토론:존재성과 유일성

유일성을 보이는 방법이 사실상 귀류법뿐인지

바로 밑의 예시 증명에서조차 귀류법을 안 쓰고 있는데, 정확히 무슨 뜻인지 궁금합니다. --휴면유동닉 (토론) 2015년 9월 15일 (화) 14:34:21 (KST)

위쪽에 귀류법을 사용한 예시가 하나 있었는데 모니위키 문법이 적용이 안돼 문단안에 끼어져 있었네요. 지금은 수정했습니다. 그리고 문서에도 나와있듯이, 귀류법을 사용한 방법과 귀류법을 사용하지 않는 방법이 "본질적으로는" 동일합니다. 귀류법을 사용하면 "해가 유일하지 않다고 가정→서로 다른 두 해를 찾을 수 있음→여러가지 해보니 두 개가 같음→근데 두개가 다르다고 했으니 모순→따라서 해가 유일"의 순서를, 귀류법을 사용하지 않은 예시는 "두 해가 있음→여러가지 해보니 두 개가 같음→따라서 해가 유일"의 논리를 따릅니다. 사실상 증명의 첫부분과 끝부분을 수식하는 문구만 달라지지 거의 똑같죠. 그리고 유일성을 보이는 방법이 하나뿐인지에 대해서는 좀 애매한데, 모든 책에서 유일성을 증명할 때 두 해가 존재한다고 시작하거든요 (귀류법과 본질적으로 동일한 방법). 다른 방법이 있다면 수정하면 되겠지만 아니라면 일단 이대로 놔둬도 될 것 같습니다. --Skim (토론) 2015년 9월 15일 (화) 22:34:24 (KST)

확인했습니다.

예를 들어 일차방정식의 해의 경우에, 실수의 trichotomy로부터 x가 실수라면 x<−2이거나 x=−2이거나 x>−2이거나 셋 중 하나임을 알 수 있습니다. 그런데 (이 중 x=−2는 해이고) 일차함수 y=2x+4는 증가함수이므로, x<−2라면 y<0이고, x>−2라면 y>0이 됩니다. 따라서 x=−2 외의 해는 없고, x=−2는 유일한 해입니다. 이렇게 귀류법을 쓰지 않고 유일성을 증명할 수 있습니다.

“두 해가 있음 → 여러가지 해보니 두 개가 같음 → 따라서 해가 유일”의 증명방법도 역시 말씀하셨듯 귀류법을 사용하지 않은 것입니다. 그런데 앞뒤에 몇 마디만 덧붙이면 귀류법을 사용하는 풀이가 됩니다. 이 둘의 본질이 같다는 점에는 동의합니다. 그러나 단지 귀류법을 사용한 이 풀이와 귀류법을 사용하지 않은 저 풀이의 본질이 같다는 것만 알 수 있다고 생각합니다. 귀류법을 사용한 풀이의 본질이 무엇이라고 해서 그 무엇이 본질적으로 귀류법이 되지는 않습니다. 즉 말씀하신 그 ‘본질’이 귀류법을 사용한 풀이에 필수적으로 들어 있기는 한데, 그렇다고 해서 그게 귀류법이 되느냐는 질문입니다.

제가 첫머리에 언급한 일차방정식의 해의 경우에도 맨 첫머리에서 “x=−2 외의 해가 존재한다고 하면 x<−2이거나 x>−2이고 …”로 시작하고, “… 따라서 모순이므로 x=−2 외의 해는 존재하지 않는다.”로 결론을 맺으면 귀류법을 사용한 풀이가 됩니다. 그렇다고 해서 저 풀이의 본질이 귀류법이 될까요? 전 좀 의문입니다.

유일성을 증명함에 있어 귀류법을 쓰는 접근이 쉽다든가, 그러한 접근이 일반적으로 통한다면 모를까, 모든 풀이가 본질적으로 귀류법이라고 하기에는 약간의 비약이 있지 않나 합니다. --휴면유동닉 (토론) 2015년 9월 15일 (화) 22:54:59 (KST)

삼분법칙을 언급하셨는데, 저는 삼분법칙이 유일성을 보인다고는 생각하지 않습니다. 삼분법칙에 의해 x가 -2라는 것은 알지만, 삼분법칙은 그냥 거기서 끝입니다. 그 뒤에 귀류법/두 해가 같음을 보임의 증명을 덧붙여야 한다고 저는 생각합니다. 즉, "삼분법칙에 의해 x=-2, 하지만 다른 해가 있는지는 모름"이라 할 수 있겠네요. 본질의 경우에는, 단어의 선택에 문제가 있는 것 같은데, "핵심 내용"은 같다고 바꾸면 될까요? 그리고 "사실상 유일" 부분은 "자주 쓰이는 방법" 정도로 바꾸고요. --Skim (토론) 2015년 9월 15일 (화) 23:00:01 (KST)

어… 제가 뭔가 실수한 것 같은 느낌이 드는데요, 한번 이렇게 말씀드려 볼게요.

