미분방정식

틀:학술 관련 정보 微分方程式, Differential Equation.

개요

미분방정식은 변수, 함수, 도함수가 포함된 방정식을 말한다. 미방으로 많이 줄여 부르며 영어로는 DE라고 한다.

용어와 개념

상미분방정식과 편미분방정식

상미분방정식

Ordinary Differential Equation. 흔히 ODE라고 줄여 부른다. 독립변수가 한 개인 미분방정식을 말한다.

편미분방정식

Partial Differential Equation. 흔히 PDE라고 줄여 부른다. 두개 이상의 독립변수와 이들의 편미분 도함수가 포함된 방정식을 말한다.

계와 차수

계

미분방정식에 포함된 도함수 중 가장 많이 미분된 숫자를 미분방정식의 계(order)라고 한다.

차수

미분방정식에 포함된 도함수 중 가장 높은 계의 도함수의 차수(거듭제곱한 수)를 미분방정식의 차수라고 한다.

예

• [math]\displaystyle{ y'' +3xy +72 = 0 }[/math] 는 이계 일차미분방정식이다.
• [math]\displaystyle{ \left({d^2y \over dx^2}\right)^3 - \left({dy \over dx}\right)^{72} = \sin^{14} x }[/math] 은 이계 삼차미분방정식이다.

선형과 비선형

선형

미지함수에 관해 선형인 미분방정식을 선형미분방정식이라고 한다. 보통 나타나는 편미분방정식은 선형인 경우가 많다. 미지함수와 그 도함수들이 모두 일차이면 선형이다.

제차와 비제차

선형미분방정식 중, 미지함수를 포함하지 않은 항이 0일 경우 제차, 혹은 동차라고 한다. 그렇지 않은 경우 비제차, 혹은 비동차라고 한다.

비선형

선형이 아닌 미분방정식을 비선형미분방정식이라고 한다. 미지함수나 그 도함수가 이차 이상이거나 비선형함수 안에 있을 경우, 혹은 계수가 미지함수를 포함할 경우 비선형이다.

예

• [math]\displaystyle{ \sin x {d^2y \over dx^2} + 2xy = 0 }[/math] 은 선형 제차 미분방정식이다.
• [math]\displaystyle{ {dy \over dx} + y = 72 }[/math] 는 선형 비제차 미분방정식이다.
• [math]\displaystyle{ \sin \left({dy \over dx} \right) + y = x }[/math] 는 비선형 미분방정식이다.
• [math]\displaystyle{ xyy' + y = x }[/math] 는 비선형 미분방정식이다.

미분방정식의 해

특수해, 일반해, 특이해

미분방정식의 해는 함수인데, 보통 하나만 있지 않다. 그래서 어떤 임의의 매개변수를 이용해 그 해들을 나타낸다.

• 특수해 : 미분방정식을 만족하고, 임의의 매개변수를 포함하고 있지 않는 함수.
• 일반해 : 매개변수를 통해 여러 개의 특수해를 나타낸 것.
• 특이해 : 어떤 특수해가 일반해로 표현되지 않는 것. 일반해를 어떻게 잡느냐에 따라 상대적인 개념이다.

예

[math]\displaystyle{ y' + 2y^{3 \over 2} = 0 }[/math] 라는 미분방정식에 대해,
[math]\displaystyle{ y = {1 \over (x+c)^2} }[/math] 은 일반해이다. 그런데, [math]\displaystyle{ y = 0 }[/math]의 경우 이 일반해로는 표현되지 않지만 주어진 미분방정식을 만족한다.
즉, [math]\displaystyle{ y = 0 }[/math] 은 이 일반해에 대한 특이해이다.

초깃값 문제와 경곗값 문제

깃과 곗이 어색해보일 수 있지만 보다보면 정이 든다.

[math]\displaystyle{ n }[/math]계 상미분방정식의 일반해는 [math]\displaystyle{ n }[/math]개의 임의의 매개변수를 포함하고 있다. 특수해를 얻기 위해서는 추가적인 조건이 필요하다. 이러한 조건으로 초기 조건과 경계 조건이 있다.

초깃값 문제

미분방정식에 독립변수의 한 값에 대한 조건만 부여된 경우에 이 조건을 초기 조건(initial condition)이라 한다. 초기 조건을 가진 미분방정식을 초깃값 문제(initial value problem)라고 한다.

