圓周率
개요
원의 지름에 대한 원의 둘레의 비. 그리스 문자 [math]\displaystyle{ \pi }[/math]로 표기한다. 대표적인 무리수이자 초월수이다. 과거에는 밀률(비밀스런운 비율)이라고 불렸다. 그 밖에 역사적으로 유명한 근삿값으로는 3, 22/7, 355/113 등이 있다. 성경에선 3이라고 한다
대한민국의 학교 교육과정에서는 초등학교 5~6학년때 근삿값 3.14를 사용하며, 중학교에서부터는 [math]\displaystyle{ \pi }[/math]를 쓴다. 3.14는 왜 배운건지...[1][2]
성질들
- [math]\displaystyle{ \pi = \sqrt{6\left(\frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\cdots\right)} }[/math]이며 더 일반적으로는
- [math]\displaystyle{ \pi = \left((-1)^{n+1}\frac{(2n)!}{2^{2n-1}B_{2n}}\left(\frac1{1^{2n}}+\frac1{2^{2n}}+\frac1{3^{2n}}+\cdots\right)\right)^{1/{2n}} }[/math]
[math]\displaystyle{ B_{2n} }[/math]는 베르누이 수로, 유리수이다.
- [math]\displaystyle{ \pi = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{16^i} \left( \frac{4}{8i+1} - \frac{2}{8i+4} - \frac{1}{8i+5} - \frac{1}{8i+6} \right) }[/math][3]
- [math]\displaystyle{ \pi = \frac2{\frac{\sqrt 2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt 2}}2\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt {2+\sqrt 2}}}2\cdots} }[/math] (비에타)
- [math]\displaystyle{ \pi = 16\arctan \frac15 - 4\arctan \frac1{239} }[/math] (라이프니쯔)
- [math]\displaystyle{ \pi = 4\left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots\right) }[/math] (그레고리 & 라이프니쯔)
- [math]\displaystyle{ \pi = \left(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx \right)^2 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \pi = \int_{-\infty}^\infty \frac1{1+x^2}dx }[/math]
- [math]\displaystyle{ \pi = \frac{4}{1+\cfrac{1^2}{2+\cfrac{3^2}{2+\cfrac{5^2}{2+\ddots}}}} = 3+ \frac{1^2}{6+\cfrac{3^2}{6+\cfrac{5^2}{6+\cfrac{7^2}{6+\ddots}}}} }[/math]
관련 작품
값
3.
141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953092186117381932611793105118548074462379962749567351885752724891227938183011949129833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132000568127145263560827785771342757789609173637178721468440901224953430146549585371050792279689258923542019956112129021960864034418159813629774771309960518707211349999998372978049951059731732816096318595024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303598253490428755468731159562863882353787593751957781857780532171226806613001927876611195909216420198938095257201065485863278865936153381827968230301952035301852968995773622599413891249721775283479131515574857242454150695950829533116861727855889075098381754637464939319255060400927701671139009848824012858361603563707660104710181942955596198946767837449448255379774726847104047534646208046684259069491293313677028989152104752162056966024058038150193511253382430035587640247496473263914199272604269922796782354781636009341721641219924586315030286182974555706749838505494588586926995690927210797509302955
3211653449872027559602364806654991198818347977535663698074265425278625518184175746728909777727938000816470600161452491921732172147723501414419735685481613611573525521334757418494684385233239073941433345477624168625189835694855620992192221842725502542568876717904946016534668049886272327917860857843838279679766814541009538837863609506800642251252051173929848960841284886269456042419652850222106611863067442786220391949450471237137869609 그리고 계속... 이걸 일일이 다 계산한 작성자에게 박수를...