우리가 귀류법이라고 하면 통상 p→q라는 명제를 보임에 있어서, i)NOT q를 가정하고 NOT p임을 보이거나 ii)p AND NOT q를 가정하고 모순임을 보이는 방법을 말하잖아요.

그러면 지금 유일성 증명에 있어서 귀류법이라고 할 때, p→q에 해당하는 명제가 무엇인지 상당히 헷갈리네요. 저는 “x≠−2이면 x는 해가 아니다” 자체가 p→q에 해당하는 명제, 즉 직접 증명하여야 할 명제라고 생각하고 있었던 것 같습니다.

아마 “x가 실수이고 2x+4=0이면 x=−2는 유일한 해이다”를 직접 증명하여야 할 명제라고 생각하셔서 “x≠−2이면 x는 해가 아니다”가 대우명제라고 생각하신 것 같습니다. 제가 제기하는 의문은 대체 이 상황에서 직접 증명하는 것은 무엇일까 하는 것입니다. 직접 증명하기 위해서는 ‘유일하다’라는 말이 어떻게든 해석이 되어야 하는데, 전 아무리 궁리해도 “x=−2는 해이고 x≠−2는 해가 아니다”라는 뜻으로밖에 해석이 안 됩니다. 그렇다면 저 명제는 사실 제대로 된 명제가 아니고, p→q 자체가 “x가 실수이면 x=−2는 2x+4=0의 해이고 x≠−2는 2x+4=0의 해가 아니다”가 아닐까요. 만약 그렇다면 “x≠−2이면 x는 해가 아니다”를 보이는 것은 어디까지나 직접 증명이지, 귀류법은 아닌 것 같은데요. 제가 뭔가 잘못 생각하고 있는 걸까요? --휴면유동닉 (토론) 2015년 9월 15일 (화) 23:27:43 (KST)

그리고 x를 ‘2x+4=0의 해’라는 뜻으로 쓴 것과 그냥 문자 x로서 쓴 것이 혼재했던 것 같은데요, 이번 말씀드리면서는 전부 그냥 문자 x로만 썼습니다. --휴면유동닉 (토론) 2015년 9월 15일 (화) 23:30:06 (KST)

방정식의 경우에는, "x=−2는 해이고 x≠−2는 해가 아니다"를 보이는 게 곧 유일성을 보이는 것이 되겠죠 (-2라는 숫자는 유일하니까). 그리고 그 증명을 귀류법을 사용하여 본문에 적어놓았습니다. 물론 이것을 직접 증명으로도 볼 수 있겠지만, 이는 보는 사람의 관점과 서술 방식의 차이라고 생각합니다. 귀류법이 아니라고 생각하시면 적절히 수정하셔도 됩니다. 그리고 제가 언급한 삼분법칙은, 해의 값의 위치를 알려주지, 해의 유일성을 알려주지 않는다는 뜻으로 말한 것이었습니다. 사실 저도 지금 굉장히 혼란스러운 상황이라... 어쨌든 제가 생각하는 유일성의 증명은 "해가 두 개가 존재한다"를 바탕으로 깔고 가는 것이었습니다. 또한, 지금 수업을 가야하기 때문에 답변을 늦게 할 것을 미리 알립니다. --Skim (토론) 2015년 9월 15일 (화) 23:37:21 (KST)

1. 본문에 적어 놓으신 증명이 직접 증명이라고 말씀드린 적은 없습니다. 귀류법이 아니라고 생각하지도 않습니다. 다만, 본문의 증명은 p→q가 2x+4=0 → x=−2임을 전제로 한 것으로 보이는데요, 증명하여야 할 명제가 “x=−2는 해이고 x≠−2는 해가 아니다”임을 전제로 한다면 올바른 증명인지조차 헷갈립니다.

