무한급수의 수렴판정법

개요

이 문서에서는 무한급수의 수렴판정법에 대해 다룬다.

수렴판정법 목록

일반항 판정법

무한급수 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]이 수렴하면, [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n=0 }[/math]이다.

여기까지는 고등학생도 알고 있다. 증명은 못 하지만.

일반항의 극한이 0이 아니면 무한급수가 수렴하지 않는다는 사실을 알 수 있다. 여기서 아웃된걸 괜히 다른 판정법으로 귀찮게 풀지 말자.

비교판정법

수열 [math]\displaystyle{ (a_n),(b_n) }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ 0\le a_n \le b_n }[/math]일 때,

• [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}b_n }[/math]이 수렴하면, [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]은 수렴한다.
• [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]이 발산하면, [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}b_n }[/math]은 발산한다.

멱근판정법

수열 [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a_n \ge 0 }[/math]이라고 하자.

[math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=r }[/math]

로 정의했을 때,

• [math]\displaystyle{ r\lt 1 }[/math]이면 수렴하고,
• [math]\displaystyle{ r\gt 1 }[/math]이면 발산한다.

비율판정법

수열 [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a_n \gt 0 }[/math]이라고 하자. 임의의 자연수 n과 [math]\displaystyle{ 0 \lt r \lt 1 }[/math]에 대해

• [math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}\le r }[/math]이면, [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]은 수렴한다.
• [math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}\gt 1 }[/math]이면, [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]은 발산한다.

적분판정법

연속함수 [math]\displaystyle{ f:[1,\infty)\to\mathbb{R} }[/math]가 감소함수이고 임의의 [math]\displaystyle{ x\in [1,\infty) }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ f(x)\gt 0 }[/math]라고 하자. [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}f(n) }[/math]가 수렴할 필요충분조건은 [math]\displaystyle{ \int_1^{\infty}f(x)dx }[/math]가 수렴하는 것이다.

교대급수판정법

수열 [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a_n \gt 0 }[/math]이라고 하자. 임의의 자연수 n에 대해 [math]\displaystyle{ a_n \ge a_{n+1} }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n=0 }[/math]이면, 교대급수

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}a_n }[/math]

는 수렴한다.

디리클레 판정법

수열 [math]\displaystyle{ (a_n),(b_n) }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ (b_n) }[/math]이 단조감소하고 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}b_n=0 }[/math]이며, 양수 M이 존재해 임의의 자연수 n에 대해 [math]\displaystyle{ \left|\sum_{i=1}^n a_i\right|\le M }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n }[/math]은 수렴한다.

외부 링크

• 제11강 급수의 수렴판정