토론:부분군 판정법

유한군의 부분군 판정법에 관해

[math]\displaystyle{ a \in H }[/math]이겠죠? 그리고 e_G가 H에 있는지 아직 모르는 거 아닌가요~

그냥 a를 왼쪽에 곱하는 함수 [math]\displaystyle{ \lambda_a }[/math]가 H의 원소를 permute하므로(∵ 곱셈에 대해 닫혀 있고, 유한집합임), [math]\displaystyle{ \left(\lambda_a\right)^{-1} a \in H }[/math]가 e_G이고, [math]\displaystyle{ \left(\lambda_a\right)^{-1} e_G \in H }[/math]가 a의 역원이라고 하면 안 되나요… --휴면유동닉 (토론) 2015년 9월 5일 (토) 02:59:11 (KST)

증명에 미비한 부분이 있었네요. 증명의 내용을 보존한다는 전제 아래 한줄씩 보충하면 될 것 같습니다. [math]\displaystyle{ a\in H }[/math]임을 명시하고 [math]\displaystyle{ a^i=a^j }[/math]인 서로 다른 [math]\displaystyle{ i,j\in \mathbb{N} }[/math]가 존재한다던가 하는 식으로요.

\(H\)의 원소를 permute하므로...의 설명이 무엇을 뜻하는지 전체적으로 이해가 안 갑니다. 가령 \(\lambda_a\)를 설정한다는 게 매우 생소한데, 임의의 [math]\displaystyle{ x\in H }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \lambda_a(x)=ax }[/math]를 뜻하는 건가요? 좀 더 자세히 설명해주시면 감사하겠습니다. -- Hwangjy9 (토론) 2015년 9월 5일 (토) 07:44:09 (KST)

지금 봤네요. [math]\displaystyle{ a \in H }[/math]에 대해 a를 왼쪽에 곱하는 함수 [math]\displaystyle{ \lambda_a : H \to H,\; x \mapsto ax }[/math]를 생각합니다(H가 곱셈에 대해 닫혀 있으므로 공역을 그냥 H로 써도 되겠지요). 이 함수는 당연히 단사함수이고(ax=ay를 G의 등식으로 생각하고 a를 소거하면 됩니다), H는 유한집합이므로 이 함수는 전단사함수입니다. [math]\displaystyle{ \lambda_a }[/math]가 H에서 H로 가는 전단사함수라는 것을 다른 말로 H의 원소를 permute한다고 하는 걸로 알고 있습니다. 어쨌건, 따라서 [math]\displaystyle{ \lambda_a }[/math]의 역함수를 생각할 수 있습니다.

이제 [math]\displaystyle{ \left(\lambda_a\right)^{-1} a \in H }[/math]를 생각해 보면, G의 등식 [math]\displaystyle{ a \left(\lambda_a\right)^{-1} a = a = a e_G }[/math]에서 a를 소거하면 [math]\displaystyle{ \left(\lambda_a\right)^{-1} a = e_G \in H }[/math]임을 알 수 있습니다.

마찬가지 방법으로 [math]\displaystyle{ \left(\lambda_a\right)^{-1} e_G \in H }[/math]는 a의 역원인 점도 알 수 있습니다. --휴면유동닉 (토론) 2015년 9월 29일 (화) 03:01:49 (KST)

그러니까 현재 증명의 대의가 결국 곱셈에 대해 닫혀 있고 유한집합이니까 a를 계속 곱하다 보면 언젠가 e_G가 나온다는 거잖아요. 근데 계속 곱한다는 걸 생각하기가 귀찮아서, 그냥 각 원소에 대해 a를 한 번만 곱하는 화살표를 생각한 겁니다. a를 계속 곱하는 건 결국 이 화살표를 여러 번 따라가는 거랑 같은 거잖아요. --휴면유동닉 (토론) 2015년 9월 29일 (화) 03:07:11 (KST)

이제 대안을 대강 이해할 것 같네요. "H의 원소를 permute한다"는 표현을 그대로 쓰는 것보다는 말씀해주신 "\(\lambda_a\)가 전단사함수(또는 일대일 대응)이므로"라는 표현이 더 쉬울 것 같아요. 생각해봤는데, 하나의 증명만 남겨두는 것보다는 여러 증명 방법을 '증명 1', '증명 2', ... 로 두는 것이 좋지 않을까 하는데 어떤가요? -- Hwangjy9 (토론) 2015년 9월 29일 (화) 12:11:19 (KST)

네. 타당한 것 같습니다. 그러면 현재 증명에 대해 [math]\displaystyle{ a \in H }[/math]라는 점이라든가 (아마 제 생각에는 2단계 부분군 판정법에도 불구하고 [math]\displaystyle{ e_G \in H }[/math]를 먼저 설명하지 않으면 [math]\displaystyle{ a^{n-1} \in H }[/math]이 a의 G에서의 역원이라는 점을 설명하기 매우 곤란할 것 같은데) [math]\displaystyle{ e_G \in H }[/math]라는 점 등 필요한 가필을 완료해 주시면 그 다음에 제가 제 증명을 추가해 보도록 할까요? --휴면유동닉 (토론) 2015년 9월 29일 (화) 13:17:15 (KST)