경곗값 문제

미분방정식에 독립변수의 두 개 이상의 값에 대한 조건이 부여된 경우에 이 조건을 경계 조건(boundary condition)이라 한다. 경계 조건을 가진 미분방정식을 경곗값 문제(boundary value problem)라고 한다.

2계 미분방정식의 경계조건은 일반적으로

[math]\displaystyle{ \alpha_1 y(a) + \beta_1 y'(a) = \gamma_1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \alpha_2 y(b) + \beta_2 y'(b) = \gamma_2 }[/math]

와 같이 주어진다.

예

• [math]\displaystyle{ y' -2xy = 3, y(0) = 1 }[/math] 은 초깃값 문제이다. [math]\displaystyle{ y(0) = 1 }[/math]을 초기 조건이라고 부른다.
• [math]\displaystyle{ y'' -3y' - y = 0, y(1) = 1, y'(1) = -1 }[/math] 은 초깃값 문제이다.
• [math]\displaystyle{ y'' -34y' - 2xy = x^2, y(0) = 1, y(2) =4 }[/math] 는 경곗값 문제이다. [math]\displaystyle{ y(0) = 1, y(2) =4 }[/math]를 경계 조건이라고 부른다.

유명한 미분방정식

맬서스 인구 성장 모형

1798년 영국의 경제학자 맬서스에 의해 제시된 인구 성장 모형. 특정 시점의 한 나라 인구 성장률이 그 시점의 그 나라 총 인구수에 비례한다는 가정에 따라 구성되었다. 시간 [math]\displaystyle{ t }[/math]에서의 총 인구수를 [math]\displaystyle{ P(t) }[/math]라고 하면 다음과 같이 나타난다.
[math]\displaystyle{ {dP(t) \over dt} = rP(t) }[/math]
여기서 r은 내적 증가율이라고 부르는 비례 상수이다. 이 미분방정식은 후술할 변수분리법으로 풀 수 있고, 일반해는
[math]\displaystyle{ P(t) = e^{rt+c} }[/math] 이다.

스프링에 의한 단순 조화 운동

스프링에 물체를 매달아 당긴 후 놓으면, 물체는 계속해서 왕복운동을 하게 된다. 공기저항이나 마찰력과 같은 힘이 작용하지 않으면 일정한 진폭으로 무한히 왕복하게 되는데, 이를 단순 조화 운동이라고 한다.
스프링이 평형점에서부터 [math]\displaystyle{ x }[/math]만큼 늘어나거나 압축되었을 때 작용하는 복원력은 훅의 법칙에 따라
[math]\displaystyle{ F = -kx }[/math]이다. [math]\displaystyle{ F = ma = m{d^2x \over dt^2} }[/math] 이므로,
[math]\displaystyle{ -kx = {d^2x \over dt^2} }[/math] 이고, 이를 다시 쓰면
[math]\displaystyle{ m{d^2x \over dt^2} + kx = 0 }[/math] 이다. 이 이계미분방정식을 풀어주면
[math]\displaystyle{ x(t)=c_1 \cos \omega t + c_2 \sin \omega t, \omega = \sqrt{k \over m} }[/math] 이 된다.
삼각함수의 합성공식을 이용해서 한번 더 정리해주면
[math]\displaystyle{ x(t) = A \cos(\omega t - \phi), A=\sqrt{c_1^2+c_2^2}, \phi = \tan^{-1} \left({c_2 \over c_1} \right) }[/math]이고, [math]\displaystyle{ A }[/math]는 최대 진폭, [math]\displaystyle{ \psi }[/math]는 위상각이라 한다.

미분방정식의 해법

선형 상미분방정식

1계 상미분 방정식

변수분리형 미분방정식

1계 미분방정식의 형태가 [math]\displaystyle{ {dy \over dx} = {g(x) \over h(y)} }[/math] 와 같이 주어졌을 때, 그 미분방정식을 변수분리형 미분방정식(separable differential equation)이라고 한다. 이러한 미분방정식은 다음과 같이 정리할 수 있다.
[math]\displaystyle{ h(y)dy = g(x)dx }[/math]
양변을 적분해주면
[math]\displaystyle{ \int h(y)\, dy = \int g(x)\, dx + c }[/math] 가 된다.

