가우스 법칙

틀:토막글 Gauss's law

개요

가우스 법칙은 폐곡면을 통과하는 전기 선속이 폐곡면 내의 알짜 전하량에 비례한다는 법칙이다. 맥스웰 방정식의 하나이다.

식으로는 다음과 같이 나타난다.

[math]\displaystyle{ \Phi_E = \oint_{\partial V} \vec E \cdot \mathrm{d} \vec A = \frac{Q_{\textrm{enc}}}{\epsilon_0} = \frac{1}{\epsilon_0} \int_V \rho \, \mathrm{d} V }[/math]

이때 \(\epsilon_0\)은 자유 공간 유전율(permittivity of free space)이다. 미분형식으로는 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

[math]\displaystyle{ \nabla \cdot \mathbf{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0} }[/math]

이때 \(\rho\)는 전하밀도이다.

전기 선속

전기 선속(electric flux)은 전기 다발 등으로도 불리는, 어떤 가상의 곡면을 통과하는 전기장의 세기를 나타내는 물리량이다. 간단히 어떤 면을 통과하는 전기력선의 개수라고 이해해도 좋다.

전기 선속 [math]\displaystyle{ \Phi_E }[/math]는 다음과 같이 나타난다.

[math]\displaystyle{ \Phi_E = \vec E \cdot \vec A }[/math]

[math]\displaystyle{ \vec A = A\hat n }[/math]는 면적벡터로, 면의 넓이만큼의 크기와 면에 수직한 방향을 가지는 벡터이다. 면에 수직한 방향은 두 개 있는데, 닫힌 면에서는 바깥으로 나가는 방향으로 정의한다.

기타

가우스 법칙은 쿨롱 법칙에서 유도할 수 있다.

따라서, 쿨롱 힘처럼 크기가 거리의 제곱에 반비례하는 다른 중심력에 관해서도 유사한 법칙이 성립하는데, 이들 역시 널리 가우스 법칙이라고 부르기도 한다. 즉 ‘자기장에 관한 가우스 법칙’, ‘중력장에 관한 가우스 법칙’ 따위이다.