2. 제가 삼분법칙만으로 증명한 게 아니고, “일차함수 y=2x+4는 증가함수이므로, x<−2라면 y<0이고, x>−2라면 y>0이 됨”을 적어 놓은 것 같은데, 이 부분이 잘 전달이 된 건지 모르겠습니다…

3. 저도 굉장히 혼란스러운데요, 다만 일반적인 경우(해를 모르는 경우)에도 ‘유일하다’라는 말을 어떻게든 해석해야 하는 것은 맞고, 제 생각에는 그 해석이 “x도 해고 y도 해라면 x=y이다”인 것으로 보이기 때문에 이것 역시 귀류법이 아니라고 주장하고 싶습니다.

4. 답변은 언제든 편할 때 해 주시기 바랍니다. 다만 제가 직접 손댈 수 있는데도(이미 꽤 손을 댄 것은 알고 계시리라 생각합니다) 게으르게 있는 것은 아니고, 저도 서술 방향이 갈피가 잘 안 잡혀서 토론에다가 말씀만 드리고 있는 것을 양해해 주시기 바랍니다 ㅠㅠ --휴면유동닉 (토론) 2015년 9월 16일 (수) 00:24:54 (KST)

존재성에 관하여

1. 24=2³·3을 제시하는 것이 왜 50점짜리 답인지 궁금합니다. 과정을 제시하지 못하기 때문이라고 하는데, 존재성이 말 그대로 존재하냐는 질문일 뿐이라면 과정을 제시할 이유가 없다고 생각합니다. 위의 2x+4=0에서도 “해가 ‘왜 존재하냐’라고 묻는다면, ‘-2를 넣어보니 되더라, 그러니까 존재해’라고 답해주면 된다.”라고 하여 과정을 묻지 않고 있는데, “‘24의 소인수분해가 왜 존재하냐?’ 라고 묻는다면 ‘24=23⋅3니까 존재해’라는 답은 50점 짜리 정답.”라고 하여 이번에만 과정을 묻는 이유가 잘 이해가 가지 않습니다. ‘왜 존재하냐’라는 질문이 서로 다른 뜻으로 쓰인 건지요? --휴면유동닉 (토론) 2015년 9월 16일 (수) 00:24:54 (KST)

2. 벡터공간의 기저… 알고리즘을 제시하면 되는 게 아니라고 하셨는데요, 좀 문제가 있지 않나요.

알고리즘이 이렇잖아요. 먼저 V=0이면 기저는 공집합이고 끝. 아니라면 non‐zero 벡터를 아무거나 하나 찾아서 v_1이라 하고, B_1={v_1}으로 놓으면 V=span(B_1)이면 끝. 아니라면 V＼span(B_1)은 공집합이 아니므로 여기 속하는 벡터 아무거나 하나 찾아서 v_2라 하고 B_2=B_1 ∪ {v_2}로 놓으면, V=span(B_2)이면 끝. 아니라면 … 이렇게 계속합니다. 만약 ‘유한 차원’이라면 유한 번 안에 끝나겠네요.

결국 문제는 유한 차원이 아닌 경우, 즉 위 알고리즘이 유한 번 안에 끝나는 경우가 아닌 경우에 발생합니다. 유한 번 안에 끝나지 않아도 끝까지 갈 수 있다고 보장해 주는 게 Zorn’s lemma인 거구요. 이것도 결국 알고리즘으로 볼 수 있는데 알고리즘으로 안 된다는 표현은 좀 문제가 있는 것 같습니다.

물론 ZF를 가정하면 벡터공간의 기저의 존재랑 AC랑 동치긴 하고, 따라서 벡터공간의 기저의 존재 자체를 공리화한 것으로 보면 이 말이 좀 안 맞기는 한데요, 앞서 말했듯 유한 차원인 경우에는 AC랑 무관한 것은 맞고, 알고리즘도 시도는 할 수 있는데 유한 번 안에 끝나지 않는다는 것이 문제였고, 유한 번 안에 끝나지 않아도 끝까지 갈 수 있다는 측면만 새로운 것으로서 공리화를 한 것으로 생각해야 자연스럽고, 아무 존재할 건덕지도 없는데 대뜸 존재성을 공리로 만들어도 되는 것처럼 해석되면 좀 곤란할 것 같습니다. --휴면유동닉 (토론) 2015년 9월 16일 (수) 01:15:07 (KST)