u\right)-L\right|+\left|L-f\left(v\right)\right|<\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon</math>. #:#<math>u,v< M</math>: 그럼, <math>\left|u-v\right|<\delta\leq\delta_2</math>이므로, <math>\left|f\left(u\right)-f\left(v\right)\right|<\varepsilon</math>. #:#<math>u\leq M,v> M</math>: 그럼, <math>\left|u-v\right|<\delta</math>이므로, <math>\left|u-M\right|<\delta\leq\delta_2</math>이고 <math>\left|v-M\right|<\delta\leq\delta_1</math>이다. 따라서, <math>\left|f\left(u\right)-f\left(M\right)\right|<\varepsilon/2</math>이고 <math>\left|f\left(v\right)-f\left(M\right)\right|<\varepsilon/2</math>이다. 삼각부등식에 의해, <math>\left|f\left(u\right)-f\left(v\right)\right|\leq\left|f\left(u\right)-f\left(M\right)\right|+\left|f\left(M\right)-f\left(v\right)\right|<\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon</math>. #:모든 경우에 대해 균등 연속의 조건이 성립하므로, <math>f</math>는 균등 연속 함수이다. #<math>f</math>가 <math>\left(-\infty,b\right]</math>에서 연속이라 가정하자. 만약 <math>\lim_{x\to-\infty}f\left(x\right)</math>가 존재하면, <math>f</math>는 <math>\left(-\infty,b\right]</math>에서 균등 연속이다. #:<math>f</math>를 <math>y</math>축에 대칭시킨 함수 <math>f\left(-x\right)</math>는 위 명제에 의해 균등 연속이다. 따라서, <math>f</math>도 균등 연속이다. #<math>f</math>가 <math>\mathbb{R}</math>에서 연속이고, <math>\lim_{x\to\infty}f\left(x\right)</math>와 <math>\lim_{x\to-\infty}f\left(x\right)</math>가 존재하면, <math>f</math>는 <math>\mathbb{R}</math>에서 균등 연속이다. #:위 두 명제를 합치면 된다. #[[립쉬츠 연속]]인 함수는 고른연속이다. #:립시츠 상수를 <math>c>0</math>이라 하자. 즉, 정의역 내의 임의의 <math>x,\,y</math>와 립시츠 함수 <math>f</math>에 대해, <math>\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|\leq c\left|x-y\right|</math>이 성립한다. 이제, 임의의 <math>\varepsilon>0</math>에 대해, <math>\delta=\tfrac{\varepsilon}{c}</math>라 하자. 그럼, <math>\left|x-y\right|<\delta</math>일 때, <math>\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|\leq c\left|x-y\right|< c\delta=\varepsilon</math>이므로, <math>f</math>는 고른 연속이다. == 코시수열임을 보존 == * <math>f:A\to\mathbb{R}</math>이 고른연속일 때, <math>(a_n)</math>이 [[코시수열]]이면 <math>(f(a_n))</math>도 코시수열이다. == 중요성 == 앞서 말했듯이, 균등 연속은 대역적인 연속성이기 때문에 한 점에서의 연속성만으로도 다른 점에서의 많은 성질을 이끌어 낼 수 있다. 또한, 이 균등 연속과 비슷한 개념은 [[점마다 수렴]](pointwise convergence)에서도 나오며, 균등 수렴하는 점마다 수렴은 '''적분 기호와 극한을 교환'''할 수 있게 해주는 역할을 해준다. 균등 수렴이 없다면 적분과 극한은 (일반적으로) 교환했을 때 다른 값이 나온다. == 같이 보기 == *[[연속함수]] *[[점마다 수렴]] *[[고른수렴]] {{각주}} [[분류:함수]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 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