예

앞서 소개한 인구 모형 [math]\displaystyle{ {dP(t) \over dt} = rP(t) }[/math] 를 풀어보자. 이 식을 적절히 정리해 주면,
[math]\displaystyle{ {1 \over P(t)} dP(t) = rdt }[/math] 가 된다. 적분해주면,
[math]\displaystyle{ \ln|P(t)| = rt + c }[/math] 이고, 다시 정리해
[math]\displaystyle{ P(t) = e^{rt + c} }[/math] 를 얻을 수 있다. (인구는 항상 양수)
여기서 처음의 인구를 나타내는 초기조건 [math]\displaystyle{ P(0) = P_0 }[/math]를 적용해 보자.
[math]\displaystyle{ P(0) = e^c = P_0 }[/math] 이므로,
[math]\displaystyle{ P(t) = P_0e^{rt} }[/math] 라는 특수해를 얻는다.

완전 미분방정식

이변수함수 [math]\displaystyle{ f(x, y) }[/math]의 전미분은
[math]\displaystyle{ df = {\partial f \over \partial x}dx + {\partial f \over \partial y}dy }[/math] 이다. [math]\displaystyle{ \partial }[/math]는 편미분 기호로, 항목을 참조하라.

1계 미분방정식 [math]\displaystyle{ M(x, y) + N(x, y){dy \over dx} = 0 }[/math] 의 양변에 dx를 곱하면
[math]\displaystyle{ M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 }[/math] 이고,
이 미분방정식의 좌변이 위의 [math]\displaystyle{ df }[/math], 즉 어떤 함수의 전미분이 될 때, 이 미분방정식을 완전 미분방정식이라고 한다.

이 미분방정식을 풀어보자.
[math]\displaystyle{ M(x, y) = {\partial f \over \partial x} }[/math] 이므로 양변을 적분해주면,
[math]\displaystyle{ \int M(x, y) \, dx + h(y) = f }[/math] 이다. 여기서는 편미분에 무참히 갈려나갔던 [math]\displaystyle{ y }[/math]의 함수가 적분상수가 된다.
이 함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]는 [math]\displaystyle{ {\partial f \over \partial y} = N(x, y) }[/math]도 만족하므로, [math]\displaystyle{ y }[/math]에 대해 편미분해주면,
[math]\displaystyle{ N(x , y) = {\partial f \over \partial y} = {\partial \over \partial y} \int M(x, y) \, dx + h'(y) }[/math] 이 성립할 것이다. 즉 [math]\displaystyle{ h(y) }[/math]는 다음 조건을 만족하는 함수이다.
[math]\displaystyle{ h'(y) = N(x, y) - {\partial \over \partial y} \int \, M(x,y) dx }[/math]
이를 [math]\displaystyle{ y }[/math]에 대해 잘 적분해 [math]\displaystyle{ h(y) }[/math]를 구하고,
[math]\displaystyle{ \int M(x, y) \, dx + h(y) = f }[/math]에 다시 대입해 주면 [math]\displaystyle{ f(x, y) }[/math]를 구할 수 있다.

완전미분 여부 확인

이쯤 되면 한가지 의문이 떠오를 텐데, 아니면 말고 도대체 저게 완전 미분방정식인지 어떻게 안단 말인가? 그 답으로, 다음과 같은 정리가 있다.

[math]\displaystyle{ M(x, y) }[/math] 와 [math]\displaystyle{ N(x, y) }[/math]가 연속이고 일계 편도함수를 가질 때,
[math]\displaystyle{ M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 }[/math] 이 완전미분방정식이기 위한 필요충분조건은 [math]\displaystyle{ {\partial M \over \partial y} = {\partial N \over \partial x} }[/math] 이다.

== 필요조건 ==

[math]\displaystyle{ M(x, y) dx + N(x, y) dy }[/math] 가 어떤 함수[math]\displaystyle{ f }[/math]의 전미분이라고 가정하면,
[math]\displaystyle{ M(x, y) = {\partial f \over \partial x}, N(x, y) = {\partial f \over \partial y} }[/math]를 만족한다.
[math]\displaystyle{ f(x, y) }[/math]의 이계 편도함수가 존재하고 연속이면 [math]\displaystyle{ {\partial \over \partial y} \left( {\partial f \over \partial x} \right) = {\partial \over \partial x} \left( {\partial f \over \partial y} \right) }[/math]를 만족하므로,
[math]\displaystyle{ {\partial M \over \partial y} = {\partial \over \partial y} \left( {\partial f \over \partial x} \right) = {\partial \over \partial x} \left( {\partial f \over \partial y} \right) = {\partial N \over \partial x} }[/math] 임을 알 수 있다.

비선형 상미분방정식

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편미분방정식(PDE)

Partial Differential Equation 독립변수가 여러 개인 미분방정식.

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