대수학의 기본 정리

대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)는 다항식의 근에 관한 정리이다. 이는 복소수체가 실수체와 달리 대수적으로 닫힘을 알려준다. 다시 말해, 복소수 계수로 만든 모든 방정식은 복소수 해가 존재한다. 뭐 당연한 거 아닌가 싶겠지만 사실 이거 꽤 신박한 거다. 옛날엔 페르마의 마지막 정리 수준의 이목을 끌었다고 한다.

진술

다음 둘은 서로 동치이며, 둘 중 꼴리는 하나를 대수학의 기본 정리라고 한다:

• 상수 아닌 복소계수 다항식은 하나 이상의 근을 갖는다.
• [math]\displaystyle{ n }[/math]차 복소계수 다항식은 중근을 고려하여 정확히 [math]\displaystyle{ n }[/math] 개의 근을 갖는다. ([math]\displaystyle{ n\in\Bbb N }[/math])

증명

리우빌의 정리(Liouville’s theorem)를 이용하는 해석적 증명

다음은 복소해석학을 이용한 증명이다.<ref>[[1]],출처는 위키백과<ref>

복소 다항식

[math]\displaystyle{ p(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dotsb + a_0, ~a_n \neq 0, ~n\ge 1 }[/math]

가 영점을 갖지 않는다고 가정하자. 즉 모든 복소수 [math]\displaystyle{ z }[/math] 에 대해 [math]\displaystyle{ p(z)\neq 0 }[/math] 라고 가정하자. 그러면 [math]\displaystyle{ \frac{1}{p(z)} }[/math] 는 전해석함수이다. 이제 삼각 부등식을 이용하여

[math]\displaystyle{ |p(z)|=\left|z^{n}(a_n+\frac{a_{n-1}}z+\cdots+\frac{a_0}{z^n})\right| \ge |z|^{n}\left||a_n|-\left|\frac{a_{n-1}}z+\cdots+\frac{a_0}{z^n}\right|\right| \cdots\cdots(a) }[/math]

를 얻고, [math]\displaystyle{ C = |a_{n-1}|+\cdots+|a_0| }[/math]라 하면, 양수 [math]\displaystyle{ M \gt 1 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ |z|\ge M }[/math]이면

[math]\displaystyle{ \left|\frac{a_{n-1}}z+\cdots+\frac{a_0}{z^n}\right| \le \frac{|a_{n-1}|}{|z|}+\cdots+\frac{|a_0|}{|z|^n} \le \frac{|a_{n-1}|+\cdots+{|a_0|}}{|z|}\le \frac C M }[/math]

이다. 여기서 [math]\displaystyle{ M }[/math]을 충분히 큰 값으로 선택하여 [math]\displaystyle{ \frac{C}{M} \lt \frac{|a_n|}{2} }[/math] 가 되도록 하면 부등식

[math]\displaystyle{ |a_n|-\left|\frac{a_{n-1}}z+\cdots+\frac{a_0}{z^n}\right|\gt \frac{|a_n|}2 }[/math]

이 성립하므로 식 (a)로부터

[math]\displaystyle{ \left|\frac{1}{p(z)}\right| \le \frac{2}{|a_n|M^{n}} }[/math]

을 얻는다. 즉, [math]\displaystyle{ \frac{1}{p(z)} }[/math] 는 유계인 전해석함수이다. 따라서 리우빌 정리에 의해 [math]\displaystyle{ \frac 1 {p(z)} }[/math]는 상수함수이다. 그러나 가정에서 [math]\displaystyle{ {p(z)} }[/math]는 상수가 아니라고 하였으므로 [math]\displaystyle{ \frac 1 {p(z)} }[/math] 도 상수함수가 될 수 없다.(모순) 그러므로 [math]\displaystyle{ {p(z)} }[/math] 는 적어도 하나의 영점을 갖는다.

