소수 (기수법)

Decimal, 小數

정의

실수의 일종으로, 소수점(.)이 포함되어 있는 수를 말한다. 초등학교에서 분수와 함께 배우며, 초등학생들을 숱하게 괴롭히는 개념이지만 학년이 올라갈 수록 쓰이지 않는 개념 중 하나이다.

역사

알려진 바에 의하면 최초의 소수 표기는 기원전 1세기 쯤 고대 중국에서 만들어 졌다고 한다. 이후 중동을 거쳐 유럽에 전파된 것으로 추정된다. 물론 시대가 시대인 만큼 현대인들은 알아볼 수 없는 표기를 사용하였다. 현대적 표기와 그나마 가장 가까운 형식의 소수점 표기는 16세기에 나타났다. 1530년에는 바(bar)를 사용해서 소수점 표기를 나타내었다. 1585년의 사이몬 스테빈(Simon Stevin)은 다른 표기를 사용하였는데, 이건 현대적 표기와는 많이 떨어져 있다. 그러다 시대가 흐르면서 , 또는 .로 소수점을 나타내게 되었다. 한국이나 미국에서는 .를 사용하지만, 독일과 같은 몇몇 유럽 국가에서는 ,를 사용하니 알아두자.

종류

유한 소수

소수점 아래의 숫자가 유한한 수. 유한 소수는 반드시 유리수이며, 기약분수 형식으로 나타냈을 때 분모의 약수는 2또는 5밖에 존재하지 않는다.

순환하는 무한 소수

소수점 아래의 숫자가 무한하긴 한데, 일정 단위로 반복되는 소수를 말한다. 1.2323232323... 같은 것이 그 예. 수를 표기할 때 마다 소수점 아래의 숫자를 쭉 늘어놓을 수는 없으므로 반복되는 부분위에 .이나 -를 그어 나타낸다. [math]\displaystyle{ 1.\dot{2}\dot{3},\,1.\overline{23} }[/math]과 같이. 점이나 바가 없는 부분은 반복되는 부분이 아니므로 주의.

순환하는 무한 소수는 유리수이며, 기약분수 형식으로 나타냈을 때 분모의 약수에 2나 5가 아닌 다른 숫자가 들어간다. 순환하는 무한 소수를 분수로 바꾸는 방법은 무한급수를 사용한다. 즉, [math]\displaystyle{ 1.\overline{23} }[/math]은 [math]\displaystyle{ 1+\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{23}{100}\right)^{-2n} }[/math]가 되며, 계산하면, [math]\displaystyle{ 1+\frac{23/100}{1-1/100}=1+\frac{23}{99}=\frac{122}{99} }[/math]가 된다.

초등학교에서는 약간 편법을 쓰기도 하는데, 방법은 다음과 같다.

[math]\displaystyle{ \begin{align*}x&=1.2323\cdots \\100x &=123.2323\cdots\end{align*} }[/math].
두 식을 빼면, [math]\displaystyle{ 99x=122,\,x=\frac{122}{99} }[/math]

아예 이런 계산 자체가 들어가지 않는 편법도 존재한다.

1. 정수 부분을 제외하고, 순환하는 숫자 개수 만큼 9를, 순환하지 않는 숫자 개수 만큼 0을 분모에 넣는다.
2. 소수점을 무시하고, "전체수 - 순환하지 않는 부분"을 분자에 넣는다.

[math]\displaystyle{ 1.2\overline{34} }[/math]를 예시로 들면, 순환하는 숫자 개수가 2개, 순환하지 않는 숫자가 1개 이므로 분모에 990를, 분자에는 1234-12=1222를 넣어 [math]\displaystyle{ \frac{1222}{990} }[/math]가 답이 된다.

순환하지 않는 무한 소수

소수점 아래의 숫자가 무한하며, 순환하는 부분도 없는 수. 참고로 이게 규칙성이 없다는 뜻은 아니다. 1.12345678910111213... 같은 경우는 규칙성이 눈에 띄지만 순환하지 않는다. 이러한 수는 전부 무리수이며, 가장 대표적인 예는 원주율이나 자연상수가 있다.

다른 진법

일반적으로 소수라 하면 10진법에서의 소수만을 생각하지만, 다른 진법에서도 소수는 존재한다. 10진법 소수를 무한 급수를 사용하여 정의하면,

[math]\displaystyle{ a_0+\sum_{i=1}^{\infty}\frac{a_i}{10^i},\quad a_0\in\mathbb{Z},\,a_i\in\left\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\}\left(i\in\mathbb{N}\right) }[/math]

이므로, 이를 활용하여 n진법 소수를 정의하면,

[math]\displaystyle{ a_0+\sum_{i=1}^{\infty}\frac{a_i}{n^i},\quad a_0 }[/math]은 n진법 정수, [math]\displaystyle{ a_i\in\left\{0,1,2,\cdots,n-1\right\}\left(i\in\mathbb{N}\right) }[/math]

이다.

예시로, 2진법 수 1.011을 10진법으로 바꾼다 생각하자. 그럼, [math]\displaystyle{ 1.011_{\left(2\right)}=1+\frac{0}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}=1+0.25+0.125=1.375 }[/math]가 된다.

0.999...=1

수학계의 영원한 떡밥(?) 결론부터 말하면, 수학적으로 0.999...=1은 참이다. 이걸 잘 이해 못하는 이유는 무한이라는 개념을 직관적으로 이해하기 어렵기 때문. 이에 대한 병림픽을 보고 싶으면 디시위키의 해당 항목을 참조하자.