정의
군 G의 부분군을 N이라고 하자. 임의의 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]에 대해
- [math]\displaystyle{ gN=Ng }[/math]
면 N을 G의 정규부분군(Normal subgroup)이라 한다. 이때 [math]\displaystyle{ gN,Ng }[/math]는 각각 N의 좌잉여류(left coset)와 우잉여류(right coset)를 나타낸다. 이 정의는 절대 임의의 [math]\displaystyle{ n\in N }[/math]에 대해서 [math]\displaystyle{ gn=ng }[/math]임을 뜻하는 것이 아니다!
다음 명제는 서로 동치이다.
- N은 G의 정규부분군이다.
- [math]\displaystyle{ g^{-1}Na=\{g^{-1}ng\vert n\in N\} }[/math]으로 정의하면, 임의의 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a^{-1}Na\subseteq N }[/math]이다.
- [math]\displaystyle{ gNg^{-1}=\{gng^{-1}\vert n\in N\} }[/math]으로 정의하면, 임의의 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ aNa^{-1}\subseteq N }[/math]이다.
- 임의의 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ g^{-1}Ng= N }[/math]이다.
- 임의의 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ gNg^{-1}= N }[/math]이다.
예시
- 아벨군의 경우에는 교환법칙이 성립하므로 모든 부분군이 정규부분군이다.
- [math]\displaystyle{ \operatorname {SL}(V)\trianglelefteq\operatorname {GL}(V) }[/math], [math]\displaystyle{ \operatorname {SO}(n)\trianglelefteq\operatorname {O}(n) }[/math], [math]\displaystyle{ \operatorname {SU}(n)\trianglelefteq\operatorname {U}(n) }[/math]
- [math]\displaystyle{ A_n \trianglelefteq S_n }[/math] [1]
성질
- 정규부분군의 정규부분군은 정규부분군이 아니다.
- 그러나, [math]\displaystyle{ N\le H\le G }[/math]이고 [math]\displaystyle{ N\trianglelefteq G }[/math]이면 [math]\displaystyle{ N\trianglelefteq H }[/math]이다.
- 정규부분군의 교집합은 정규부분군이다. 즉, N과 K가 G의 정규부분군이면, [math]\displaystyle{ N\cap K }[/math]는 G의 정규부분군이다.
- N과 K가 G의 정규부분군이면, 집합 [math]\displaystyle{ NK=\{nk\vert n\in N \land k\in K\} }[/math][2]는 G의 정규부분군이다.
- N이 지표(index)가 2[3]인 G의 부분군이면, N은 G의 정규부분군이다.
- 함수 [math]\displaystyle{ f:G\to H }[/math]가 군 준동형사상이라고 하자. 그러면 f의 핵 [math]\displaystyle{ \ker f }[/math]는 G의 정규부분군이다.