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| [[/0]] | | *[[/0]]: incidence geometry |
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| | *[[/1]]: brun's thm |
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| = [[브룬 정리]] =
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| '''브룬 정리'''(Brun's theorem), 또는 '''브룬 추측'''(Brun's conjecture)은 쌍둥이 소수의 역수의 합들을 모두 더한 것이 수렴한다는 정리이다. 이 수렴값은 '''브룬 상수'''(Brun's constant)로 불리우며 보통 <math>B_2</math>로 표기한다.
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| == 진술 ==
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| <math>p_1, p_2, \cdots </math>를 쌍둥이 소수 중 작은 수라 하자. 즉 <math>p_i\in\mathbb P \wedge (p_i+2)\in\mathbb P</math>를 만족한다고 하자. 그렇다면 다음 [[급수]]가 수렴한다:
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| <div align=center><math>\sum_{i=1}^\infty \left(\frac{1}{p_i} + \frac{1}{p_i + 2}\right) = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7}\right) +\left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right) +\cdots < \infty</math></div>
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| == 증명 ==
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| 이하 쌍둥이 소수 세기 함수를 <math>\pi_2 (x) = \# (p: \, p\le x \wedge p \in \mathbb P \wedge (p+2) \in\mathbb P)</math>로 정의한다.
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| {{숨기기|'''Lemma.''' <math>\pi_2 (x) < \frac{x (\log \log x)^2}{(\log x)^2}</math>|증명들}}
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| 이 Lemma를 이용하면, 쉽게 Brun의 정리를 증명할 수 있다. <math>\pi_2 (x) <\frac{x (\log \log x)^2}{(\log x)^2}< \frac{x}{(\log x)^{3/2}}</math> for all <math>x\ge 2</math>이므로 <math>n = \pi_2(p_n) < \frac{p_n}{(\log p_n)^{3/2}} \le \frac{p_n}{(\log n)^{3/2}}</math> for <math>n\ge 2</math>이다. 따라서 <math>\frac 1 {p_n} < \frac 1 {n(\log n)^{3/2}}</math> for <math>n\ge 2</math>이고,
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| <div align=center><math>\sum_{n\ge 1}\left(\frac{1}{p_n}+\frac{1}{p_n + 2}\right) < \frac{16}{15} + 2\sum_{n\ge 2}\frac{1}{p_n} < \frac{16}{15} + 2 \sum_{n\ge 2} \frac 1 {n(\log n)^{3/2}}<\infty</math></div>
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| 으로 증명이 완료된다.
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| == 브룬 상수의 값 ==
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| Brun 상수의 정확한 값은 '''알려진 바가 없다.''' 2002 년에 Pascal Sebah와 Patrick Demichel이 10<sup>16</sup> 정도까지의 소수의 역수의 합을 구하여 [[외삽법]]을 이용하여 추정한 Brun 상수의 값은 약 1.902160583104이다. Dominic Klyve은 [[확장된 리만 가설]]을 이용하여 <math>B_2 < 2.1754</math>임을 증명하였다.
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| == 쌍둥이 소수 추측과의 관계 ==
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| 비록 Brun의 정리가 놀라운 결과이기는 하지만, 안타깝게도 쌍둥이 추측에는 '''거의 영향을 주지 못한다.''' 물론 쌍둥이 소수의 빈도가 갈수록 작아진다는 것을 보여주기는 하지만, 이것이 쌍둥이 소수 추측을 증명하거나 반증할 수 없다. {{--|수해라 일학자!}}
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