동치관계(equivalent relation)는 대칭률, 반사율, 추이율을 만족하는 관계이며, ~로 나타낸다.
정의
집합 S 위의 동치관계 ~는 다음과 같은 조건을 만족하는 관계이다:
- 반사율(Reflexivity): S의 원소 x에 대하여 x~x
- 대칭률(Symmetry): S의 원소 x, y에 대하여 x~y ⇔ y~x
- 추이율(Transitivity): S의 원소 x, y, z에 대하여 x~y, y~z ⇒ x~z
동치류
[math]\displaystyle{ x }[/math]의 동치류(equivalent class) [math]\displaystyle{ [x] }[/math]는 [math]\displaystyle{ x }[/math]와 동치관계에 있는 원소들의 집합이다. 이의 모음(collection) [math]\displaystyle{ S/\sim = \{ [x] | x \in S \} }[/math]을 몫집합(quotient set)이라고 한다. 어떤 원소를 동치류에 대응시키는 사상 [math]\displaystyle{ \pi : S \rightarrow S/\sim , x \mapsto [x] }[/math] 을 사영(projection)이라고 한다.
간단한 예시
추상적인 위 정의를 구체적인 예시를 통해 살펴보자. 예를 들어 '같은 반' 이라는 관계를 생각해보자. 즉, x라는 학생과 y라는 학생이 있어 x~y는 "x는 y와 같은 반에 속해있다." 를 의미한다고 하자. 그렇다면 이 관계는 동치관계인가?
- 반사율
- 임의의 학생 x는 당연히 자기 자신 x와 같은 반에 속해 있다. 그러므로 반사율이 성립한다.
- 대칭률
- 임의의 학생 x, y에 대해, x가 y와 같은 반에 속해 있다면, y가 x와 같은 반에 속해 있음은 자명하다. 그러므로 대칭률도 성립한다.
- 추이율
- 학생 x, y, z가 있어서 x가 y와 같은 반에 속해있고, y가 z와 같은 반에 속해있다면, x는 z와 같은 반에 속해있다. 따라서 추이율도 성립한다.
따라서 우리가 상정한 '같은 반' 관계는 동치관계라 부를 수 있다. 또한 이 예시에서 알 수 있듯이, 동치관계는 '반'과 같은 분할 (partition)과 밀접한 연관을 가지고 있다[1]. 동치류는 바로 이 사실과 관련되는 개념이다.
각주
- ↑ 실제로 동치관계가 주어지면 분할 (partition)을 알아낼 수 있고, 분할이 주어지면 동치관계를 정의할 수 있다.