階乘, Factorial, 팩토리얼, !
정의
일단 감마함수를 이용하여 [math]\displaystyle{ \displaystyle x!=\Gamma\left ( x+1 \right )=\int_{0}^{\infty}{a}^{x}{e}^{-a}da }[/math] 이렇게 정의한다.
계승이라는 엄연한 한국어 단어가 존재함에도 불구하고 "팩토리얼"이나 "팩"이라고 읽히는 수학 개념. 어떤 자연수 [math]\displaystyle{ n }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ n }[/math]의 계승은 1부터 [math]\displaystyle{ n }[/math]까지의 모든 자연수를 곱한 값이며, 기호로는 느낌표를 붙여 [math]\displaystyle{ n! }[/math]로 표기한다.
즉, [math]\displaystyle{ n!=1\times2\times3\times\cdots\times n }[/math]. 미지수 앞에 계수가 있을 경우 괄호 표기를 잘 해줘야 하는데, [math]\displaystyle{ 2n! }[/math]이라는 것이 있으면 이게 [math]\displaystyle{ 2\times n! }[/math]인지 [math]\displaystyle{ \left(2n!\right) }[/math]인지 헷갈리기 때문.
일단 괄호가 없다면 전자로 해석하는 것이 옳다.
일반화를 너무나도 좋아하시는 수학자들에 의해 [math]\displaystyle{ n }[/math]이 자연수가 아닐 경우에 대해서도 확장이 되어 있다. 고등학교에서도 배우는 것은 바로 [math]\displaystyle{ 0!=1 }[/math]. 1부터 0까지 곱한 것이 어떻게 1이 되냐고 물을 수 있지만, 아무 것도 곱하지 않은 상태이므로 1이라고 생각하면 된다 ([math]\displaystyle{ a^0=1 }[/math] 처럼). 그리고 [math]\displaystyle{ 0!=1 }[/math]으로 정의하면 조합론에서 몇몇 정의가 자연스러워 진다. 대표적으로 순열이나 조합. 예를 들어, [math]\displaystyle{ n }[/math]개 중에서 [math]\displaystyle{ n }[/math]개를 순서에 상관없이 뽑는 방법은 당연히 1개이다. 이를 조합 공식으로 쓰면 [math]\displaystyle{ \displaystyle \binom{n}{n}=\frac{n!}{n!0!}=\frac{1}{0!}=1 }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ 0!=1 }[/math]로 정의하면 자연스러워 진다. 0도 자연수도 아닌 경우에는 감마 함수를 이용하며, 자세한 것은 항목을 참조.