정의
[math]\displaystyle{ A\subseteq \mathbb{R} }[/math]이고 함수 [math]\displaystyle{ f_n:A\to\mathbb{R} }[/math]를 항으로 가지는 함수열 [math]\displaystyle{ (f_n) }[/math]을 생각하자. 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math]에 대해 자연수 [math]\displaystyle{ N }[/math]이 존재해 임의의 [math]\displaystyle{ x\in A }[/math]와 임의의 자연수 [math]\displaystyle{ n \gt N }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ |f_n(x) - f(x)| \lt \varepsilon }[/math]이면 [math]\displaystyle{ (f_n) }[/math]이 [math]\displaystyle{ A }[/math]에서 [math]\displaystyle{ f }[/math]에 고른수렴(uniformly converge), 평등수렴, 또는 균등수렴한다고 한다.
함수열 [math]\displaystyle{ (f_n) }[/math]이 [math]\displaystyle{ A }[/math]에서 [math]\displaystyle{ f }[/math]로 고른수렴하지 않을 필요충분조건은 [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math]이 존재해 임의의 자연수 [math]\displaystyle{ k }[/math]에 대해 점열 [math]\displaystyle{ (x_k) }[/math]와 수열 [math]\displaystyle{ (n_k) }[/math]가 존재해 [math]\displaystyle{ |f_{n_k}(x_k)-f(x_k)| \ge \varepsilon }[/math]인 것이다.
성질
- 함수열 [math]\displaystyle{ (f_n),(g_n) }[/math]이 [math]\displaystyle{ A }[/math]에서 각각 [math]\displaystyle{ f,g }[/math]로 고른수렴하면, [math]\displaystyle{ (f_n+g_n) }[/math]도 [math]\displaystyle{ A }[/math]에서 [math]\displaystyle{ f+g }[/math]로 고른수렴한다.
- 함수열 [math]\displaystyle{ (f_n),(g_n) }[/math]이 [math]\displaystyle{ A }[/math]에서 각각 [math]\displaystyle{ f,g }[/math]로 고른수렴하더라도 [math]\displaystyle{ (f_ng_n) }[/math]이 [math]\displaystyle{ A }[/math]에서 반드시 고른수렴하지는 않는다.
- 고른수렴하는 함수열은 점별수렴한다.
예시
- [math]\displaystyle{ f_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R},f_n(x)=\frac{\sin(nx+3)}{\sqrt{n+1}} }[/math]
임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ N=\left\lceil\frac{1}{\varepsilon^2}+1\right\rceil }[/math]로 두면 임의의 자연수 [math]\displaystyle{ n \gt N }[/math]에 대해
- [math]\displaystyle{ \left|\frac{\sin(nx+3)}{\sqrt{n+1}}\right| \le \frac{1}{\sqrt{n+1}}\lt \frac{1}{\sqrt{N+1}} \lt \frac{1}{\sqrt{N}} \lt \varepsilon }[/math]
- [math]\displaystyle{ f_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R},f(x)=\frac{x}{n} }[/math]
이므로 [math]\displaystyle{ f_n }[/math]은 [math]\displaystyle{ 0 }[/math]으로 고른수렴한다. 임의의 [math]\displaystyle{ x\in \mathbb{R} }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{x}{n}=0 }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ f_n(x) }[/math]는 [math]\displaystyle{ 0 }[/math]에 점별수렴함을 알 수 있다. 그러나 [math]\displaystyle{ \varepsilon = 1 }[/math], [math]\displaystyle{ n_k = k }[/math], [math]\displaystyle{ x_k = k }[/math]로 두면 [math]\displaystyle{ |f_{n_k}(x_k)-f(x_k)|=|1-0|\ge 1 }[/math]이므로 고른수렴하지 않는다.
- [math]\displaystyle{ f_n:[0,1]\to\mathbb{R},\; f(x)=x^n }[/math]
[math]\displaystyle{ x\in[0,1) }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}x^n =0 }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}1^n = 1 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ (f_n) }[/math]는
- [math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} 0,&\text{if }x\in[0,1)\\ 1,&\text{if }x=1 \end{cases} }[/math]
에 수렴한다. 그러나 [math]\displaystyle{ \varepsilon=\frac{1}{4} }[/math], [math]\displaystyle{ n_k=k+1 }[/math], [math]\displaystyle{ x_k = 1-\frac{1}{k+1} }[/math]로 두면 [math]\displaystyle{ |f_{n_k}(x_k)-f(x_k)|=\left(1-\frac{1}{k+1}\right)^{k+1}\ge \frac{1}{4} }[/math]이므로 고른수렴하지 않는다.
- [math]\displaystyle{ f_n:[0,\infty)\to\mathbb{R},\;f(x)=\frac{nx}{1+nx^2} }[/math]