갈루아 이론을 이용하는 증명

우리가 "방정식을 푼다" 고 할 때 방정식의 해를 어떤 집합에서 찾는지 생각해보자. 실수들의 집합 R, 대수학의 기본정리의 경우 복소수들의 집합 C, 종종 모듈로 연산을 할 경우 [math]\displaystyle{ p }[/math]로 나눈 나머지만을 고려하여 [math]\displaystyle{ \{0,1,2,\ldots, p-1\} }[/math] 에서 해를 찾게 된다. 이러한 작업을 할 수 있는 일반적인 집합이 바로 체(field) 이다. 체에 대한 이론을 정립하고 기존에 고려하던 실수체 R과 C를 넘어서는 수많은 체들에 대해 방정식을 풀게 되면서 기존에 가능하지 않던 접근이 가능해진다. 갈루아 이론은 두 체 [math]\displaystyle{ E\subset F }[/math]가 있을 때 두 체 사이의 체를 갈루아 군이라는 대상의 부분군과 일대일 대응을 시킴으로서 분류를 가능하게 하는 이론이다. 이로서 군에 대하여 정립된 이론 (Sylow theory 등)을 적용할 수 있게 된다.

이 증명에서 이용되는 "대수적이지 않은 성질"은 [math]\displaystyle{ R }[/math] 위의 홀수차수 방정식은 근을 갖는다는 중간값 정리와, 임의의 복소수의 제곱근이 복소수 집합 내에서 존재한다는, 본질적으로 이차방정식의 풀이이다.

중간값 정리는 체에 대한 명제로,"[math]\displaystyle{ R }[/math]의 홀수 차수 확대체(extension field)는 존재하지 않는다"로 번역된다.

이차방정식의 풀이는 체에 대한 명제로, "[math]\displaystyle{ C }[/math] 의 2차 확대체는 존재하지 않는다"로 번역된다.

대수학의 기본정리는 체에 대한 명제로, "[math]\displaystyle{ C }[/math]의 유한 확대체(finite extension field) 는 존재하지 않는다"로 번역된다. 만약 어떤 복소계수 다항식 [math]\displaystyle{ p(x) }[/math] 의 해가 복소수체 [math]\displaystyle{ C }[/math] 내부에서 존재하지 않는다면, 그러한 해들을 미지수 [math]\displaystyle{ \xi }[/math] 로 놓고, 정확히 [math]\displaystyle{ R }[/math] 에서 [math]\displaystyle{ x^2+1=0 }[/math] 의 해를 추가하여 [math]\displaystyle{ C }[/math] 를 만들듯, [math]\displaystyle{ C }[/math]를 포함하는 더 큰 체를 만들 수 있기 때문이다.

이제 중간값 정리와 이차방정식의 풀이를 이용하여 대수학의 기본정리를 증명한다. [math]\displaystyle{ C }[/math] 의 유한 확대체 [math]\displaystyle{ E }[/math] 가 존재한다고 가정하자. 임의의 유한 확대체는 유한 갈루아 확대체에 포함된다. [math]\displaystyle{ F }[/math]를 [math]\displaystyle{ E }[/math]를 포함하는 갈루아 확대체라 하자. 갈루아군 [math]\displaystyle{ Gal(F/R) }[/math] 의 2-Sylow subgroup [math]\displaystyle{ H }[/math] 를 생각하자. 갈루아 이론에 의해 [math]\displaystyle{ [F':R] }[/math] 가 홀수인 [math]\displaystyle{ F }[/math] 의 부분체 [math]\displaystyle{ F' }[/math] 가 존재한다. 하지만 <중간값 정리>에 의해 [math]\displaystyle{ F'=R }[/math] 이고, [math]\displaystyle{ [F,R] }[/math] 는 2의 거듭제곱이어야만 한다. [math]\displaystyle{ [F:R]=[F:C][C:R]=2[F:C] }[/math] 에서 [math]\displaystyle{ [F,C] }[/math] 또한 2의 거듭제곱임을 알 수 있다. 이제 [math]\displaystyle{ [F:C]=2^e\ne 1 }[/math]라 가정하자. Sylow theory의 결과를 다시 한 번 적용하면, [math]\displaystyle{ Gal(F/C) }[/math] 의 원소 개수 [math]\displaystyle{ 2^{e-1} }[/math]인 부분군이 존재하며, 갈루아 이론에 의해 이 부분군에 대응되는 [math]\displaystyle{ C }[/math]의 2차 확대체가 존재하게 된다. 이것은 이차방정식의 풀이에 모순이다. 따라서 [math]\displaystyle{ [F:C]=1 }[/math] 이고 [math]\displaystyle{ F=C }[/math]이다. 이로서 대수학의 기본 정리가 증명되었다.