미분방정식: 두 판 사이의 차이

2015년 6월 18일 (목) 20:37 판

틀:학술 관련 정보 微分方程式, Differential Equation.

개요

미분방정식은 변수, 함수, 도함수가 포함된 방정식을 말한다. 미방으로 많이 줄여 부르며 영어로는 DE라고 한다.

용어와 개념

상미분방정식과 편미분방정식

상미분방정식

Ordinary Differential Equation. 흔히 ODE라고 줄여 부른다. 독립변수가 한 개인 미분방정식을 말한다.

편미분방정식

Partial Differential Equation. 흔히 PDE라고 줄여 부른다. 두개 이상의 독립변수와 이들의 편미분 도함수가 포함된 방정식을 말한다.

계와 차수

계

미분방정식에 포함된 도함수 중 가장 많이 미분된 숫자를 미분방정식의 계(order)라고 한다.

차수

미분방정식에 포함된 도함수 중 가장 높은 계의 도함수의 차수(거듭제곱한 수)를 미분방정식의 차수라고 한다.

예

[math]\displaystyle{ y'' +3xy +2 = 0 }[/math] 는 이계 일차미분방정식이다.
[math]\displaystyle{ \left({d^2y \over dx^2}\right)^3 - \left({dy \over dx}\right)^7 = \sin^{14} x }[/math] 은 이계 삼차미분방정식이다.

선형과 비선형

선형

미지함수에 관해 선형인 미분방정식을 선형미분방정식이라고 한다. 보통 나타나는 편미분방정식은 선형인 경우가 많다. 미지함수와 그 도함수들이 모두 일차이면 선형이고, 이차 이상이거나 비선형함수 안에 있을 경우, 혹은 계수가 미지함수를 포함할 경우 비선형이다.

제차와 비제차

선형미분방정식 중, 미지함수를 포함하지 않은 항이 0일 경우 제차, 혹은 동차라고 한다. 그렇지 않은 경우 비제차, 혹은 비동차라고 한다.

예

[math]\displaystyle{ \sin x {d^2y \over dx^2} + 2xy = 0 }[/math] 은 선형 제차 미분방정식이다.
[math]\displaystyle{ {dy \over dx} + y = 23 }[/math] 는 선형 비제차 미분방정식이다.
[math]\displaystyle{ \sin \left({dy \over dx} \right) + y = x }[/math] 는 비선형 미분방정식이다.
[math]\displaystyle{ xyy' + y = x }[/math] 는 비선형 미분방정식이다.

미분방정식의 해

초깃값 문제와 경곗값 문제

[math]\displaystyle{ n }[/math]계 상미분방정식의 일반해는 [math]\displaystyle{ n }[/math]개의 임의의 상수를 포함하고 있다. 특별해를 얻기 위해서는 추가적인 조건이 필요하다. 이러한 조건으로 초기 조건과 경계 조건이 있다.

초깃값 문제

미분방정식에 독립변수의 한 값에 대한 조건만 부여된 경우에 이 조건을 초기 조건(initial condition)이라 한다. 초기 조건을 가진 미분방정식을 초깃값 문제(initial value problem)라고 한다.

경곗값 문제

미분방정식에 독립변수의 두 개 이상의 값에 대한 조건이 부여된 경우에 이 조건을 경계 조건(boundary condition)이라 한다. 경계 조건을 가진 미분방정식을 경곗값 문제(boundary value problem)라고 한다.

예

[math]\displaystyle{ y' -2xy = 3, y(0) = 1 }[/math] 은 초깃값 문제이다. [math]\displaystyle{ y(0) = 1 }[/math]을 초기 조건이라고 부른다.
[math]\displaystyle{ y'' -3y' - y = 0, y(1) = 1, y'(1) = -1 }[/math] 은 초깃값 문제이다.
[math]\displaystyle{ y'' -34y' - 2xy = x^2, y(0) = 1, y(2) =4 }[/math] 는 경곗값 문제이다. [math]\displaystyle{ y(0) = 1, y(2) =4 }[/math]를 경계 조건이라고 부른다.

미분방정식의 해법

선형 상미분방정식

1계 상미분 방정식

제차

비제차

2계 상미분 방정식

제차

비제차

상수계수 상미분방정식

비선형 상미분방정식

추가바람

편미분방정식(PDE)

Partial Differential Equation 독립변수가 여러 개인 미분방정식.

추가바람

@@ 36번째 줄: / 36번째 줄: @@
 *<math> \sin \left({dy \over dx} \right) + y  = x </math> 는 비선형 미분방정식이다.
 *<math> xyy' + y = x </math> 는 비선형 미분방정식이다.
+== 미분방정식의 해 ==
+=== 초깃값 문제와 경곗값 문제 ===
+<math> n </math>계 상미분방정식의 일반해는 <math> n </math>개의 임의의 상수를 포함하고 있다. 특별해를 얻기 위해서는 추가적인 조건이 필요하다. 이러한 조건으로 초기 조건과 경계 조건이 있다.
+==== 초깃값 문제 ====
+미분방정식에 독립변수의 한 값에 대한 조건만 부여된 경우에 이 조건을 초기 조건(initial condition)이라 한다. 초기 조건을 가진 미분방정식을 초깃값 문제(initial value problem)라고 한다.
+==== 경곗값 문제 ====
+미분방정식에 독립변수의 두 개 이상의 값에 대한 조건이 부여된 경우에 이 조건을 경계 조건(boundary condition)이라 한다. 경계 조건을 가진 미분방정식을 경곗값 문제(boundary value problem)라고 한다.
+==== 예 ====
+*<math> y' -2xy = 3, y(0) = 1 </math> 은 초깃값 문제이다. <math> y(0) = 1</math>을 초기 조건이라고 부른다.
+*<math> y'' -3y' - y = 0, y(1) = 1, y'(1) = -1 </math> 은 초깃값 문제이다.
+*<math> y'' -34y' - 2xy = x^2, y(0) = 1, y(2) =4 </math> 는 경곗값 문제이다. <math> y(0) = 1, y(2) =4 </math>를 경계 조건이라고 부른다.
 == 미분방정식의 해법 ==