거듭제곱

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거듭제곱(Exponentiation)은 하나의 를 여러 번 곱하는 이항연산을 의미한다. 기호로는 [math]\displaystyle{ a^n }[/math]으로 표기하며, 이때 a를 밑, n을 지수라고 한다. 예를 들어

[math]\displaystyle{ 2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2\times 2=32 }[/math]

이다.

거듭제곱의 확장

정수 거듭제곱

지수가 0인 경우, [math]\displaystyle{ a\ne 0 }[/math]의 거듭제곱은

[math]\displaystyle{ a^0=1 }[/math]

으로 정의한다. 그리고 지수가 음수일 경우 거듭제곱은

[math]\displaystyle{ a^{-n}=\frac{1}{a^n} }[/math]

으로 정의한다.

유리수 거듭제곱

실수 거듭제곱

어떤 실수[math]\displaystyle{ b }[/math]가 있다고 하자. 유리수의 집합([math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math])은 실수의 집합([math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math])의 조밀 집합이다. 이 때문에, [math]\displaystyle{ b }[/math]로 수렴하는 유리수의 수열 [math]\displaystyle{ \{ b_i \} }[/math]가 존재한다. 그리고 유리수 제곱은 앞에 나온 대로 할 수 있다. 그러면 [math]\displaystyle{ \{ a^{b_i} \} }[/math]라는 수열을 얻을 수 있고, 이 값은 [math]\displaystyle{ a^b }[/math]로 수렴한다.

예로 [math]\displaystyle{ 2^{\sqrt{2}} }[/math]를 계산해 보자. [math]\displaystyle{ \sqrt{2} = 1.41421356... }[/math]이다. 유리수 수열 [math]\displaystyle{ \left \{ \frac{14}{10}, \frac{141}{100}, \frac{1414}{1000}, \frac{14142}{10000} ... \right \} }[/math]을 생각할 수 있다. 그러면

  • [math]\displaystyle{ 2^{\frac{14}{10}} = 2.6390158215... }[/math]
  • [math]\displaystyle{ 2^{\frac{141}{100}} = 2.6573716282... }[/math]
  • [math]\displaystyle{ 2^{\frac{1414}{1000}} = 2.6647496502... }[/math]
  • ...

등등의 식으로 계속 어떤 수로 수렴할 것이다. 그 수를 [math]\displaystyle{ 2^{\sqrt{2}} }[/math]로 나타낸다.

일반화

행렬

행렬 A자연수 n에 대해 행렬의 거듭제곱을 다음과 같이 정의한다.

[math]\displaystyle{ A^2=AA,\; A^3=A^2A,\; A^4=A^3A,\;\cdots,\;A^{n+1}=A^nA }[/math]

지수가 0일 경우

[math]\displaystyle{ A^0=I }[/math]

로, 지수가 음수일 경우

[math]\displaystyle{ A^{-n}=(A^{-1})^n }[/math]

로 정의한다.

같이 보기

각주